MODELE ECONOMETRICE

1.1.          Generalitati

Modelarea economica reprezinta un proces de cunoastere mijlocita a realitatii cu ajutorul unui instrument cu caracteristici speciale: modelul. Sistemul real supus studiului este inlocuit prin modelul sau, care este o reprezentare simplificata a obiectului cercetat.

Modelul econometric este, de regula, o multime de relatii numerice care permite reprezentarea simplificata a procesului economic supus studiului (uneori chiar a intregii economii). Modelele actuale comporta adesea mai mult de zece relatii (ecuatii). Validitatea unui model este testata prin confruntarea rezultatelor obtinute cu observatiile statistice. Pentru a studia un fenomen economic se incearca   reprezentarea lui prin comportamentul unei variabile. Aceasta variabila economica depinde, la rindul sau de alte variabile de care este legata prin relatii matematice.

De exemplu, daca se studiaza cererea (C) si oferta (O) dintr-un anumit bun pe o piata, se stie ca cererea si oferta depind de pretul (p) bunului respectiv. Putem scrie ca variabilele C si O sunt functii de variabila p si ca la echilibrul pietei, trebuie ca cererea sa fie egala cu oferta. Se construieste astfel un model elementar de forma:

[1]

Oferta si cererea dintr-un anumit bun depind si de alte variabile decat pretul. Astfel, cererea dintr-un bun alimentar depinde si de venitul disponibil, de pretul unor produse analoage etc. La fel, daca este vorba despre un bun agricol (grau,) oferta depinde de pretul anului precedent. Relatia stabilita intre variabile in modelul econometric este data, de regula, la un anumit moment de timp t, caz in care variabilele apar indiciate:

[2]

In modelul [2] s-au introdus mai multe variabile care explica cererea si oferta dintr-un bun si s-a considerat realizarea acestor variabile la momentul t sau t-1. Se observa ca modelul comporta mai multe relatii. Se zice ca avem un model cu ecuatii multiple. Evident, se va incepe studiul cu un model mai simplu, cu o unica ecuatie.

1.2.          Model aleator

Sa presupunem ca se studiaza consumul (C_i) dintr-un anumit bun de catre o familie (i). Intre alte variabile, consumul depinde de venitul disponibil al familiei (V_i). Modelul econometric elementar consta in a exprima C_i in functie de V_i. Desigur, alti factori - dintre care unii sunt necunoscuti - determina de asemenea consumul familiei. Condensam efectele acestor alti factori intr-unul singur, aleator, notat ε_i. Se obtine astfel un model aleator:

[3]

Factorul aleator ε_i este o variabila aleatoare care urmeaza o anumita lege de probabilitate, ce va trebui sa fie specificata prin ipotezele facute asupra modelului. Cel mai frecvent, ipotezele se refera doar la momentele de ordinul I si II ale variabilei aleatoare ε_i. Urmeaza sa ne asiguram ca functia f (sau clasa de functii) aleasa nu contrazice rezultatele experientei. De exemplu, daca s-a ales f ca o functie liniara (adica f(V_i) = aV_i+b), modelul econometric este:

[4]

si variind pe i pentru diferitele familii studiate, ne vom asigura ca relatia [4] este bine satisfacuta. Se spune ca "testam" modelul. Daca rezultatul obtinut este convenabil, se va trece la "estimarea" parametrilor a si b. Apoi, definind o "regula de previziune" se va putea determina consumul C_i daca se cunoaste venitul V_i.

1.3.          Natura variabilelor care apar in model

Intr-un model econometric se disting doua tipuri de variabile:

-exogene. Sunt variabilele explicative ale variabilei studiate si se considera ca fiind date autonom. In modelul [4] V_i este variabila exogena (sau explicativa, independenta). Venitul familiei V_i explica in acest model consumul familiei C_i. Valoarea variabilei exogene -pentru un i dat si pentru ε_i precizat- permite determinarea consumului C_i.

-endogene. Sunt variabilele de explicat (sau dependente). C_i este variabila endogena in modelul precedent. Se poate remarca faptul ca C_i este acum o variabila aleatoare datorita lui ε_i.      

Distinctia intre natura variabilelor este foarte importanta si va trebui precizata intotdeauna inainte de a studia modelul. Cand modelul econometric a capatat formularea matematica definitiva se spune ca modelul a fost "specificat". Modelul [4] de mai sus este specificat. Se cunoaste forma functiei f din expresia C_i = f(V_i) + ε_i , adica f(V_i) = aV_i+b. Adaugarea variabilei exogene ε_i da modelului formularea definitiva [4].

