ANEXA 1.                                TESTE-GRILA

TEST 1 V.1

Metoda TANGENTEI (Newton) . .

a)     se utilizeaza pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare;

b)     are ca idee reducerea progresiva a intervalului de examinare a functiei prin inlocuirea ei cu o tangenta la punctul care se deplaseaza in directia radacinii;

c)      metoda nu poate fi aplicata pentru orice functie sau domeniu;

d)     se recomanda utilizarea impreuna cu metoda de injumatatire a intervalului;

e)     abscisa a punctului k se determina dupa formula:

Metoda iteratiilor pentru sisteme de ecuatii algebrice neliniare .

a)     include rearanjarea sistemelor eliminand partial necunoscutele;

b)     prevede verificarea ecuatiilor iterative daca indeplinesc conditiile de convergenta;

c)      se utilizeaza daca se indeplineste conditia de convergenta:

.

d)     se utilizeaza daca se indeplineste conditia de convergenta:

e) este mai larg utilizata comparativ cu metoda Newton de rezolvare a sistemelor de ecuatii algebrice neliniare .

TEST 2                                                V.1

Metoda TANGENTEI (Newton) . . . . .

a)     are ca idee utilizarea punctului de mijloc drept o extremitate pentru un nou interval de examinare;

b)     este o metoda lenta si sigura;

c)      nu cere conditie pentru intervalul ales:

d)     are formula de calcul: ;

e)     cere alegerea corecta a punctului initial al intervalului pentru asigurarea convergentei.

Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuatii algebrice liniare sunt:

a)     metoda Newton;

b)     metoda iteratiilor;

c)      metoda iteratiilor simple Iacobi;

d)     metoda lui Gauss;

e)     metoda Gauss - Seidel.

TEST 3                                                         V.1

Metoda iteratiilor pentru rezolvarea ecuatiilor neliniare si transcendente.

a)     prevede inlocuirea ecuatiei initiale f(x) = 0 cu o ecuatie echivalenta x = (x)

b)     permite ca valoarea initiala de calcul x₀ [a,b] sa poata fi luata arbitrar;

c)      prevede procedeul de calcul dupa formula:

d)     poate fi aplicata numai la forma ecuatiei x = (x) care are convergenta spre radacina cautata;

e)     este cu atat mai rapida cu cat este mai mica decat 1

Metoda de rezolvare a sistemelor de ecuatii algebrice liniare sunt:

a)     metoda tangentei Newton;

b)     regula dreptunghiului;

c)      regula punctului de mijloc;

d)     metoda iteratiilor Gauss;

e)     metoda iteratiilor simple Iacobi.

TEST 4 V.1

Separarea radacinilor ecuatiilor neliniare si transcendente.

a)     se face prin impartirea intervalului dat [a,b] in mai multe segmente [a_i, b_i], fiecare avand o singura radacina;

b)     contine in prima faza determinarea primei derivate din functia data si a punctelor ei critice;

c)      in faza a doua se alcatuieste un tabel utilizand domeniul dat x si punctele critice;

d)     in faza a treia prevede analiza semnelor functiei si cazul schimbarii semnului functiei f(x) confirma existenta radacinii;

e)     in ultima faza prevede precizarea intervalelor aflate, introducand in tabel segmente mai mari.

Metodele de rezolvare a ecuatiilor neliniare si transcendente sunt:

a)     metoda iteratiilor simple Iacobi;

b)     metoda injumatatirii intervalului;

c)      metoda eliminarii Gauss;

d)     metoda coardei;

e)     metoda trapezului.

TEST 5 V.1

Metoda tangentei NEWTON . . . . . . ..

a)     este cea mai rapida metoda de calcul numeric al ecuatiilor algebrice

neliniare si transcendente;

b)     cere ca intervalul de examinare [a,b] sa fie ales din conditia ;

c)      prevede pentru punctul de calcul k formula:

d)     prevede calculul abscisei punctului care va fi noua extremitate a intervalului urmator

dupa formula

;

e)     prevede calculul abscisei punctului care va fi noua extremitate a intervalului

cu formula

;

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii algebrice liniare sunt:

a)     metoda Lagrange;

b)     metoda Gauss - Seidel;

c)      metoda tangentei Newton;

d)     metodele Newton - Cotes;

e)     metoda iteratiilor Iacobi.

