Tipuri de convergenta ale sirurilor de variabile aleatoare reale

1. Siruri de variabile aleatoare reale

Fie o algebra de evenimente cu evenimentul sigur , iar multimea tuturor variabilelor aleatoare reale definite pe cu valori reale : este variabila aleatoare reala . In continuare avem sa definim notiunea de sir de variabile aleatoare reale:

Definitia 1.1. O functie se numeste un sir de variabile aleatoare reale.

2. Convergenta punctuala si uniforma a sirurilor de variabile aleatoare reale

Definitia 2.1. Vom spune ca un sir de variabile aleatoare reale converge punctual catre o functie daca pentru orice avem , adica daca pentru orice sirul este un sir de numere reale convergent catre un numar real, limita pe care o notam cu .

Folosim formalismul matematic sirul de variabile aleatoare reale converge punctual catre functia daca pentru orice si pentru orice exista astfel incat pentru orice sa avem .

Definitia 2.2. Vom spune ca sirul de variabile aleatoare reale este marginit punctual, daca pentru orice avem ca multimea de numere reale este o multime marginita, adica pentru fiecare exista astfel incat .

Teorema 2.1. Fie un sir de variabile aleatoare reale marginit punctual .

Atunci functiile:

definite pentru orice sunt tot variabile aleatoare reale.

Teorema 2.2 Daca siruri de variabile aleatoare reale este convergent punctuial catre functia atunci functia limita este tot mai variabila aleatoare reala.

Demonstratie : Din convergenta punctuala a sirului de variabile aleatoare reale catre functia rezulta marginirea punctuala a sirului de variabile aleatoare reale si pentru orice avem :

.

Definitia 2.3. Vom spune ca un sir de variabile aleatoare reale este un sir Cauchy punctual daca pentru orice sirul este un sir de numere reale Cauchy sau fundamental.

Teorema 2.3. Sirul de variabile aleatoare reale este convergent punctual daca si numai daca este sir Cauchy punctual.

Demonstratie . Din analiza reala se stie ca multimea numerelor reale R este completa, adica un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir Cauchy.Prin urmare pentru orice sirul este un sir de numere reale convergent daca si numai daca este un sir numeric Cauchy sau fundamental q.e.d.

Definitia 2.4.Vom spune ca un sir de variabile aleatoare reale converge uniform catre o functie , daca pentru orice , exista astfel incat pentru orice .

Definitia 2.5.Vom spune ca un sir de variabile aleatoare reale este un sir Cauchy uniform (sau sir fundamental uniform), daca pentru orice exista astfel incat pentru orice sa rezulte pentru orice .

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

Teorema 2.4. Un sir de variabile aleatoare reale este convergent uniform daca si numai daca este un sir Cauchy uniform.

Demonstratie. Prima data sa presupunem ca sirul de variabile aleatoare reale este convergent uniform , adica exista o variabila aleatoare reala pentru care daca , atunci pentru orice .Atunci daca , se obtine :

pentru orice .Invers sa presupunem ca sirul de variabilealeatoare reale este sir Cauchy uniform , deci pentru orice , exista astfel incat pentru orice sa avem pentru orice .

Pentru un fixat rezulta ca sirul de numere reale este un sir numeric Cauchy, deci este convergent si fie .Prin urmare sirul de variabile aleatoare este convergent punctual catre o variabila aleatoare conform teoremei 11.2.2. In inegalitatea trecem la limita dupa deci daca si pentru orice .

3. Convergenta aproape sigura a sirurilor de variabile aleatoare reale

Fie o algebra de evenimente avand pe evenimentul sigur, iar o probabilitate aditiva.

Definitia 3.1. Vom spune ca o proprietate este valabila aproape sigur, daca multimea evenimentelor elementare din care nu verifica aceasta proprietate formeaza un eveniment din cu probabilitatea zero.

Exemplul Vom spune ca variabilele aleatoare verifica relatia aproape sigur, daca , deoarece multimea .Egalitatea anterioara se poate scrie si sub forma echivalenta : doua variabile aleatoare reale verifica relatia aproape sigur, daca .Intr-adevar, evenimentul este evenimentul contrar evenimentului se aplica teorema 2.4.1.

Definitia 3.2. Sirul de variabile aleatoare reale converge aproape sigur catre variabila aleatoare , daca :

.

Pentru convergenta aproape sigura vom folosi notatia , iar evenimentul il vom nota cu

Conditia daca in definitia convergentiei aproape sigure este echivalenta cu relatia:

.

Teorema 3.1. Fie si sunt doua siruri de variabile aleatoare reale, iar doua variabile aleatoare reale astfel incat si .Atunci avem ca:

si .

Teorema 3.2. Daca pentru siruri de variabile aleatoare reale avem si atunci .

Demonstratie Din unicitatea limitei rezulta incluziunea . Trecand la evenimentele complementare obtinem :.Aplicand proprietatile probabilitatii avem : , deci , adica .

Definitia 2.3. Vom spune ca sirul de variabile aleatoare reale este sir Cauchy aproape sigur, daca :

.

Teorema 3.3. Sirul de variabile aleatoare reale este sir Cauchy aproape sigur daca si numai daca este sir convergent aproape sigur.

Mentionam urmatorul rezultat, fara a da demonstratia, unde descriem evenimentul :

Teorema 3.4. Avem

.

Teorema 3.5. Daca sirul de variabile aleatoare reale converge punctual catre variabila aleatoare reala , atunci .

Demonstratie . Daca converge punctual catre atunci pentru orice avem , deci , adica .

4. Convergenta in probabilitate a sirurilor de variabile aleatoare reale

Fie o algebra de evenimente , evenimentul sigur al algebrei, iar o probabilitate aditiva.

Definitia 1.16.4.1. Sirul de variabile aleatoare reale converge in probabilitate catre variabila aleatoare ,daca pentru orice , fixat avem:

Pentru convergenta in probabilitate vom folosi notatia .

Conditia data in definitia convergentei in probabilitate este echivalenta cu relatia :

Aceasta afirmatie rezulta imediat din faptul ca :

.

Teorema 4.1.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente pentru un sir de variabile aleatoare si variabila aleatoare :

i)           

ii)          pentru orice si orice exista astfel incat pentru orice sa avem: , unde

,

iii)        pentru orice si orice exista astfel incat pentru orice sa avem : , unde :

.

Teorema 4.2. Daca si sunt doua siruri de variabile aleatoare reale, iar sunt doua variabile aleatoare reale astfel incat si , atunci avem : si .

Teorema. 4.3. Daca petru sirul de variabile aleatoare avem ca si atunci .

Teorema 4.4. Daca pentru sirul de variabile aleatoare reale , avem , atunci .

Teorema 4.5. Daca atunci exista un subsir al sirului de variabile aleatoare reale , astfel incat .