Modele econometrice cu ecuatii multiple

MODELE ECONOMETRICE CU ECUATII MULTIPLE

I.1. Introducere

In modelele econometrice elementare se studiaza dependenta unei variabile endogene de o unica variabila exogena. Astfel de modele contin o singura ecuatie. Pentru studierea unor fenomene economice mai complexe este necesara introducerea in model a unor ecuatii suplimentare. Se obtin astfel modele cu mai multe ecutii, numite modele cu ecuatii multiple sau simultane. Procedurile de estimare vor fi in acest caz mai complicate, dar se bazeaza pe aceleasi principii generale ca si modelele cu o singura ecuatie, studiate in ciclul de licenta.

Cateva exemple:

a.     Estimarea unei legi a cererii de bunuri.

In acest caz, modelul va contine trei ecuatii: una pentru cerere, una pentru oferta de bunuri si o ecuatie de echilibru cerere-oferta:

A estima o lege a cererii inseamna ca, pornind de la observatiile , t = 1,2,,T sa determinam parametrii necunoscuti din prima ecuatie. In functie de dispunerea norului de puncte observate privind cererea de bunuri si preturile acestora, intalnim urmatoarele situatii:

Stabilitatea curbei cererii si ofertei cand t variaza.

Norul de puncte observate este in vecinatatea intersectiei celor doua curbe, care pot avea deplasari mici, independent una de alta. Nu putem asocia punctele observate uneia sau celeilalte curbe. In acest caz estimarea nu este posibila.

Stabilitatea curbei cererii.

Pentru numeroase produse agricole, de exemplu, cererea scade daca preturile cresc. Aceasta legatura intre pret si cerere depinde de comportamentul consumatorilor. Oferta, dimpotriva, se deplaseaza in sus sau in jos dupa cum a fost recolta. Punctele norului sunt acum dispuse de o parte sau alta a curbei cererii, care poate fi estimata.

Stabilitatea curbei ofertei.

Este posibil ca datorita cresterii veniturilor, de exemplu, curba cererii sa se deplaseze, iar cea a ofertei sa ramana stabila. Se obtine o reprezentare analoga celei dinainte si legea ofertei poate fi estimata in acest caz.

Curba cererii evolueaza in functie de venituri, curba ofertei evolueaza in functie de progresul tehnic si exista o deplasare simultana a celor doua curbe.

In acest caz nu putem estima nici cererea, nici oferta de bunuri. Ajustarea va conduce la curba care trece prin punctele de intersectie, care nu are nicio semnificatie.

Concluzie: Se pot obtine estimatii eronate daca se incearca estimarea parametrilor curbei cererii, fara a tine cont de curba ofertei de bunuri. Este necesar, deci, sa precizam ambele legi prin introducerea in model a unor variabile exogene noi, atat in legea cererii, cat si in legea ofertei.

b.     Forma structurala si forma redusa

Forma structurala reproduce legile pietei asa cum sunt ele propuse de teoria economica. In aceasta forma, variabilele endogene si exogene intervin fara ca endogena sa se exprime unic in functie de exogena. Aceasta exclude, dupa cum s-a vazut, orice posibilitate de estimare sub aceasta forma (exista, totusi, o exceptie asupra careia vom reveni).

De exemplu, un sistem de doua ecuatii pentru cerere si oferta sub forma structurala este:

unde V_t este venitul consumatorilor, o variabila exogena care influenteaza cererea de bunuri, alaturi de pret p_t, iar x_t este o variabila exogena care influenteaza oferta de bunuri. In model, q_t si p_t sunt variabile endogene.

Forma redusa se obtine pornind de la forma structurala, exprimand fiecare variabila endogena in functie de exogenele modelului. In exemplul precedent, se obtine:

sau scris sub alta forma:

(*)

unde: , , , , , , , .

(*) este forma redusa a modelului. In aceasta forma nu mai este vorba nici de ecuatia cererii, nici de ecuatia ofertei. O regresie a lui p_t si q_t asupra V_t si x_t este posibila, dar parametrii estimati a a b b nu mai au nicio semnificatie economica. Problema care se pune este, deci, de a determina parametrii formei structurale pornind de la estimatiile obtinute pe forma redusa. Aceasta este problema "identificarii" modelului econometric.

c.      Functia consumului in modelul Keynes

Sub forma structurala, un model keynesian elementar este dat de sistemul de ecuatii:

(I)

unde C_t este consumul menajului t si reprezinta o variabila endogena, R_t este venitul disponibil al menajului, considerat o variabila exogena. Prima relatie exprima consumul menajului ca o functie de venitul disponibil, iar a doua relatie arata ca menajul partajeaza venitul disponibil R_t intre consum C_t si economisire (investitii) I_t. Forma redusa asociata acestui model este:

(II)

Inainte de a studia modelele cu ecuatii multiple, vrem sa comparam direct estimatorii obtinuti pe cele doua forme: structurala si redusa.