TEST 6                            V.1

Metoda COARDEI . . . . . . . ..

a)     se poate utiliza pentru calculul ecuatiilor algebrice transcendente;

b)     este mai rapida decat metoda injumatatirii intervalului;

c)      are ca baza reducerea progresiva a intervalului prin inlocuirea functiei cu o dreapta trecuta prin extremitatile date si utilizarea punctului de intersectie drept o noua extremitate;

d)     prevede determinarea abscisei punctului k dupa formula:

e)     nu cere sa fie conditia: f(a)f(b)<0.

Metoda Newton pentru sisteme de ecuatii algebrice neliniare

a)     prevede ca solutii se prezinta in forma: x = x_n+h_n, y = y_n+k_n;

b)     prevede liniarizarea ecuatiilor neliniare si rezolvarea sistemului de ecuatii liniare obtinut;

c)      prevede solutia pentru sistemul de ecuatii neliniare in forma: x_n+1 = x_n +h_n , y_n+1 = y_n+k_n ,

unde h_n si k_n rezulta din sistemul de ecuatii liniare;

d)     prevede ca solutia initiala x_n si y_n sa se determina prealabil printr-o metoda, de exemplu cu metoda grafica;

e)     are aplicarea foarte limitata.

TEST 7 V.1

Metoda COARDEI . . . . . . . . . . . . .

a)   are ca ideea reducerea progresiva a intervalului de examinare a functiei date

prin utilizarea punctului de mijloc ca o noua extremitate;

b)   prevede ca intervalul functiei se alege din conditia: f(b)·f(a)<0;

c)    este cea mai simpla si mai sigura metoda de calcul;

d)   prevede calculul abscisei punctului care are sa fie noua extremitate

a intervalului cu formula ;

e)   se utilizeaza pentru rezolvarea ecuatiilor transcendente si neliniare.

Metoda GAUSS - SEIDEL . . . . . . . . . ..

a)este metoda indirecta;

b)se utilizeaza pentru calculul sistemelor de ecuatii algebrice liniare pana la ordinul10³;

c)difera de metoda iterativa Iacobi prin aceea ca, calculul iterativ se face nu pentru fiecare ecuatie, ci de la o ecuatie la alta;

d)prevede ca iteratia k+1 se evalueaza dupa relatia:

e) are conditia de convergenta a procesului de calcul: , i = 1,2 . n, j= 1,2 . n.

TEST 8 V.1

1. Metoda injumatatirii intervalului.

a)     are ca baza reducerea progresiva a intervalului de examinare prin inlocuirea functiei cu o dreapta trecuta prin extremitati si utilizarea punctului de mijloc drept o noua extremitate;

b)     este mai rapida decat metoda coardei;

c)      prevede ca intervalul initial se alege din conditia: f(b)·f(a)<0;

d)     are formula pentru abscisa punctului 'k', care va fi noua extremitate:

;

e)     se aplica la rezolvarea ecuatiilor algebrice neliniare.

Metoda Gauss - Seidel . . . . . . . . . . .

a)     este o metoda iterativa;

b)     se utilizeaza pentru calculul sistemelor de ecuatii algebrice liniare de ordinul 10⁶;

c)      include: rearanjarea ecuatiilor astfel incat fiecare variabila sa aiba coeficientul cel mai mare dupa modul si rezolvarea ecuatiilor fata de fiecare variabila respectiva; introducerea solutiei initiale (nule) si rezolvarea simultana a tuturor ecuatiilor;

d)     prevede calculul iteratiei k+1 dupa:

e)     prevede ca daca este indeplinita conditia de convergenta, atunci solutia initiala poate fi arbitrara.

TEST 9                                                        V.1

Metoda injumatatirii intervalului . . . . . . . . .

a)     se utilizeaza pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare;

b)     este o metoda lenta, dar se converge sigur spre radacina cautata;

c)      cere alegerea intervalului de examinare din conditia f(b)·f(a)>0;

d)     prevede ca punct initial de calcul se ia acel capat al intervalului [a, b] la care
semnul functiei coincide cu semnul derivatei de ordinul doi;

e)     prevede determinarea abscisei punctului k, care va fi noua extremitate dupa:

Metoda Gauss - Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . ..