Multimea parametrilor care definesc complet modelul econometric constituie "structura" acestuia. De exemplu, daca a = 0,7 si b = 23 iar ε urmeaza o lege de probabilitate normala de medie (speranta matematica) egala cu zero si dispersie (varianta) egala cu 5, atunci multimea

a = 0,7; b= 23;  s =

constituie structura modelului [4]. Scopul va fi acela ca, plecand de la cuplurile (C_i,V_i) asociate diferitelor familii i, sa se determine structura adevarata a modelului. Cu alte cuvinte, plecand de la un spatiu esantion definit de multimea cuplurilor (C_i,V_i) sa se determine structura adevarata a modelului in spatiul cu trei dimensiuni al structurilor

a , b, s . Aici intervine "inductia"statistica.

1.4.          Inductia statistica

Obiectul inductiei statistice este de a determina o procedura care, pornind doar de la observatiile statistice de care dispunem, sa permita trecerea de la spatiul esantion la spatiul structurilor. Odata ce modelul a fost ales, se admite ca exista un triplet (a, b, s ) care permite reprezentarea exacta a procesului prin care valorile variabilelor observate au fost determinate. In cursul inductiei statistice modelul nu se mai modifica. Procedura aleasa - asa cum se va vedea in continuare - va consta in obtinerea de estimatori pentru parametrii a si b care sa permita determinarea celor mai bune valori reale ale acestor parametri. Aceste valori se vor aprecia, in general, cu ajutorul unor "intervale de incredere" construite la un prag de semnificatie (a) dat. De exemplu, in modelul [4] se va gasi ca aI[0,64;0,78] si bI[20;27] cu o probabilitate de 95% (s-a considerat a=5%). Se poate estima si abaterea medie patratica (s) a variabilei aleatoare ε_i. Se va vedea rolul important jucat de aceasta variabila aleatoare in modelul econometric.

1.5.          Identificarea modelului

Consideram din nou modelul C_i=aV_i+b+ε_i. Sa presupunem ca procedura utilizata, pornind de la informatia detinuta, adica de la cuplurile (C_i,V_i), i=1,2, nu conduce la o solutie unica, ci la doua structuri distincte: s₀= a₀,b₀,s₀ , s₁ = a₁,b₁,s₁ . Deorece legea de probabilitate pentru ε precizeaza si legea de probabilitate pentru C, fiecare structura (tinand cont de valorile exogenelor si de legea lui ε) conduce la o lege de probabilitate pentru C. Presupunem ca structurile s₀ si s₁ conduc la aceeasi lege de probabilitate pentru consumul C. Sunt posibile doua cazuri:

Lucrare: Motivatia si satisfctia in munca -premisele reusitei si succesului profesional Lucrare: Procesul asigurarea calitatii - tratarea produsului neconform

s₀ si s₁ sunt distincte si nu putem alege intre ele. Se spune ca structurile considerate nu sunt "identificabile" si, ca urmare, modelul nu este identificabil. Din aceasta cauza nu vom putea determina valorile parametrilor care figureaza in model;

s₀ si s₁ nu sunt distincte, intersectia lor nu este vida. Acestea vor permite identificarea unei parti a parametrilor modelului (cei care apartin intersectiei). Se spune ca cele doua structuri sunt echivalente, dar nu permit o identificare completa a modelului.

Problema identificarii este importanta mai ales in cazul modelelor cu ecuatii multiple.

1.6.          Previziunea variabilei endogene

Interesul unui model a carui structura a fost determinata consta in a-l utiliza pentru previzionarea variabilelor endogene - intr-o etapa viitoare sau intr-o circumstanta data, daca este vorba despre observatii luate la acelasi moment-, atunci cand cele exogene au fost fixate. De exemplu, daca dorim sa studiem evolutia importurilor (Y) in functie de produsul intern brut (X₁) si de nivelul stocurilor (X₂),  modelul econometric este:

y_t=a₁x_1t+a₂x_2t+b+ε_t, t=1,2,,T

unde t este timpul. Datele istorice (pe perioada 1990-2005) despre Y, X₁ si X₂ (observatiile fiind anuale) permit determinarea parametrilor modelului. Sa presupunem ca am gasit estimatiile punctuale:

Modelul "estimat" este: . Daca dorim sa facem o previziune a importurilor pentru anul 2007, trebuie sa stim PIB-ul si nivelul stocurilor in anul 2007. Presupunind ca aceste variabile exogene sunt x₁=1030 si x₂=12,7 vom avea ca previziune pentru y:

y₂₀₀₇=(0,14).1030+(0,6).(12,7)+6

sau, in general, , unde θ este perioada de previziune.

