didactic clasa : a-xii a matematica - algebra, grupuri de matrice

Colegiul Tehnic "Transilvania" Baia Mare

PROIECT DIDACTIC

Clasa : a-XII-a A

Obiectul : Matematica - Algebra

Subiectul lectiei : GRUPURI DE MATRICE

Tipul lectiei :  Lectie de formare de priceperi si deprinderi de calcul.

Conpetente generale :

1.     Identificarea unor date si relatii matematice si corelarea lor in functie de contextul in care au fost definite.

2.     Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse in enunturi matematice.

3.     Utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice pentru caracterizarea locala sau globala a unei situatii concrete.

4.     Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situatii problema in scopul gasirii de strategii pentru optimizarea solutiilor.

5.     Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situatii concrete si a algoritmilor de prelucrare a acestora.

Competente specifice :

1. Recunoasterea structurilor algebrice, a multimilor de numere si de matrice.

2.1 Identificarea unei structuri algebrice, prin verificarea proprietatilor acesteia

2.2 Determinarea si verificarea proprietatilor unei structuri

Strategia didactica: activ-participativa.

1       Metode si procedee didactice: conversatia euristica , exercitiul, demonstratia, munca independenta.

2       Material didactic utilizat : manual clasa a-XII-a , fise de lucru .

3       Tipuri de actitati : frontala si individuala.

4       Procedee de evaluare: analiza raspunsurilor, observarea sistematica a atentiei, verificarea cantitativa si calitativa a temei.

Scenariu didactic:

1. Moment organizatoric: Verificarea prezentei elevilor si notarea absentelor (daca sunt) in catalog;

Asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desfasurare a orei ;

2. Captarea atentiei: Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (in cazul in care apar diferente se rezolva exercitiile la tabla ).

3. Informarea elevilor asupra obiectivelor lectiei: Se anunta si se scrie pe tabla titlul lectiei: GRUPURI DE MATRICE

GRUPURI DE MATRICE

Fie n  N* si M_n (R) multimea matricelor patratice de ordinul n cu elemente numere reale.

Dupa cum se stie, multimea M_n (R) impreuna cu adunarea matricelor formeaza un grup comutativ, iar cu inmultirea matricelor formeaza un monoid necomutativ.

In continuare se vor pune in evidenta cateva submultimi ale multimii M_n (R), care impreuna cu inmultirea matricelor formeaza grupuri.

~Grupul liniar general de grad n~

Fie A  M_n (R). Se stie ca matricea A este inversabila in monoidul (M_n (R), ) daca si numai daca det (A) ≠ 0. Multimea unitatilor monoidului (M_n (R), ) se noteaza GL_n (R) si avem :

GL_n (R) =.

TEOREMA

Perechea ( GL_n (R) , ) este grup necomutativ, numit grup liniar general de grad n peste R.

▪ Demonstratie

Fie A, B  GL_n(R). Rezulta ca det(A·B)=det(A) · det(B)  R* , deci AB  GLn (R). Asadar, multimea GL_n (R) este parte stabila a multimii M_n (R) in raport cu inmultirea matricelor.

Inmultirea matricelor este asociativa si admite elementul neutru I_n  M_n (R). Deoarece det(I_n) =1  R* , rezulta ca I_n  GL_n(R).

In consecinta, inmultirea matricelor pe multimea GL_n (R) admite element neutru si anume matricea I_n.

Daca A  GL_n(R), atunci det(A^-1) =  R* si se obtine ca A^-1  GL_n(R).

In concluzie, (GL_n(R), .) este grup.

~Grupul matricelor ortogonale~

Fie A  M_n (R).

. Definitie Matricea A  M_n (R) se numeste matrice ortogonala daca = I_n. Multimea matricelor ortogonale de ordinul n se noteaza O_n (R).

˝Observatii˝

1.Daca A  O_n (R), atunci det (A)=.

Intr-adevar, din A  O_n (R) se obtine ca =I_n. (1)

Din relatia (1) se obtine succesiv:

1 = det(I_n) = det( det() · det(A) = (det (A))².

Proiect: PROIECT DE ACTIVITATE - GRUPA: Mare -pregatitoare joc didactic: joc exercitiu "Vreau sa fiu scolar" Proiect: Evaluare finala-nivel i-pe domenii experientiale

Asadar, det (A) 

2.Exista incluziunea O_n (R) GL_n (R).

TEOREMA

Perechea (O_n(R), ) este un grup necomutativ, numit grupul matricelor ortogonale de ordinul n.