a)     se utilizeaza pentru calculul sistemelor de ecuatii algebrice liniare;

b)     este metoda directa si cere 2/3 n³ operatii aritmetice;

c)      metoda are la baza ideea transformarii matriceale intr-un sistem cu matricea superior triunghiulara si rezolvarea lui prin eliminarea inversa;

d)     are sistemul matriceal superior triunghiular care se descrie prin formula:

e)     conditia de convergenta a procesului de calcul:

TEST 10 V.1

Metoda injumatatirii intervalului . . . . . . . . . ..

a)     se utilizeaza pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice liniare;

b)     se utilizeaza pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice transcendente;

c)      este cea mai simpla si sigura metoda de calcul;

Lucrare: Determinarea viscozitatii cinematice cu viscozimetrul ubbelohde - metoda manuala de determinare Proiect: Modificari biochimice produse de tratamente chimice cu fungicide

d)     prevede ca intervalul de injumatatire a functiei se alege astfel incat f(a)·f(b)<0;

e)     prevede ca abscisa punctului k care va fi noua extremitate pentru urmatorul interval

se detemina dupa formula:                              

Metoda Gauss - Seidel . . . . . . . . . . . . . . . .

a)     este o metoda iterativa;

b)     se utilizeaza pentru calculul sistemelor algebrice liniare pana la ordinul 10³;

c)      include rearanjarea ecuatiilor, rezolvarea ecuatiilor fata de fiecare variabila, dupa care se introduce solutia initiala, iar calcul iterativ se face de la o ecuatie la alta;

d)     prevede ca pasul k+1 se evalueaza dupa relatia:

e)     este mai rapida comparativ cu metoda Iacobi, datorita reducerii numarului

total de iteratii.

TEST 11 V.1

Pentru rezolvarea ecuatiilor algebrice neliniare si transcendente se pot aplica.

a)     metoda punctului mediu;

b)     metoda Simpson;

c)      metoda Iacobi;

d)     metoda Lagrange;

e)     metoda injumatatirii intervalului;

Metoda iteratiilor simple Iacobi . . . . . . . . . . . . . . ..

a)     se utilizeaza pentru calculul sistemelor de ecuatii algebrice liniare pana la ordinul 10⁶;

b)     este metoda indirecta;

c)      include rearanjarea ecuatiilor in forma iterativa, dupa care se introduce solutia initiala (nula) si se rezolva simultan toate ecuatiile;

d)     prevede ca iteratia k+1 se determina dupa formula:

e)     are ca conditia de convergenta a procesului iterativ: , i=1,2 . n, j=1,2 . n.

TEST 12 V.1

Pentru rezolvarea ecuatiilor algebrice neliniare si transcendente se utilizeaza..

a)     metoda coardei;

b)     metoda Gauss;

c)      metoda trapezului;

d)     metoda dreptunghiului;

e)     metoda injumatatirii intervalului

Metoda iteratiilor simple Iacobi . . . . . . . . . . . . . . . . ..

a)     se utilizeaza pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice liniare la care numarul ecuatiilor este n

b)     prevede ca elemente diagonale din sistemul a_ii sa fie dominante in valoarea absoluta, astfel se face renumararea necunoscutelor;

c)      prevede transformarea ecuatiilor in forma iterativa, eliminand necunoscuta in partea stanga;

d)     pentru obtinerea solutiilor aproximative prevede introducerea solutiei initiale, care poate fi si nula;

e)     prevede ca daca se indeplineste conditia de convergenta, atunci solutia initiala poate fi luata arbitrar.

TEST 13                                                        V.1

Pentru rezolvarea ecuatiilor algebrice neliniare si transcendente se utilizeaza

a)     metoda Gauss;

b)     metoda iteratiilor;

c)      metoda Newton;

d)     metoda tangentei;

e)     metoda Simpson.