I.2. Estimarea pe forma structurala

O regresie prin metoda celor mai mici patate (MCMMP) pe ecuatia , conduce la estimatorul :

.

Utilizand forma redusa pentru a calcula si , putem exprima in functie de a. Procedam in felul urmator:

In forma redusa centram variabilele:

Inlocuim in expresia lui :

sau, notand momentele empirice corespunzatoare cu , si rezulta:

.

Dar, pentru T (numar de observatii) suficient de mare:

,

tind spre limite finite, in timp ce covarianta empirica:

tinde catre zero pentru ca I si e sunt independente. Atunci, pentru T suficient de mare, si tinand cont ca 0<a<1 (a este inclinatia marginala spre consum, consumatorul este prudent, nu aloca tot venitul pentru consum) se obtine:

insemnand ca supraestimeaza pe a.

Concluzie

O regresie directa pe forma structurala introduce o deplasare sistematica a estimatorului parametrului a.

La fel se poate arata ca obtinut pe forma structurala subestimeaza pe b.

I.3. Estimarea pe forma redusa si trecerea la forma structurala. Regresia indirecta

Notam cu: , , si forma redusa (II) se scrie:

.

Aplicand MCMMP celor doua ecuatii, se determina estimatorii si . Se stie (vezi cursul de econometrie din ciclul de licenta) ca acesti estimatori sunt nedeplasati si convergenti si se cunoaste distributia lor pentru T suficient de mare (chiar si atunci cand nu urmeaza o lege normala).

Rezulta: , cu si convergenti in probabilitate catre a si b deoarece si sunt ei insisi convergenti. Se spune ca am obtinut si prin "regresie indirecta".

I.3.1. Distributia limita a estimatorilor si obtinuti prin regresie indirecta.

Se stie ca oricare ar fi distributia erorilor , deci si , expresiile si au o distributie limita normala, de medie egala cu zero. este un factor de normalizare care evita, pentru T suficient de mare, sa avem o distributie degenerata.

Putem scrie ca:

Pentru T suficient de mare si .

Caracteristicile distributiei se deduc, deci, din cele ale lui . are o distributie limita normala de medie zero si ecart-tip dedus din cel al lui impartit la . Se arata ca:

.

Concluzie: Corespondenta intre parametrii formei structurale si cei ai formei reduse este foarte rar, daca nu niciodata, asa de simpla ca in exemplul studiat.

Se impune deci, studierea cazului general al unui model cu ecuatii multiple.

I.4. Modele cu ecuatii multiple. Cazul general

Am vazut anterior necesitatea introducerii mai multor ecuatii in modelele econometrice. Cum tratam astfel de modele? Ce probleme apar in legatura cu formularea generala? Raspunsul la astfel de intrebari este dat in continuare.

I.4.1. Modelul general

Consideram n variabile endogene Y₁, Y₂,, Y_n si m variabile exogene X₁, X₂,, X_m, pentru care se cunosc realizarile lor in decursul a T perioade. La momentul t, vom avea:

(1)

sau, sub forma matriciala:

Unde:

, , , , .

Nu se pot estima matricile B si C sub forma structurala (1), variabilele endogene figurand impreuna cu exogenele in fiecare ecuatie.

Daca vom presupune ca B este inversabila, atunci obtinem:

sau, notand si , atunci:

(2) .

(2) este forma redusa a modelului general cu ecuatii multiple. Sub aceasta forma redusa vom putea estima matricea A, bineinteles cu unele ipoteze ce vor fi precizate. Dar, pentru a avea estimatori cu o semnificatie economica, trebuie sa revenim la matricile B si C.

Referat: Managementul proiectelor in administratia publica Document online: Planificarea - functie a managementului - obiectivele organizatiei

I.4.2. Estimarea matricii A

Presupunem ca dorim sa aplicam MCMMP fiecarei ecuatii din modelul (2). Ipotezele modelului liniar general de regresie vor trebui sa fie indeplinite pentru fiecare ecuatie.