Observatie. Asupra valorii previzionate trebuie sa remarcam:

valorile exogenelor x_1θ, x_2θ au fost alese arbitrar, eventual tinind cont de evolutia lor trecuta;

specificarea modelului nu poate fi perfecta, forma functiei alese pentru a explica evolutia lui y neputind fi suficient de precisa;

este posibil ca variabilele explicative (exogene) ale variabilei endogene (explicate), sa nu mai intervina in acelasi mod ca in perioada 1990-2005, cind s-a studiat legatura dintre ele. Este posibil sa aiba loc un soc, o ruptura care sa perturbe echilibrul dintre variabilele care explica fenomenul, la momentul previziunii.

Rezumatul capitolului I

Pentru constructia si utilizarea unui model econometric, se parcurg urmatoarele etape:

specificarea modelului (gasirea formularii matematice definitive a legaturii dintre variabilele care descriu fenomenul sau procesul economic studiat);

estimarea parametrilor si testarea modelului cu ajutorul statisticilor (seriilor de date observate) deja cunoscute;

previziunea variabilei endogene.

1.7.          Vocabular uzual

Daca sunteti familiarizati cu statistica matematica, puteti trece la capitolul II. In caz contrar, va reamintim aici citeva notiuni de baza. Lectura acestui paragraf credem ca va va  incita sa revedeti cursul de Statistica matematica.

Nor de puncte - Fiind data o serie de date statistice in care valorile (x_i,y_j) apar efectiv de n_ij ori putem reprezenta intr-un plan toate aceste valori prin puncte de coordonate (x_i,y_j) afectate de coeficientii n_ij , obtinandu-se astfel un nor de puncte.

Ajustare - Reprezentarea grafica a seriilor de date economice conduce frecvent la figuri putin lizibile si greu de interpretat din cauza variatiilor pe termen scurt, numeroase si sensibile, dar fara o semnificatie importanta. Metodele matematice numite "de ajustare" permit obtinerea unei curbe simple, cat mai apropiata posibil de multimea de puncte furnizate de observatiile empirice disponibile.

Ajustare liniara - Atunci cand reprezentarea grafica a unei serii statistice duble da un nor de puncte de forma alungita, se incearca obtinerea unei aproximari bune a acestei serii cu ajutorul unei drepte, realizandu-se astfel o ajustare liniara. Exista mai multe metode pentru gasirea acestei drepte:

- metoda grafica (se determina punctul mediu M ale carui coordonate sunt si se traseaza dreapta care pare a fi cea mai reprezentativa a seriei, determinand ecuatia Y=aX+b. Aceasta metoda este ambigua pentru ca nu tine cont de ponderea fiecarui punct in norul de puncte);

- metoda lui Mayer (se regrupeaza punctele norului in doua submultimi carora li se determina punctele medii M₁ si M₂. Dreapta de ajustare este atunci dreapta care trece prin M₁ si M₂);

- metoda celor mai mici patrate (consta in a face minima suma patratelor distantelor de la punctele norului la o dreapta de ecuatie Y=aX+b numita dreapta de regresie a lui Y in X. Se arata ca panta (coeficientul director) acestei drepte este a=cov(X,Y)/Var(X). Coeficientul b se obtine scriind ca dreapta de regresie trece prin punctul mediu: . Procedand la fel se gaseste dreapta de regresie de ecuatie X=a Y+b , cu a =cov(X,Y)/Var(Y) si . Cele doua drepte de regresie sunt, in general, distincte. Compararea lor permite masurarea nivelului de corelatie al caracteristicilor X si Y. Corelatia se masoara cu coeficientul de corelatie r=cov(X,Y)/s(X)s(Y). Se constata ca r²=aa si ca r variaza intre -1 si 1. r² masoara unghiul dintre cele doua drepte de regresie, care coincid daca r²=1, adica . Caracteristicile X si Y sunt corelate maximal cand este apropiat de 1).

In afara faptului de a da o reprezentare mai mult sau mai putin satisfacatoare legaturii dintre X si Y, importanta ajustarii liniare este de a permite previziuni statistice, asociind lui X o valoare probabila a lui Y prin relatia Y=aX+b.

Probabilitate - Fiind data o multime finita W, numim probabilitate pe W orice aplicatie p a lui P(W - multimea partilor lui W - in intervalul [0,1 care verifica trei conditii:

- p(A) 0, pentru AI P W

- p(W)=1

- p(A B)= p(A)+ p(B), daca A,BI P W), A B=F

W se numeste univers (sau univers de probabilitati). W inzestrat cu probabilitatea p se numeste spatiu probabilizat. Orice parte a lui W este un eveniment. Un singleton (multime ce contine un singur element) al lui W se numeste eveniment elementar sau eventualitate. W este evenimentul cert. F este evenimentul imposibil. este evenimentul complementar lui A in W (se numeste eveniment contrar lui A). Daca A B=F, evenimentele A si B sunt incompatibile.