Metoda iteratiilor simple IACOBI . . . . . . . . . . . . . . .

a)     se utilizeaza pentru calculul sistemelor de ecuatii algebrice liniare pana la ordinul 10⁶;

b)     este metoda directa;

c)      include rearanjarea ecuatiilor in asa fel ca elementele diagonale sa fie dominante in valoarea absoluta, dupa ce fiecare ecuatie se rezolva fata de necunoscuta respectiva;

d)     prevede introducerea in partea dreapta a ecuatiilor iterative a unei solutii initiale, rezolvarea sistemului si obtinerea primei solutiei aproximative, dupa care procesul se repeta introducand de fiecare data aproximare obtinuta;

e)     prevede calculul pasului k+1 dupa formula :

TEST 14 V.1

Sub notiunea de ecuatie algebrica transcendenta se intelege ecuatia.

a)     de forma: y = a_o+a_1··x+a_{2 ·}x²+ . +a_n· xⁿ;

b)     de forma: y = ; n;

c)      de forma: y = ;

d)     de forma: y = , i = 0,1,2 . n.

e)     de forma: y = sin x +cos x.

Metoda iteratiilor simple Iacobi . . . . . . . .

a)     se utilizeaza pentru calculul ecuatiilor neliniare;

b)     este metoda indirecta de calcul;

c)      include rearanjarea ecuatiilor, ca fiecare variabila sa aiba coeficientul cel mai mare si rezolvarea ecuatiilor fata de fiecare variabila, dupa care se introduce o solutie initiala si se rezolva simultan toate ecuatiile, obtinand prima aproximatie;

d)     prevede ca iteratia k+1 se evalueaza dupa formula:

e)     are conditia suficienta pentru convergenta

TEST 15 V.1

Sub notiunea de ecuatie algebrica transcendenta se intelege ecuatia.

a)     din care nu poate fi obtinuta solutia analitica in mod evident;

b)     care contine necunoscuta la puterea n

c)      de forma: y = ;

d)     de forma: y = ;

e)     de forma: y = , .

Metoda eliminarii Gauss . . . . . . . . . . ..

a)     este metoda directa si cere 2/3·n³ operatii aritmetice, unde 'n' este numarul ecuatiilor din sistem;

b)     se aplica pentru calculul numeric al sistemelor de ecuatii liniare;

c)      are la baza ideea transformarii matriceale a sistemului intr-un alt sistem cu matricea superior triunghiulara si apoi rezolvarea lui prin eliminarea inversa;

d)     are sistemul matriceal superior triunghiular care are formula: ;

e)     are conditie de convergenta a procesului de calcul: , i = 1,2 . n; j = 1,2 . n.

TEST 16                                                          V.1

Sub notiunea de ecuatie algebrica transcendenta se intelege..

a)     ecuatia care contine necunoscuta la puterea n

b)     ecuatia de forma: y = unde

c)      ecuatia de forma: ;

d)     ecuatia de forma: ;

e)     ecuatia de forma:

Metoda eliminarii Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . .

a)     se aplica pentru calculul sistemelor de ecuatii algebrice neliniare;

b)     este o metoda indirecta si cere operatii aritmetice de calcul;

c)      are ca idee rearanjarea ecuatiilor fata de fiecare variabila, dupa care se introduce o solutie initiala, iar calculul se face de la o ecuatie la alta;

d)     are relatia de evaluare a sistemului:

e)     permite rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare cu numarul necunoscutelor de ordinul 10³.

TEST 17 V.1

Sub notiunea de ecuatie algebrica neliniara se intelege ecuatia..

a)     care contine necunoscuta la puterea n

b)     de forma: ;

c)      de forma: ;

d)     de forma: ;

e)     de forma: .

Metoda eliminarii Gauss . . . . . . . . . . . . .

a)     se utilizeaza pentru calculul ecuatiilor algebrice neliniare;

b)     este metoda numerica de calcul directa;

c)      cere pentru rezolvare operatii aritmetice ;

d)     transforma sistemul matriceal arbitrar intr-un sistem matricial superior triunghiular si determina necunoscutele prin eliminarea inversa;

e)     pentru eliminarea inversa are formula: , unde i = n, n-1, . 2,1.

TEST 18 V.1

Sub notiunea de ecuatie algebrica neliniara se intelege ecuatia..

a)     care contine variabila necunoscuta la puterea n

b)     de forma: y = a₀+a₁x;

c)      de forma: , i = 0,1,2 . n.

d)     de forma:

e)     de forma: .

Matricea se numeste SUPERIOR triunghiulara daca.

a)     toate elementele din diagonala principala a_ij, i = j, sunt nule;

b)     toate elementele situate deasupra diagonalei principale sunt nule;

c)      toate elementele situate sub diagonala principala sunt nule;

d)     toate elementele din diagonala principala sunt egale cu unu, restul coeficientilor sunt nule;

e)     coeficientii a_ij = 0 la i >j, unde i - numarul randurilor; j - numarul coloanelor.