Prezentam ipotezele referitoare la erorile (ele vor fi valabile si pentru erorile pentru ca . Aceste ipoteze sunt:

- erorile in ecuatia i (i=1,,n) sunt independente:

,

- erorile relative la doua ecuatii i si j si doua momente t si t' sunt independente:

Altfel spus, presupunem independenta erorilor relative la observatii diferite.

- matricea de varianta si covarianta a erorilor , este la momentul t:

Ca si in cazul modelului liniar general, presupunem ca matricea de varianta si covarianta empirica a variabilelor exogene tinde catre o matrice finita cand .

Daca aceste conditii sunt indeplinite, se poate estima fiecare ecuatie din modelul sub forma redusa. Estimatorii obtinuti sunt nedeplasati si au varianta minimala. Obtinem astfel matricea care are ca elemente estimatori nedeplasati ai parametrilor formei reduse si care converg in probabilitate catre valorile adevarate ale acestor parametri.

I.4.3.  Intoarcerea la matricile B si C

Cunoscand , estimator al lui A, vrem sa ne intoarcem la matricile B si C. Dar A are n x m elemente, deci vom avea n x m relatii intre coeficienti.

Matricea B are n² elemente, iar C are nm elemente. Se obtine un sistem de nxm ecuatii cu n²+nm necunoscute. Aceasta problema nu poate fi rezolvata, in general, decat daca intre parametrii formei structurale exista, apriori, n² relatii sau restrictii.

Sa remarcam ca impartind succesiv membrul al doilea al fiecarei ecuatii din forma structurala prin b₁₁, b₂₂, ,b_nn se obtine matricea B cu diagonala avand doar elemente egale cu 1, ceea ce reduce numarul de restrictii apriori la n²-n=n(n-1). Aceste restrictii pot fi de excludere (unele variabile absente in ecuatiile formei structurale, insemnind ca parametrii corespunzatori sunt nuli) sau de legaturi apriori intre elementele matricilor B si C.

I.4.4.  Identificarea

Precizam cateva definitii relative la model in general si la fiecare ecuatie in particular.

a.              un model se spune ca este identificat daca se pot estima toti coeficientii din matricile B si C cu ajutorul coeficientilor matricii A.

b.              Un model este supra-identificat atunci cand exista restrictii asupra matricii A.

c.               O ecuatie a modelului este identificata atunci cand se pot estima toti coeficientii din acea ecuatie.

d.              O ecuatie a modelului este supra-identificata cand singurele restrictii care o afecteaza sunt suficiente pentru ca modelul sa fie supra-identificat.

e.              O ecuatie supra-identificata este si identificabila in "aproape toate" structurile modelului.

f.               Un model supra-identificat poate contine una sau mai multe ecuatii neidentificabile.

I.4.5. Criterii de identificare

Reluam modelul sub forma structurala, cu ipotezele anterioare (vom presupune, intre altele, absenta coliniaritatii variabilelor exogene in fiecare ecuatie). Precizam notiunea de restrictie relativa la o ecuatie din forma structurala.

a.              Fiecare restrictie pe forma structurala se traduce printr-o relatie liniara omogena intre coeficientii unei ecuatii.

b.             Definim o matrice a restrictiilor R_i relativa la ecuatia a i-a si o matrice de structura S obtinuta prin juxtapunerea matricilor B si C:

S=(BC)

Matricea R_i va fi construita astfel:

- daca S_i este a i-a linie a matricii S si R_ih este a h-a coloana a matricii R_i (corespunzatoare la a h-a restrictie din ecuatia i), atunci:

S_iR_ih=0.

De exemplu, daca restrictia consta in excluderea celei de a k-a variabile din ecuatia i (adica egalitatea cu zero a coeficientului s_ik), atunci: , cu = 0 daca , = 1 ceea ce inseamna relatia: .

Constructia matricii R_i va fi exemplificata imediat.

Notam cu:

-n₁ numarul de ecuatii veritabile din modelul cu ecuatii multiple;

-n₂ numarul de identitati din model;

-n = n₁ + n₂ numarul de variabile endogene;

si enuntam urmatoarele criterii de identificare:

Fie un model cu ecuatii multiple care satisface ipotezele precedente. A i-a ecuatie este identificata daca si numai daca rangul matricii este egal cu n₁+n₂-1. Aceasta este o conditie necesara si suficienta pentru identificare si se numeste "conditia de rang".

