Functia de repartitie si densitatea de probabilitate

1 Functia de repartitie

Definitia 1.1 Functia se numeste functie de repartitie daca;

i)            F este monoton crescatoare,

ii)          F este continua la stinga,

iii)        si

Exemplu : Plecand de la functia arctg :, care este continua si monoton crescatoare pe , putem construi urmatoarea functie , care verifica conditiile din definitia 6.1.1 si este continua pe toata axa reala.

Teorema 1.1 Pentru orice functie de repartitie au loc urmatoarele proprietati:

i)            pentru orice exista si este finita , unde cu am notat limita la dreapta in punctul x al functiei

ii)          F este continua in punctul daca si numai daca , altfel in punctul x avem o discontinuitate de speta intai ( adica exista limitele laterale in x si sunt finite).

iii)        multimea punctelor de discontinuitate ale functiei de reapartitie F este cel mult numarabila.

2 Functia de repartitie a unei variabile aleatoare reale

Fie o -algebra de evenimente, evenimentul sigur , o probabilitate -aditiva , iar o variabila aleatoare reala. Se defineste o functie data prin formula

pentru orice

Teorema 2.2 Daca este o variabila aleatoare reala, iar functia de repartitie corespunzatoare data de relatia (7.1) atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i)            F este continua la dreapta in

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

ii)          .

Demonstratie Se considera sirul strict monoton descrescator, astfel incat . Avem :

Prin urmare , daca F este continua la dreapta in x , avem , deci , si invers.

3 Functia densitate de probabilitate

Definitia 3.1 O functie integrabila in sens Riemann se numeste densitate de probabilitate, daca verifica :

i) pentru orice

ii)

Teorema 3.1 Daca este o densitate de probabilitate, atunci functia va fi o functie de repartitie.

Observatie Daca este o densitate de probabilitate atunci functia de repartitie F este chiar continua.

Teorema 3.2 Daca densitatea de probabilitate este continua in punctul , atunci functia de repartitie , data de formula este derivabila in punctul

Demonstratie Fie un sir monoton crescator de numere reale astfel incat pentru orice si . Atunci:

Astfel am demonstrat ca F este derivabila la stinga in punctual si . In mod analog se demonstreaza ca F este derivabila la dreapta in punctul .Prin urmare, pentru orice punct de continuitate a lui , F este derivabila in si .

Observatie Daca densitatea de probabilitate este continua pe axa reala, atunci functia de repartitie corespunzatoare F este derivabila pe axa reala si . Prin urmare in cazul densitatilor de probabilitate continue functia de repartitie F joaca rolul de primitiva a lui

Teorema 3.3 Daca este o densitate de probabilitate, atunci functia de repartitie data de formula este o functie absolut continua.

Demonstratie Trebuie sa demonstram ca pentru orice exista astfel incat pentru orice si orice puncte cu rezulta ca . Intr+adevar, pentru un dat alegem , unde este o margine pentru functia integrabila Riemann :

Teorema 3.4 Daca o functie de repartitie este absolute continua atunci exista o densitate de probabilitate astfel incit pentru orice

4 Functia de repartitie a unui vector aleator real

n-dimensional

Fie o -algebra de evenimente avand pe evenimentul sigur, iar un vector aleator, iar o probabilitate data.

Definitia 4.1 Functia data prin formula pentru orice se numeste functia de repartitie a vectorului aleator X.

Teorema 4.1 Are loc urmatoarea egalitate pentru orice numere reale cu Teorema 4.2 Daca F este o functie de repartitie a unui vector aleator real n dimensional, atunci

unde este o functie de repartitie a unui vector aleator real n-1 dimensional.

Teorema 4.3 Daca F este o functie de repartitie a unui vector aleator real n dimensional, atunci :

.

Definitia 4.2 O functie integrabila Riemann se numeste densitate de probabilitate, daca verifica:

i) pentru orice ;

ii) .