TEST 19 V.1

Sub notiunea de ecuatie algebrica neliniara se intelege ..

a)     ecuatia din care nu poate fi obtinuta solutia analitica in mod evident;

b)     ecuatia algebrica care contine necunoscuta la puterea 'n', n

c)      ecuatia de forma: ;

d)     ecuatia de forma: ;

e)     ecuatia de forma: , i = 0,1,2, . n.

Rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice liniare se efectueaza..

a)     prin regula Kramer, daca numarul ecuatiilor este n<10;

b)     printr-o metoda de calcul numeric directa (eliminarea Gauss) daca numarul ecuatiilor este de ordinul n

c)      printr-o metoda de calcul numeric indirecta, daca n

d)     se face prin metoda iteratiilor, daca numarul ecuatiilor este de ordinul 10⁶;

e)     simplu prin metoda Newton - Cotes.

TEST 20 V.I

Sub notiunea de ecuatie algebrica neliniara se intelege.

a)     ecuatie algebrica care contine 'n' necunoscute;

b)     ecuatie descrisa prin formula: , n 1;

c)      ecuatia de forma: ;

d)     ecuatia de forma: ;

e)     ecuatia de forma: , n 1.

Metode de rezolvare numerica a sistemelor de ecuatii algebrice liniare.

a)     pot fi directe;

b)     pot fi indirecte (sau iterative);

c)      pot fi analitice (de exemplu regula Kramer);

d)     sunt aproximative;

e)     se aplica daca numarul de ecuatii (sau de necunoscute) n>10.

TEST 21 V.II

1.Aproximare numerica

a) sub acest termen se intelege inlocuirea functiei necunoscute cu o funcitie analitica cuvenita;

b) nu prevede ca atare procedura de interpolare;

c) apare ca o problema cand rezultatele experimentale se citesc sub forma unui tabel;

d) apare ca o problema cand expresia functiei nu este complicata si este usor de evaluat;

e) este drept o interpolare numerica aplicata la functii complexe.

2. Regula PUNCTULUI DE MIJLOC pentru un segment de integrare [a, b] are formula:

a) , unde h = b- a;

b), unde h = b- a;

c), unde h = x_i - x_i- = b- a;

d);

e) I(f) f(a) (b-a).

TEST 22 V.II

1. Interpolare numerica . .

a) sub acest termen se intelege inlocuirea functiei necunoscute cu o funcitie analitica cuvenita;

b) nu prevede ca atare procedura de aproximare;

c) apare ca o problema cand rezultatele experimentale se citesc sub forma unui tabel;

d) apare ca o problema cand expresia functiei nu este complicata si este usor de evaluat;

e) este drept o interpolare numerica aplicata la functii complexe.

2. Formula SIMPSON pentru mai multe segmente de integrare are formula:

a) , unde: M(f)- formula punctului de mijloc, T(f) -formula trapezului;

b) unde   h = b - a;

c) unde h = x_i - x_i- = b - a;

d) , unde h = x_i - x_i-

e), unde h = x_i - x_i-

TEST 23       V. II

Aproximare numerica

a) sub acest termen se intelege inlocuirea functiei necunoscute cu o funcitie analitica cuvenita;

b) prevede ca atare procedura de interpolare;

c) apare ca o problema cand se cere deteminarea valorii functiei intr-un punct necunoscut;

d) apare ca o problema cand expresia functiei este complicata si nu poate fi usor evaluata;

e) este drept o interpolare numerica aplicata la functii complexe.

.

2. Formula SIMPSON pentru un segment de integrare [a, b] are formula:

a) , unde: M(f)- formula punctului de mijloc, T(f) -formula trapezului;

b)

c) unde h = x_i - x_i- = b - a;

d) , unde h = x_i - x_i-

e), unde h = x_i - x_i-

TEST 24 V.II

1. Teorema lui Weierstrass

a) reprezinta baza teoretica a aproximarii cu combinatii de monoame;

b) reprezinta baza teoretica a aproximarii cu combinatii de functii trigonometrice si

c) reprezinta baza teoretica a aproximarii cu combinatii de functii exponentiale;

d) ofera criteriu practic pentru aflarea ordinului polinomului de interpolare P_n(x)

e) arata practic, ca nu orice functie continue f(x) poate fi aproximata oricat de bine de polinomul P_n(x) in punctele date.