Pentru ca o ecuatie a modelului in forma structurala sa fie identificata trebuie ca numarul restrictiilor apriori la care sunt supusi coeficientii ecuatiei sa fie cel putin n₁+n₂-1. Aceasta conditie este necesara, dar nu si suficienta, si se numeste "conditia de ordin".

Fie numarul de restrictii apriori care afecteaza ecuatia i.

a.     Daca , atunci ecuatia a i-a nu este identificata (se spune si ca este sub-identificata);

b.     Daca atunci ecuatia i este supra-identificata. Ea este, totodata identificabila in "aproape toate" structurile modelului.

c.      Daca , atunci a i-a ecuatie nu este supra-identificata. Ea poate fi identificabila in "aproape toate" structurile.

Exemple

I. Fie un model cu 3 variabile endogene Y₁, Y₂, Y₃ si doua exogene X₁, si X₂. La momentul t, avem forma structurala:

Pentru a identifica usor matricile B si C scriem modelul inlocuind variabilele absente cu zero si respectand forma structurala generala (ordinea variabilelor este Y₁, Y₂, Y₃, X₁, si X₂):

,

astfel ca matricile coeficientilor sunt:

, ,

iar matricea de structura S este:

.

Scriem acum matricile R₁, R₂, R₃ ale restrictiilor asociate celor trei ecuatii din model.

Matricea R₁ este:

.

Matricile R_i, i=1,2,3 au atatea coloane cate restrictii asupra coeficientilor sunt in ecuatia respectiva () si atatea linii cate variabile endogene si exogene sunt in model (in ordinea Y₁, Y₂, Y₃, X₁, si X₂), adica (n+m). Prima coloana din matricea R₁ are elementele egale cu 0, in afara de al doilea element, egal cu 1, care corespunde excluderii variabilei Y₂ din ecuatia (1) (prima restrictie). A doua coloana are toate elementele 0, in afara de al treilea, egal cu 1, corespunzand excluderii variabilei Y₃ din ecuatia (1) (a doua restrictie). La fel, coloana a treia este 0, in afara elementului al patrulea, egal cu 1, corespunzand excluderii variabilei X₁ din ecuatie (a treia restrictie).

In mod similar se obtin matricile R₂ si R₃ corespunzatoare restrictiilor asupra coeficientilor din ecuatiile a 2-a si a 3-a.

, .

Calculam acum matricile R corespunzatoare:

- pentru prima ecuatie:

- pentru a doua ecuatie:

- pentru a treia ecuatie:

Concluzii:

Prima ecuatie: , n₁+n₂-1=2 (n₂=0, nu avem identitati in model). Deoarece , ecuatia este supra-identificata (si modelul, de asemenea). Matricea R are rangul egal cu 2, deci rangR=n₁+n₂-1. Ecuatia este identificabila in toate structurile, adica oricare ar fi valorile atribuite coeficientilor care figureaza in matricea de structura S;

A doua ecuatie , deci . Ecuatia a doua poate fi identificata, rangul matricii R este 2, in afara cazului cand c₁₂=0. Ea este identificabila in "aproape toate" structurile (cu exceptia structurii pentru care c₁₂=0).

A treia ecuatie: , deci . Dar cum rangul matricii R este egal cu 1, aceasta ecuatie nu este niciodata identificabila. Tot modelul, in ansamblu, este neidentificabil, deci, unele elemente ale matricilor B si C nu vor putea fi niciodata estimate.

II. Fie urmatoarea forma structurala:

,

adica un model cu trei ecuatii, dintre care doua veritabile si ultima, o identitate. Rescriem modelul pentru a pune in evidenta matricile B si C, introducand o variabila auxiliara ca factor pentru fiecare constanta.

.

Matricea de structura este:

Matricea restrictiilor referitoare la prima ecuatie este:

.

Singurele restrictii relative la prima ecuatie sunt doua restrictii de excludere. Matricea restrictiilor aferente celei de a doua ecuatii veritabile este:

.

In a doua ecuatie exista trei restrictii: doua de excludere a variabilelor Y₁ si X₁ si una referitoare la faptul ca variabilele Y₃ si X₂ au acelasi coeficient (d), cu semne contrare, deci suma celor doi coeficienti este nula. Din acest motiv, pe a doua coloana a matricii R₂ apare 1 in dreptul variabilelor Y₃ si X₂.

