Functii derivabile

I. 1. TANGENTA LA O CURBA

Fie o functie continua

Ecuatia tangentei in la curba este

I. 2. DEFINITIA DERIVATEI UNEI FUNCTII INTR-UN PUNCT

Definitie Fie , . Se spune ca este derivabila in daca exista in ( exista si este finita ) adica unde si este un interval sau o reuniune de intervale.

Observatii

se citeste: derivata functiei in raport cu in punctul

In loc de se folosesc pentru derivate .

Daca o functie nu este definita intr-un punct, nu se pune problema derivabilitatii in acel punct.

Derivata intr-un punct este un numar.

Daca limita exista, insa este infinita , spunem ca derivata functiei in punctul este infinita. Atunci functia nu este derivabila in punctul

Teorema Orice functie derivabila intr-un punct atunci este continua in punctul .

Definitie Se spune ca functia este derivabila pe daca este derivabila in fiecare punct .

Observatie Reciproca acestei teoreme este falsa. O functie continua intr-un punct nu este cu necesitate derivabila in punctul .

nu este derivabila in punctul desi este continua in acest punct.

I. 3. DERIVATELE LATERALE

Definitie Fie . Se spune ca are derivata la stanga in daca limita , exista in .

Definitie: Fie . Se spune ca are derivata la dreapta in daca limita , exista in .

Teorema

Functia are derivata in are derivatele laterale in si .

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

Functia este derivabila in este derivabila bilaterala ( la stanga si la dreapta ) in si .

II PUNCTE REMARCABILE PENTRU GRAFICUL UNEI FUNCTII

II. 1. PUNCT UNGHIULAR

Daca este continua in , si cel putin una din derivatele laterale este finita, atunci se numeste punct unghiular ( cele doua semitangente formeaza un unghi ).

II. 2. PUNCTE DE INTOARCERE

Daca si (sau invers) si este continua in , atunci punctul se numeste punct de intoarcere al graficului lui

Daca si (sau invers) si este continua in , atunci punctul se numeste punct de intoarcere al graficului lui

II. 3. PUNCTE DE EXTREM

a)        Daca atunci este punct de maxim.

b)        Daca atunci este punct de minim.

II. 4. PUNCTE DE INFLEXIUNE

Fie o functie de doua ori derivabila, si o radacina reala a derivatei a doua, din .

Punctul este punct de inflexiune ( punct in care tangenta la grafic traverseaza graficul ) daca se anuleaza si isi schimba semnul.

II. 5. DERIVATA UNEI FUNCTII PE O MULTIME

Fie si Se spune ca functia este derivabila pe multimea daca este derivabila in fiecare punct al multimii .

II. 6. CONCAVITATE - CONVEXITATE

Fie

Daca continua pe , si exista pe , ( respectiv )

functia este convexa cand , tine apa - ( respectiv con-cava, cand , nu tine apa - ) pe .

II.   7. ECUATIA TANGENTEI LA GRAFIC IN PUNCTUL

Fie , ,

Conditia ca si sa fie tangente in punctul si .

O functie are tangenta in daca este derivabila pe tot domeniul sau pe domeniul de definitie.

este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui in punctul si (panta tangentei)

Daca atunci tangenta in este paralela cu axa .

Daca este continua in ; si cel putin una dintre derivate este finita, atunci se numeste punct unghiular.

III OPERATII CU FUNCTII DERIVABILE

Fie doua functii derivabile pe , atunci

a)       

b)       

c)        

d)       

III.   1. DERIVATA FUNCTIEI COMPUSE

Teorema: Fie intervale si , doua functii. Daca este derivabila pe si este derivabila pe , atunci este derivabila pe si

III. 2. DERIVAREA FUNCTIEI INVERSE

Teorema: Fie , , intervale, continua si bijectiva. Daca este derivabila in punctul si , atunci functia inversa este derivabila in punctul si .

Observatie , si

III. 3. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR

Definitie Functia este de doua ori derivabila in , daca:

- este derivabila intr-o vecinatate a lui

- este derivabila in

Definitie Fie . Functia se numeste derivabila de ordin daca este derivabila de ordin si daca derivata sa de ordin , este derivabila.

Definitie Functia se numeste derivabila de ordinul sau functie infinit derivabila daca este derivabila de orice ordin , .

Formula Leibniz Fie , doua functii de ori derivabile pe intervalul atunci avem:

III. 4. DIFERENTIALA UNEI FUNCTII

Definitie: Functia data de corespondenta se numeste diferentiala functiei in si se noteaza cu