2. Regula DREPTUNGHIULUI pentru mai multe segmente de integrare are formula:

a) , unde h = b- a;

b), unde h = b- a;

c), unde h = x_i - x_i- = b- a;

d);

e)

TEST 25 V.II

1. Interpolare cu diferente finite.

a) se utilizeaza pentru o baza de date .neechidistante;

b) prevede utilizarea polinoamelor de tip Newton sau Lagrange in forme mai simple;

c) se pot face cu operatori de diferente finite inainte, care au formulele:

d) se pot face cu operatori de diferente finite centrale,care au formulele:

e) se pot face cu operatori de diferente finite inapoi,care au formulele:

2. Regula SIMPSON pentru mai multe segmente de integrare

a)

b);

c);

d) , unde

e)

TEST 26 V.II

1. Integrarea numerica a ecuatiilor diferentiale ordinare prin metoda Euler..

a) nu este precisa si se utilizeaza pentru calculul orientativ;

b) contine ideile care stau la baza si se utilizeaza in mai multe metode avansate;

c) prevede divizarea intervalului dat de integrare in 'n' parti egale;

d) are formula de calcul: , unde

e) are pasul de integrare care se determina dupa formula .

2. In metoda Runge - Kutta parametrii se calculeaza din formulele:

a)

b) ;

c);

d);         

e).

TEST 27 V.II

1. Problema Couchy.

a) este o problema de rezolvare a ecuatiilor diferentiale ordinare;

b) este problema de rezolvare a ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale;

c) cere determinarea solutiei y = f(x) a unei ecuatiei diferentiale ordinare, cu conditii ca la x = x₀

, unde indice '0' corespunde valorilor numerice impuse initial

d) cere rezolvarea ecuatiei de tip ;

e) cere determinarea solutiei y = f(x), a ecuatiei , care satisface conditiilor initiale.

2. Formulele de extrapolare Adams

a) se utilizeaza pentru derivarea numerica a ecuatiilor diferentiale liniare;

b) utilizeaza formula :; c) utilizeaza formula: ;

d)utilizeaza formula;e)utilizeaza formula.

TEST 28 V.II

1. Interpolare cu diferente divizate.

a) se utilizeaza pentru o baza de date numerice neechidistante:

b) are ca relatie generala pentru o functie de aproximare, unde P_n(x) este polinomul Newton cu diferente divizate, iar r_n(x)- restul (sau eroarea);

c)utilizeaza polinomulde aproximareNewton:,unde ; d) are forma restului:

e) prevede utilizarea polinomului Newton de forma:

2. Regula PUNCTULUI DE MIJLOC pentru mai multe segmente de integrare are formula:

a) ;

b);

c);

d); e)

TEST 29 V.II

1. Integrare numerica..

a) se utilizeaza cand functia sub semnul integralei este un produs matricial;

b) se utilizeaza cand integrantul reprezinta un produs tensorial;

c) se utilizeaza cand nu se cunoaste expresia analitica a functtiei, ci numai o serie de valori f(x_i) pentru o baza de date x_i, unde i =1,2,3,.,n ;

d) este un procedeu convergent si stabil;

e) are ca idee cautarea unei functii de aproximare, care poate fi usor integrata.

2. Formulele de integrare numerica Newton - Cotes

a) sunt destinate bazelor de date cu puncte neechidistante;

b) la utilizarea regulei DREPTUNGHIULUI au formula: , h = x_i - x_i-

c) la utilizarea regulei PUNCTULUI DE MIJLOC cu formula:, h = x_i - x_i-

d) la utilizarea regulei TRAPEZULUI cu formula:, h = x_i - x_i-

e) la utilizarea formulei SIMPSON are formula:;

h = x_i - x_i-

TEST 30 V.II

1. Teorema lui Weirstrass

a) reprezinta baza teoretica a interpolarii polinomiale;

b) ofera un criteriu practic pentru aflarea polinomului potrivit;

c) arata ca orice functie continua f(x) poate fi aproximata cu o precizie oricat de buna pe un interval inchis, de un polinom P_n(x);

d) practic arata ca pentru o baza de date exista` numai un singur polinom de ordinul 'n', care reproduce valorile functiei f(x) in punctele date;

e) demonstreaza ca determinatul Vandermonde este nenul ()pentru orice si ca rezulta o solutie unica pentru coeficientii polinomului

2. Regula SIMPSON pentru un segment de integrare [a,b] are formula:

a) I(f) f(a) (b-a) b) c);

d)

e) , unde si h = x_i - x_i-1 = b- a.