Matricile produs SR₁ si SR₂ sunt:

, .

- prima ecuatie: ; , , in afara cazului. Ecuatia este identificabila in "aproape toate" structurile;

- a doua ecuatie: ; , , in afara cazului a=1. Aceasta ecuatie este supraidentificata. Ea este identificabila in aproape toate structurile.

Sa remarcam faptul ca a treia relatie in model este o identitate. Ea a fost tratata in matricea de structura S ca o ecuatie. Variabilele absente au fost inlocuite cu 0 in matrice. Putem utiliza aceasta identitate pentru a ajunge la un model cu doua ecuatii si numai doua endogene. Concluziile ar fi fost aceleasi pentru prima ecuatie (ea ramane neschimbata daca eliminam pe y_2t, de exemplu).

Adesea este preferabil sa pastram modelul initial, inclusiv identitatea, pentru ca altfel ajungem din nou la combinatii intre coeficientii formei structurale. Ori, in toate cazurile trebuie sa revenim la estimarea coeficientilor formei initiale pornind de la aceste combinatii.

III. UN MODEL ECONOMETRIC AL PIETEI LEGUMELOR

Pentru a studia piata legumelor, vom face ipoteza ca cererea de legume este formata din doua componente: consumul de legume in stare proaspata al menajelor si cererea de legume pentru industrializare (conservare). Consumatorii de legume, indiferent de destinatie, se intilnesc pe aceeasi piata.

Consumul de legume in stare proaspata al menajelor in perioada t, notat cu Cm_t, depinde de pretul legumelor (p_t) si de venitul disponibil (V_t). Cererea de legume pentru conservare in perioada t, notata cu Cc_t este functie de pretul legumelor (p_t) si de cererea de conserve din perioada precedenta (C_t-1). Oferta de legume in perioada t, notata cu O_t, este functie de pretul legumelor din perioada anterioara (p_t-1). Rezulta urmatorul model econometric in forma structurala al pietei legumelor:

Ecuatia ofertei de legume:

Ecuatia cererii de legume in stare proaspata:

Ecuatia cererii de legume pentru conservare:

Ecuatia de echilibru a pietei legumelor:

unde a_i, i=1,2,,8 sunt parametri reali necunoscuti, ce urmeaza a fi estimati, iar ε, ξ, μ sunt variabilele reziduale corespunzatoare. Este convenabil sa reducem numarul ecuatiilor din model prin inlocuirea variabilei "oferta de legume" cu suma cererilor, conform ecuatiei de echilibru. Obtinem astfel modelul:

Pentru a studia posibilitatile de identificare ale acestui model econometric al pietei legumelor, este de preferat o scriere matriciala a modelului. In acest scop introducem o variabila auxiliara, . Rezulta urmatoarea forma matriciala a modelului:

Utilizind notatiile:

modelul devine:, a carui forma redusa este:

           

Forma redusa a modelului se poate scrie si astfel:

unde:

,,,

,   ,,

,   ,,

Conditiile de identificare a ecuatiilor formei structurale sunt:

a)     conditia de ordin: in acest model avem n=3. Fie n_i si m_i numarul de variabile endogene, respectiv exogene, absente in ecuatia i. Atunci:

Prima ecuatie: n₁=1, m₁=2 si

A doua ecuatie: n₂=1, m₂=2 si

A treia ecuatie: n₃=1, m₃=2 si

b)     conditia de rang: conditiile necesare de identificare fiind indeplinite, trebuie studiata conditia de rang. Aplicarea sa conduce la constatarea ca modelul este supraidentificat, pentru ca cele trei ecuatii ale formei structurale sunt supraidentificate.

Se pot estima cei 12 parametri ai formei reduse. Cu acestia va trebui sa deducem in mod univoc pe cei opt parametri ai formei structurale pentru ca modelul sa fie bine identificat. Dar, relatiile anterioare dintre coeficientii formei reduse si cei ai formei structurale, fac acest lucru imposibil. Cei 12 parametri nu sunt independenti, intre ei exista unele relatii ca:

, , , etc.

Cei 12 parametri nu pot fi estimati, cu ajutorul metodei celor mai mici patrate, ecuatie cu ecuatie. Este nevoie sa se aplice metoda celor mai mici patrate in doua stadii pentru a estima coeficientii ecuatiilor supraidentificate, lucrind direct pe forma structurala a modelului. Informatiile asupra "sistemului" si a mediului sau sunt supra-abundente. Forma redusa obtinuta corespunde la mai multe forme structurale. Cea retinuta aici nu este decit o formulare particulara a functionarii "sistemului". Alte formulari ar putea conduce la aceeasi forma redusa.

