![]()
Matematica
Introducere in inegalitaȚi. metodeINTRODUCERE IN INEGALITAȚI. METODE Scopul lecției de fața este acela de a familiariza elevii de clasele VII-IX care se pregatesc pentru concursuri cu cateva din principalele metode de demonstrare a inegalitatilor simetrice și/sau nesimetrice , omogene și/sau neomogene. Lecția poate fi parcursa și fara profesor, exercițiile fiind prezentate gradual, avand in vedere (sau nu) metodele specificate la acel paragraf. La final sunt prezentate indicații de rezolvare dar recomandabil este ca acestea sa fie consultate doar in cazul exercițiilor cu )* sau )** sau la primele aplicații din cadrul fiecarei metode. A) INEGALITAȚI UZUALE, SIMETRICE ȘI OMOGENE -CALCUL DIRECT, DESCOMPUNERI IN FACTORI, INSUMAREA UNOR INEGALITAȚI ANALOAGE și/sau INEGALITATEA MEDIILOR Inegalitatea mediilor pentru doua numere:
Inegalitatea mediilor pentru trei numere:
Inegalitatea mediilor pentru
1)
3)
5)
7)
9)
11)
13)
15)
17)
18)
19)
20)
21)
Concursul Gazeta Matematica și ViitoriOlimpici.ro-Etapa finala, clasa a VII-a, 2010 22)
24)
26)
28)
30)
31) a)
b)
Olimpiada Naționala de Matematica-Etapa județeana, clasa a IX-a, 2009 32) Daca
B) INEGALITAȚI OMOGENE- SUBSTITUȚII si/sau INEGALITATEA CAUCHY-BUNIAKOVSKI Inegalitatea Cauchy-Buniakovski
Aplicație: Inegalitatea Panaitopol
Daca
C) INEGALITAȚI NEOMOGENE ȘI/SAU NESIMETRICE -SUBSTITUȚII ȘI/SAU SIMETRIZARE/ OMOGENIZARE
4)*
5)*
6)*
)
D) INEGALITAȚI DE TIP CEBAȘEV Daca
2)
Daca
1)
2)
E) INEGALITATEA LUI HOLDER/ INEGALITATEA LUI JENSEN** HOLDER) Daca
JENSEN)** Daca
3)**
4)**
5)**
6)**
F) INEGALITAȚI CU DEMONSTRAȚII GEOMETRICE
G) INEGALITAȚI TRIGONOMETRICE
H) INEGALITAȚI
CARE
3)**
4)**
5)**
6)
8)*
Bibliografie: A. Petrușel și alții Algebra pentru clasele IX-XII, Ed.Studia, 2010 L.Panaitopol, M.Lascu, V.Bandila Inegalitați, Ed.Gil, 1996 I.V.Maftei, M.Piticari, Cezar Lupu și alții Inegalitați alese in matematica, Ed.Niculescu, 2005 Vo Quoc Ba Can Old and New Inequalities, Ed.Gil, 2008 INDICAȚII: Prescurtari utilizate: IM -inegalitatea mediilor, ma- media aritmetica , mg- media geometrica , mh- media armonica , MS- membrul drept , MD- membrul stang , ICB- inegalitatea Cauchy-Buniakovski , IP- inegalitatea Panaitopol , IC- inegalitatea Cebașev, IH- inegalitatea Holder, IJ- inegalitatea Jensen A)
1)-4)calcul
direct cu descompunere in factori sau binoame sau mg&ma 5),6)calcul direct sau 7)binoame sau mh&ma 8)calcul direct- binoame si mg&ma sau mg&ma de doua ori 9) calcul-binoame
sau mg&ma 10)
de doua ori ineg
B)
1)Substituții sau ICB:
2)analog 3)
4)
5)
7)
8) im de doua ori pentru 3 numere sau binoame,etc
10) IM de doua ori pentru doua cate doua din numere și adunate relațiile. 11) cu
substituțiile:
C)
1) In
vederea omogenizarii, fie
D)
1)
Ineg fiind simetrica in
6) Cu
IC și IC sau IM, avem:
E)
1) Cu
IH avem:
F) 1) Se considera
un triunghi echilateral
G) 1) Pentru orice
H)
1) Fie
6)
7)Putem presupune fara a afecta generalitatea problemei, de exemplu, ca a este cel mai mic dintre numerele a,b,c și fie
Deoarece
8) Cu ICB:
|