TEST 31 V.II

1. Functii de aproximare

a) reprezinta anumite combinatii din functii simple, preluate dintr-o clasa de functii;

b) in forma generalizata au formula , unde reprezinta o clasa de functii;

c) cele mai utilizate clase de functii sunt monoamele ,functii trigonometrice

, functii exponentiale

d) serii Fourier;

e) serii Taylor.

2. Regula TRAPEZULUI pentru un segment de integrare [a,b] are formula:

a)

b), unde h = x_i - x_i-

c) , unde h = x_i - x_i- ;

d) ,unde h = x_i - x_i- = b- a ;

e) , unde h = x_i - x_i- = b- a .

TEST 32 V.II

1. Interpolare numerica

a) sub acest termen se intelege determinarea valorii unei functii necunoscute din exteriorul intervalului dat, reiesind din valorile ei cunoscute de la marginile intervalului;

b) prevede aproximarea functiei necunoscute cu o functie analitica, dupa care se determina prima derivata a ei;

c) apare ca o problema in cazul cand sunt cunoscute numai valorile numerice ale functiei;

d) apare ca o problema in cazul cand expresia functiei reprezinta: functiile trigonometrice complexe, functiile Bessel cu argumentul complex sau combinatiile acestora;

e) prevede in prima faza - procedeul de aproximarea cu o functie analitica cuvenita.

2. Derivarea numerica cu polinomul Lagrange.

a) se utilizeaza pentru baza de date cu punctele neechidistante;

b) are relatia polinomului de interpolare de forma:

unde h= x_i+ - x_i

c) daca are trei puncte de interpolare (n=2), are polinomul Lagrange de forma:

d) are eroarea de aproximare pentru prima derivata :

e) are formula pentru prima derivata :

TEST 33 V.II

1. Interpolare numerica..

a) sub acest termen se intelege aproximarea functiei necunoscute si determinarea valorii ei in punctul dat;

b) prevede aproximarea functiei necunoscute cu o functie analitica cuvenita, dupa care se determina valoarea ei in punctul necunoscut;

c) apare ca o problema la citirea rezultatelor experimentale numerice date in forma unor tabele;

d) apare ca o problema cand expresia functiei este complicata si este greu de evaluat;

e) in prima faza prevede determinarea valorii functiei din intervalul dar, reiesind din valorile ei cunoscute de pe margini intervalului.

2. Derivare numerica cu polinomul de interpolare Newton

a) se utilizeaza pentru baza de date echidistante;

b) prevede aproximarea functiei de origine f(x) cu polinomul de forma:

unde h = x_i+1 - x_i, i = 0,1,2, . , n-1.

c) calculul valorii derivatei pentru ultimul punct se face dupa formula Newton cu diferente divizate, la care ca o valoare initiala se ia drept valoarea functiei in acest punct;

d) derivatele se obtin prin derivarea consecutiva a polinomului Newton cu diferente divizate care aproximeaza functia de origine;

e) eroarea de aproximatie ,unde x I a,b x x_i

TEST 34 V.II

1. Aproximare numerica.

a), sub acest termen se intelege determinarea valorii necunoscute din interiorul intervalului dat a unei functii , reiesind din valorile ei cunoscute de la marginile intervalului;

b) prevede interpolarea functiei necunoscute cu o functie analitica cuvenita, dupa care se determina valoarea cautata a functiei in punctul dat ;

c) apare ca o problema cand functia este data numeric si se cere determinarea valorii ei necunoscute din intervalul dat, reiesind din marginile intervalului;

d) apare ca o problema cand functia are expresia complicata si este greu de evaluat;

e) prevede ca o faza obligatorie interpolare numerica.

2. Regula DREPTUNGHIULUI pentru un segment de integrare [a, b] are formula:

a) , unde h = b- a;

b), unde h = b- a;

c) ;

d) ;

e) I_i(f) f(x_i-1) h unde h = x_i - x_i- = b- a .

