ACTIVITATEA PROFESORULUI

ACTIVITATEA ELEVULUI:

In figura de mai jos, ABC triunghi oarecare, H_A, H_B, H_C picioarele inaltimilor din A, B respectiv C, iar M_A, M_B,  M_C sunt mijloacele laturilor BC, AC, respectiv AB.

Demonstrati ca H_B M_B M_AM_C este trapez isoscel.

H_B M_B M_AM_C este inscriptibil? Justificati.

Sunt punctele H_B M_B M_A H_A M_C H_C conciclice? Justificati.

Fie E_A E_B E_C mijloacele segmentelor AH, BH, respectiv CH.

Demonstrati ca M_C M_B E_CE_B este dreptunghi

Stabiliti natura patrulaterului M_CE_AE_CM_A

Punctele H_B M_B M_A H_A M_C H_C E_A E_B E_C sunt conciclice. justificati!

Observati si alte puncte diametral opuse in cercul celor 9 puncte!

Vom  nota cu N centrul cercului celor 9 puncte. Priviti figura alaturata si observati cum a fost determinat punctul N!

Cercul care trece prin cele 9 puncte se numeste Cercul lui Euler.

In desenul alaturat O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC iar BA" este unul din diametri acestui cerc.

Completati spatiile punctate:

Punctele H, G, O sunt coliniare si HG=2GO (DREAPTA LUI  EULER)

TEMA:

Aratati ca N este mijlocul segmentului HO

(H ortocentrul triunghiului si O centrul cercului circumscris triunghiului ABC)

Elevii analizeaza figura si observa ca:

1. M_AM_C este linie mijlocie in triunghiul ABC, deci M_AM_C|| AC  deci patrulaterul M_AM_BM_CH_B este trapez

2. M_AM_B este linie mijlocie in triunghiul ABC, deci M_AM_B= AB/2

3. in triunghiul BH_BA, H_BM_C mediana, deci conform proprietatii medianei corespunzatoare ipotenuzei intr-un triunghi dreptunghic H_BM_C=AB/2

4. trapezul M_AM_BM_CH_B este isoscel

5. elevii justifica de ce un trapez isoscel este inscriptibil

6. elevii justifica faptul ca si picioarele inaltimilor din A si C apartin cercului determinat de mijloacele laturilor triunghiului ABC

Elevii analizeaza figura si observa ca:

M_CE_B este linie mijlocie in triunghiul BAH, deci M_CE_B|| AH si M_CE_B= AH/2 . Analog M_BE_C ||AH si M_BE_C =AH/2 deci M_CM_BE_CE_B paralelogram

2. M_CE_B este linie mijlocie in triunghiul ABC T M_CE_B|| BC. Cele doua drepte paralele determina cu secanta AC unghiurile congruente: <AM_BM_Cs <BCA (corespondente)

3. M_BE_C ||AH (din 1.) intersectate de aceeasi secanta AC T unghiurile congruente < CM_BE_Cs <H_AAC

4. Din 2. si 3. si cu observatia ca in triunghiul dreptunghic AH_AC unghiurile <H_AAC si  < H_ACA sunt complementare T m(<M_CM_BE_C )=90⁰, deci M_C M_B E_CE_B este dreptunghi.

Elevii justifica analog ca si patrulaterul M_CE_AE_CM_A este dreptunghi

6. Elevii observa ca diagonala M_CE_C  a dreptunghiului M_CE_AE_CM_A este aceeasi in dreptunghiul M_C M_B E_CE_B, deci toate aceste puncte apartin cercului de diametru M_CE_C.

7. Elevii observa perechile de puncte: M_B si E_B ; M_A si E_A

8. Elevii construiesc diagonalele dreptunghiului

M_C M_B E_CE_B si cum orice dreptunghi este inscriptibil, aceste diagonale sunt diametrii pentru cercul celor 9 puncte; deci punctul lor de intersectie reprezinta centrul acestui cerc.

Elevii completeaza spatiile punctate:

1) BCA"A este patrulater . . . . . . .

2) m(<BCA")= . . ..; m(<BAA")= . . ..

3) AH_A BC si  A"C BCT

4) CH_C BA si  A"A BAT

5) AH||A"C si CH||AA" T patrulaterul AHCA" este    . . .

6) AC HA"=, deci H, M_B si A" sunt puncte . . . . . .

7) O mijlocul lui BA" si M_B mijlocul lui A"H atunci OM_B este . . . . . ..in triunghiul BHA" TOM_B= . . . .

8) Fie G punctul de intersectie al lui AM_B cu HO.

9) Triunghiurile BHG cu M_BOG sunt triunghiuri . T

10) G  este . . . .

11) Deci punctele H, G, O sunt . . . .. si T GH= . . .