▪ Demonstratie

Fie A, B  O_n (R); rezulta ca = I_n si = I_n.

Avem: · (AB)= ( ) · (AB)= ) · B== I_n.

Asadar, AB  O_n (R), iar multimea O_n (R) este parte stabila a multimii Mn (R) in raport cu inmultirea matricelor.

Sa verificam axiomele grupului.

G1) Axioma asociativitatii. Inmultirea matricelor pe multimea O_n (R) este asociativa, fiind operatie indusa de inmultirea matricelor pe M_n (R) ( proprietate de ereditate a asociativitatii).

G2) Axioma elementului neutru. Deoarece I_n = I_n se obtine ca I_n · I_n = I_n, deci I_n  O_n (R). Rezulta ca I_n este elementul neutru al inmultirii matricelor pe multimea O_n (R).

(G3) Axioma elementelor simetrizabile.

Fie A  O_n (R). Din observatia 1 rezulta ca det(A) = ± 1, deci matricea A este inversabila in monoidul M_n (R). Din relatia = I_n se deduce ca A^-1 . Folosind aceasta relatie se obtine (A^-1) · A^-1 = ) · A^-1 = A · A^-1 = I_n, deci A^-1  O_n (R), iar elementul simetric al matricei A in O_n (R) este matricea A^-1.

Inmultirea matricelor nu este comutativa. In concluzie (O_n (R), .) este grup necomutativ.

~Exercitii~

1. Se considera matricea , pentru xR si multimea

a)     Sa se verifice ca , unde

b)     Sa se demonstreze ca

c)     Sa se arate ca este grup comutativ.

Rezolvare:

a)

b)

c) Conform punctului b)  G este parte stabila a lui in raport cu "".

G₁) Asociativitatea . Inmultirea matricelor pe multimea G este asociativa deoarece este operatie indusa de inmultirea matricelor pe

G₂) Comutativitatea:

 " comutativa.

G₃) Elementul neutru:

astfel incat  element neutru.

G₄) Elementele simetrizabile:

astfel incat

  

este simetricul lui

2. Fie . Sa se arate ca este grup comutativ.

Rezolvare:

Fie . Calculam puterile matricei A, pentru a determina multimea M.





Inmultirea matricelor pe multimea M este asociativa deoarece este operatie indusa de inmultirea matricelor pe

Alcatuim tabla operatiei de inmultire pe M:

Din care deducem ca "" pe M este comutativa, admite elementul neuru I₃ si orice element din M este simetrizabil.

In concluzie este grup comutativ.

3. Fie . Sa se arate ca G este grup comutativ in raport cu inmultirea matricelor.

Rezolvare:

G este parte stabila a lui in raport cu inmultirea matricelor 

Fie si



G₁) Asociativitatea .

Inmultirea matricelor pe G este asociativa .

G₂) Comutativitatea: "" comutativa 

Fie si

G₃). Elementul neutru

Verificam daca  si 



astfel incat

G₄). Elementele simetrizabile:

astfel incat

Fie





4. Fie G= M₂ (R)

Sa se arate ca (G,) este grup abelian

Rezolvare:

G parte stabila a lui M₂ (R) in raport cu "·"

 A(a),A(b) G A(a)·A(b) G]

A(a) ·A(b) = , unde = a+b R G parte stabila.

"·" pe G este asociativa fiind operatie indusa de inmultirea matricelor pe M₂(R)

"·" comutativa A(a), A(b)  G, A(a) · A(b) = A(b) · A(a)

"·" comutativa

``Elementul neutru ``: A(0) = = I₂

A(0)  G astfel incat A(a) · A(0) = A(0) · A(a) = A(a) ; A(a)  G

``Elementele simetrizabile``:

A(0)  G; Є G astfel incat   A(a) · · A(a) = I₂ A(a+) = A(+a) = A(0)  = -a  R

[A(a)]ˉ¹ = A(-a)  G .

5. Consolidarea cunostintelor si asigurarea feed-back-ului : Fiecare elev va primi cate o fisa de lucru . Pe parcursul rezolvarii exercitiilor, profesorul intervine cu intrebari, adresate atat elevilor de la tabla cat si celor din clasa, pentru a se clarifica demersul rezolvarii.

6. Tema pentru acasa Se vor propune spre rezolvare ca tema pentru acasa , exercitiile ramase nerezolvate din fisa .

7. Aprecieri: se noteaza elevii care s-au evidentiat in timpul orei.