TEST 35 V.II

1. Teorema lui Weierstrass

a) reprezinta baza teoretica a aproximarii cu combinatii de monoame;

b) reprezinta baza teoretica a aproximarii cu combinatii de functii trigonometrice si

c) reprezinta baza teoretica a aproximarii cu combinatii de functii exponentiale;

d) ofera criteriu practic pentru aflarea ordinului polinomului de interpolare P_n(x)

e) arata practic, ca nu orice functie continue f(x) poate fi aproximata oricat de bine de polinomul P_n(x) in punctele date.

2. Formula TRAPEZULUI pentru mai multe puncte de integrare:

a) ;

b);

c);

d);

TEST 36 V.II

1. Integrare numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

a) se utilizeaza cand functia sub semnul integralei este un produs matricial;

b) se utilizeaza cand integrantul reprezinta un produs tensorial;

c) se utilizeaza cand nu se cunoaste expresia analitica a functtiei, ci numai o serie de valori f(x_i) pentru o baza de date x_i, unde i =1,2,3,.,n ;

d) este un procedeu convergent si stabil;

e) are ca idee cautarea unei functii de aproximare, care poate fi usor integrata.

2. Formulele de integrare numerica Newton - Cotes.

a) sunt destinate bazelor de date cu puncte echidistante;

b)cuprind regula DREPTUNGHIULUI cu formula: , unde h = x_i - x_i-

c) cuprind regula PUNCTULUI DE MIJLOC cu formula:, h = x_i - x_i-

d) cuprind regula TRAPEZULUI cu formula:, unde h = x_i+ - x_i

e) cuprind regula SIMPSON care are formula:

la care    , unde h = x_i - x_i-

TEST 37 V.II

1. Derivare numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a) prevede stabilirea functiei analitice pentru derivata functiei date;

b) prevede alegerea functiei de aproximare in forma unui polinom ;

c) se aplica cand functia este data numeric - in forma unui tabel;

d) se aplica cand utilizarea metodelor analitice de derivare este imposibila;

e) rezultatul se obtine in forma analitica.

2. Formula PUNCTULUI DE MIJLOC pentru mai multe segmente de integrare:

a) ;

b);

c);

d);

e)

TEST 38 V.II

1. Integrarea numerica a ecuatiilor diferentiale ordinare prin metoda EULER

a) se utilizeaza pentru calculul orientativ;

b) contine ideile care stau la baza mai multor metodelor avansate de integrare numerica;

c) consta in aceea ca curba integrala se aproximeaza cu o linie cu o linie cotita, alcatuita din tangente la curba de integrare, trase in fiecare punct x_i=x₀+i·k ,unde i = 1,2,3,4 n;

d) are formula de calcul: , unde

e) eroarea de calcul se determina prin procedeul de calcul dublu (utilizand pasul h si h/2 ).

2. In metoda RUNGE - KUTTA parametrii de calcul se determina dupa formulele:

a)

b) ;

c);

d);

e)      

TEST 39 V.II

1. Integrarea numerica a ecuatiilor diferentiale ordinare prin metoda EULER

a) are precizia sporita;

b) are formula de calcul: , unde

c) consta in aceea ca curba integrala se aproximeaza cu o linie cotita alcatuita din tangente duse la curba in punctele: x_k , x_k+h/2, x_k+1;

d) prevede divizarea domeniului de integrare cu pasul , unde n este numarul partilor de divizare a intervalului de integrare dat ;

e) fiecare punct de integrare se determina dupa formula x_i=x₀+i·k ,unde i = 1,2,3,4 n.

2. In metoda RUNGE - KUTTA parametrii de calcul se determina dupa formulele:

a)

b) ;                                

c);

d);   

e)

TEST 40 V.II

1. Interpolare cu diferente divizate.

a) se utilizeaza pentru o baza de date numerice neechidistante:

b) are ca relatie generala pentru o functie de aproximare, unde P_n(x) este polinomul Newton cu diferente divizate, iar r_n(x)- restul (sau eroarea);

c) utilizeaza polinomul de aproximare :,unde

d) are forma restului:

e) prevede utilizarea polinomului Newton de forma:

2. Regula PUNCTULUI DE MIJLOC pentru mai multe segmente de integrare are formula:

a) ;

b);

c);

d); e)