Variabila aleatoare - Daca W este un univers finit, numim "variabila aleatoare" orice aplicatie X: W R ( a lui W in multimea numerelor reale). Multimea valorilor lui X, adica X(W se numeste universul imagine. Atentie!- o variabila aleatoare nu este o variabila, ci o aplicatie! Se observa ca nu este necesar sa cunoastem o probabilitate pe W pentru a defini o variabila aleatoare pe W

Legea de probabilitate a unei variabile aleatoare - Daca universul finit W este inzestrat cu o probabilitate p, iar X este o variabila aleatoare definita pe W, numim lege de probabilitate a variabilei aleatoare X, aplicatia p_x: X(W [0,1 care asociaza oricarui xIX(W probabilitatea evenimentului "multimea antecedentelor lui x prin X". Aceasta multime X^-1(x) este notata (X=x). Legea de probabilitate a lui X, notata p_x este definita prin p_x: X(W [0,1 , x p(X=x). A studia o variabila aleatoare inseamna a-i descoperi legea sa de probabilitate.

Functie de repartitie - Daca universul finit W este inzestrat cu o probabilitate p, iar X este o variabila aleatoare definita pe W, se asociaza acestei variabile aleatoare functia F:R [0,1 definita prin F(x)=p(X<x) numita functie de repartitie a variabilei aleatoare X. Evenimentul (X<x) este imaginea intervalului prin functia X. Functia de repartitie este o functie in scara.

Speranta matematica - Daca X este o variabila aleatoare definita pe universul finit W, inzestrat cu probabilitatea p, universul imagine este o multime finita si ia valorile x_i, i=1,2,,n. Legea de probabilitate a lui X asociaza fiecarui x_i probabilitatea p_i=p(X=x_i). Se numeste speranta matematica a variabilei aleatoare X, numarul real . E(X) este media in probabilitate a valorilor luate de variabila aleatoare X. E(.) este un operator liniar.

Varianta - Daca X este o variabila aleatoare definita pe universul finit W, inzestrat cu probabilitatea p, universul imagine este o multime finita si ia valorile x_i, i=1,2,,n. Legea de probabilitate a lui X asociaza fiecarui x_i probabilitatea p_i=p(X=x_i). Se numeste varianta a variabilei aleatoare X, numarul real pozitiv . Varianta este media in probabilitate a patratului distantelor de la x_i la media lor. Radacina patrata (radicalul) lui Var(X) este ecartul-tip al variabilei aleatoare X, notat s_x

Momente conditionate - Se considera vectorul aleator , cu repartitia , si variabila aleatoare conditionata (X/Y=y_j) cu repartitía . Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X conditionat de Y=y_j este momentul initial de ordinul k al variabilei aleatoare conditionate (X/Y=y_j):

Similar se defineste momentul de ordinul k al variabilei aleatoare Y conditionat de X=x_i.

Pentru k=1 se obtin mediile conditionate:

Se pot defini variabilele aleatoare "medii conditionate" astfel:

- variabila aleatoare "media lui X conditionata de Y", cu repartitia:

-variabila aleatoare "media lui Y conditionata de X" , cu repartitia:

Regresie - Se numeste regresia variabilei aleatoare X in raport cu Y, variabila aleatoare M(X/Y) cu multimea valorilor posibile: M(X/Y=y),

Similar, regresia variabilei aleatoare Y in raport cu X este: M(Y/X=x),

Daca M(X/Y)=aX+b sau M(Y/X)=cY+d se spune ca regresia este liniara

Repartitía normala - Variabila aleatoare X urmeaza o repartitie normala de parametri m si σ (se mai scrie si ) daca densitatea ei de probabilitate (derivata functiei de repartitie) este:

σ>0

Pentru m=0 si σ =1 se obtine repartitia normala "normata" N(0,1), cu densitatea de probabilitate:

Se arata ca parametri m si σ² sunt media (speranta matematica), respectiv dispersia (varianta) variabilei aleatoare .

Repartitia χ² (hi-patrat) cu n grade de libertate - Variabila aleatoare X urmeaza legea de repartitie hi-patrat cu n grade de libertate (se mai scrie si ) daca densitatea ei de repartitie este:

x>0,

Daca variabilele aleatoare i=1,2,,n sunt independente, atunci variabila aleatoare urmeaza legea de repartitie H(n).

Repartitia Student cu n grade de libertate S(n) - Variabila aleatoare X urmeaza legea de repartitie Student cu n grade de libertate daca densitatea ei de repartitie este:

Daca variabilele aleatoare sunt independente, atunci variabila aleatoare .

Repartitia Fisher-Snedecor F(n₁,n₂) - Variabila aleatoare X urmeaza legea de repartitie Fisher-Snedecor cu n₁ si n₂ grade de libertate daca densitatea ei de repartitie este:

x>0,

Daca variabilele aleatoare si sunt independente, atunci variabila aleatoare .