Metodele de estimare utilizate in mod uzual nu se mai aplica la fel pe ecuatiile supraidentificate ale unui model cu ecuatii multiple. Existenta restrictiilor asupra matricii A a formei reduse nu permite determinarea prin MCMMP a unei solutii unice pentru estimatorii coeficientilor. Prin urmare, daca ecuatiile sunt simplu identificabile intoarcerea la coeficientii formei structurale pornind de la estimatiile obtinute pe forma redusa necesita adesea calcule laborioase. Vom vedea in continuare cum estimam astfel de modele.

I.5. Metode de estimare in modele cu ecuatii multiple

Criteriile de identificare aplicate fiecarei ecuatii dintr-un model econometric cu ecuatii multiple permit sa apreciem, inainte de a trece la estimarea modelului, daca toti coeficientii care apar in fiecare ecuatie pot fi determinati.

Vrem sa vedem ce metode de estimare pot fi aplicate in cazul modelelor ce ecuatii multiple.

Se disting patru cazuri:

Modelul este sub-identificat. Nu exista metode de estimare in acest caz. Trebuie construit un nou model care sa fie mai bine specificat.

Modelul este identificabil. In acest caz se poate aplica, printre altele, metoda regresiei indirecte (regresia pe forma redusa a modelului), revenind apoi la coeficientii formei structurale.

Modelul este supra-identificat. In acest caz nu se mai poate aplica regresia indirecta. Pentru aceasta situatie exista alte metode de estimare, ca: MCMMP in doua faze, MCMMP in trei faze, metoda verosimilitatii maxime cu informatie incompleta s.a. Evident, aceste metode pot fi aplicate si in cazul modelelor identificabile.

Pentru unele modele particulare, numite modele recursive, regresia directa pe o ecuatie a formei structurale este o metoda satisfacatoare.

I.5.1.  Regresia indirecta

Fie modelul cu ecuatii multiple, in scriere matriciala, sub forma structurala:

.

In cazul in care matricea coeficientilor variabilelor endogene, B, este inversabila, atunci forma redusa asociata modelului se scrie: ,

unde: si .

In cazul in care fiecare ecuatie din model este identificabila, se pot estima coeficientii matricei A din forma redusa (prin MCMMP) si in baza relatiilor de legatura intre coeficienti se determina estimatorii parametrilor formei structurale. Sub ipotezele precizate anterior estimatorii obtinuti sunt convergenti.

Singurul incovenient este ca determinarea coeficientilor matricilor B si C pornind de la coeficientii estimati in matricea A poate presupune uneori calcule laborioase chiar si pentru modele foarte simple.

Exemplu: Fie modelul cu ecuatii multiple (o varianta a modelului Keynes):

in care C_t si Y_t sunt variabile exogene, iar Z_t este o exogena. Modelul contine, deci, o singura ecuatie veritabila (n₁=1) si o identitate (n₂=1). Analizam daca modelul este identificabil aplicand criteriile de identificare din paragraful I.4.5. Matricile B si C din forma structurala generala conduc la matricea de structura:

.

In singura ecuatie veritabila (prima ecuatie) exista o singura restrictie referitoare la coeficienti (restrictia de excludere a variabilei exogene Z_t). Prin urmare, , iar matricea R₁ este:

, rezultand ca matricea are rangul egal cu 1.

Deoarece , rezulta ca este indeplinita conditia de rang, iar pentru ca este indeplinita si conditia de ordin. Modelul este, deci, identificabil si putem aplica metoda regresiei indirecte.

Scriem forma redusa a modelului:

,

unde: , , .

Sa presupunem ca dispunem de T=7 observatii anuale:

Aplicarea MCMMP celei de a doua ecuatii din forma redusa conduce la estimatorii:

, .

Cu datele din tabel, obtinem: , , , si , .

Determinam estimatorii parametrilor din forma structurala, cu ajutorul relatiilor dintre coeficienti:

, , .

I.5.2.  MCMMP in doua faze

Aceasta metoda se aplica atunci cand ecuatiile sunt supra-identificate. Desigur, daca ecuatia este identificabila, metoda conduce la aceleasi rezultate ca si regresia indirecta.

Reluam modelul sub forma structurala si presupunem ca prima ecuatie este supra-identificata. Aceasta prima ecuatie poate fi scrisa sub forma:

(1) .

Este clar ca datorita restrictiilor care afecteaza aceasta ecuatie, unele variabile endogene si exogene pot lipsi din ecuatie.

Faza intai: Se estimeaza prin MCMMP ecuatiile din forma redusa corespunzatoare variabilelor endogene care figureaza in partea dreapta a ecuatiei (1). Aceste ecuatii se scriu astfel:

.

Dupa efectuarea acestor regresii, obtinem:

(2)

Faza a doua: Inlocuim variabilele endogene din ecuatia (1) cu expresiile lor date de (2). Obtinem:

(3) ,

unde ..

Aplicam din nou MCMMP ecuatiei (3) si obtinem estimatorii , ,nedeplasati si convergenti pentru parametri b₁₂, b₁₃

Pentru exemplificare, aplicam MCMMP in doua faze pe exemplul anterior si aratam ca se obtin aceleasi estimatii ca si prin metoda regresiei indirecte.

Faza intai: Prima ecuatie a modelului, contine, in partea dreapta, variabila endogena Y_t. Vom aplica, in aceasta faza, MCMMP pe ecuatia corespunzatoare lui Y_t din forma redusa, adica si obtinem:

, , , sau .

Cu datele din tabel, rezulta si si se pot calcula valorile ajustate si erorile .

Faza a doua: Inlocuim Y_t cu in ecuatia , rezultand: , unde si aplicam MCMMP acestei ecuatii, rezultand estimatorii:

(4) , . Dar, tinand cont ca si rezulta ca , care inlocuita in (4) conduce la:

Cu datele din tabel, avem ca , , , , si:

, , adica am obtinut acelasi rezultat ca si prin regresie indirecta.

MCMMP in doua faze evita calculele laborioase de intoarcere la coeficientii formei structurale, pornind de la estimarea formei reduse. Ea conduce la estimatori cu proprietati asimptotice destul de bune, dar pe esantioane mici nu ofera garantii prea mari asupra acestor proprietati.

I.5.3. MCMMP in trei faze

Metoda celor mai mici patrate in trei faze porneste de la modelul econometric in forma structurala a carui forma redusa este (unde si ) si parcurge urmatoarele faze:

Faza intai: Se estimeaza prin MCMMP obisnuita forma redusa, adica se regreseaza fiecare variabila endogena din model pe toate variabilele exogene si se obtin estimatiile preliminare ale endogenelor, notate .

Faza a doua: Cu estimatiile endogenelor inlocuite in forma structurala, fiecare ecuatie se poate scrie astfel:

(1)

Se aplica din nou MCMMP obisnuita acestor ecuatii rezultand estimatorii coeficientilor matricilor B si C. Pana aici s-a procedat exact ca in MCMMP in doua faze.

Faza a treia: Folosind estimatorii parametrilor () determinati in faza anterioara, prin inlocuire in ecuatiile (1) se obtin noi estimatii ale endogenelor , care permit si estimarea erorilor , adica:

Acest lucru permite obtinerea unei estimatii pentru matricea de varianta si covarianta a erorilor:

Se aplica acum MCMMP generalizata pe ecuatiile (1). Prima ecuatie din (1) se scrie sub forma matriciala (facand sa varieze t de la 1 la T) astfel: , unde:

, , , .

Procedand la fel cu celelalte ecuatii din (1), se obtine sistemul:

care conduce la modelul general:

(2)

Unde: , , , si .

Aplicarea MCMMP generalizata modelului (2) conduce la estimatorul:

.

este estimatorul obtinut prin MCMMP in trei faze.

Proprietatile estimatorilor obtinuti prin MCMMP in trei faze. Sa remarcam mai intai ca daca erorile relative la doua ecuatii ale formei structurale si nu sunt corelate, acest lucru antreneaza independenta erorilor si . Matricea de varianta si covarianta a erorilor se reduce la o matrice diagonala si estimatorii parametrilor obtinuti prin MCMMP in trei faze coincid cu cei obtinuti prin MCMMP in doua faze.

Proprietatile estimatorilor obtinuti prin MCMMP in trei faze depind de calitatea estimarii matricei de varianta si covarinata a erorilor . In general ei poseda bune proprietati asimptotice (nedeplasare si convergenta).