Difeomorfisme de clasa - teorema functiilor implicite

1. Difeomorfisme de clasa . Teorema functiilor implicite

Definitia 1. Fie multimile deschise . Functia se numeste difeomorfism de clasa (sau difeomorfism) daca:

(i)   ;

(ii) este functie bijectiva (exista inversa a.i. si );

(iii) este de clasa pe .

Observatie. Orice difeomorfism de clasa este omeomorfism (adica, este functie continua; functie bijectiva; este functie continua).

Reciproc nu este adevarat. De exemplu, functia , definita prin , este de clasa pe , este bijectiva, dar functia inversa , definita prin , este continua pe insa nu este de clasa pe deoarece nu este diferentiabila in origine.

Mai general, , este omeomorfism, dar nu este difeomorfism pe .

Exemple: (i). Fie este un punct fixat. Functia , definita prin ( defineste translatia cu , , pe axa reala). Atunci este o izometrie (!) (se verifica usor) si chiar difeomorfism pe .

Intr-adevar, si functia inversa, , definita prin , sunt de clasa .

(ii). Fie este un vector fixat. Functia vectoriala de variabila vectoriala , definita prin , se numeste translatia in spatiul vectorial cu vectorul ; este o izometrie (!) (se verifica usor) si chiar difeomorfism pe . In acest caz spunem ca realizeaza o transformare regulata (!) a spatiului vectorial in el insusi.

(iii). Fie domeniile plane si (multimi deschise si conexe). Aplicatia (functia) , definita prin , este un difeomorfism pe .

Intr-adevar, fie , unde si reprezinta functiile componente ale lui . Atunci sunt de clasa exista si si aceste functii sunt continue pe . Prin calcul direct, obtinem si , si deci, . Observam ca functia este bijectiva si functia inversa este definita prin . Asadar, si si cum suntem interesati de restrictia lui la domeniul , atunci din obtinem restrictia . In consecinta, si atunci este o bijectie si evident functia inversa este de clasa .

Exercitiul 1. Fie si multimi deschise in si si difeomorfisme. Atunci este un difeomorfism pe .

In continuare studiem posibilitatea derivarii aplicatiei inverse a unei functii date (adica o generalizarea rezultatului de la aplicatii de o singura variabila, , bijectiva si derivabila pe ).

Lema . Fie si doua spatii euclidiene finit dimensionale si multimile deschise si si fie , omeomorfism, diferentiabila intr-un punct . Atunci proprietatile urmatoare sunt echivalente:

Functia este diferentiabila in .

Aplicatia lineara este bijectiva, . Mai mult, .

Observatie. In cazul functiilor de o variabila , , daca derivabila in si , atunci si .

Observatie. Daca alegem ,, atunci din proprietatea (ii) rezulta .

Demonstratie. "". Deoarece omeomorfism atunci este functie continua bijectiva si functia inversa este continua. Avem si si deoarece diferentiabila intr-un punct , putem scrie (compunerile de aplicatii lineare)

.

Cum este diferentiabila in avem

.

Din aceste relatii deducem ca aplicatia este bijectiva, avand inversa .

"". Fie , aplicatie bijectiva. Atunci cele doua spatii si au aceeasi dimensiune si exista aplicatia inversa . Deoarece functia este diferentiabila in , atunci exista functia , continua in si a.i. sa avem

, pentru orice . (16)

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

Pentru a arata ca functia inversa este diferentiabila in , este suficient sa aratam ca

. (17)

Daca notam cu atunci avem si relatia (17) se scrie sub forma

. (17')

In relatia (16), scrisa sub forma , aplicam si obtinem

, (*)

de unde rezulta , care la norma se transforma in

.

Daca se trece la norma in (17') si se foloseste ultima relatie, atunci va trebui sa demonstram ca

. (18)

Trecand relatia (*) la norma (folosim inegalitatea ) avem

,

de unde deducem

. (19)

Folosind (19) cat si inegalitatea (renuntam la indicele de norma), vom observa ca relatia (18) rezulta din majorarile

(20)

Pentru calculul limitei in (20) s-a folosit faptul ca .

Teorema 1. (teorema de caracterizare a difeomorfismelor) . Fie si doua multimi deschise in spatiile euclidiene finit dimensionale si respectiv si omeomorfism de clasa . Atunci proprietatile urmatoare sunt echivalente:

Functia este difeomorfism pe ;

Aplicatia inversa este diferentiabila in orice punct din ;

Aplicatia lineara , este bijectiva (deci, ), (adica, ).

Observatie. Aplicatia lineara este bijectiva matricea asociata lui , intr-o baza fixata, este inversabila .

Fie . Afirmatia " este bijectiva " se poate exprima prin: este bijectiva matricea jacobiana asociata lui in orice este inversabila in orice .

Demonstratie. Implicatia "" rezulta direct din definitie. Deci functia este diferentiabila si aplicatia lineara este continua.

. Functia fiind diferentiabila peste tot in atunci este diferentiabila si potrivit cu lema 1, rezulta ca este bijectiva oricare ar fi .

. Din lema 1 rezulta ca (care exista) este diferentiabila in . Deci, exista si vom arata ca este continua.

Pentru a arata aceasta, fie , atunci , unde functiile sunt continue si oricare ar fi . Aplicatia lineara asociata matricii are forma

si .

Asadar, matricea este inversabila si putem scrie . Dar matricea

este chiar si se calculeaza dupa relatii de forma

,

deci sunt functii continue pe .

Deoarece avem . Deci, si avem este formata din functii continue definite pe cu valori reale.

Definitia 2. Fie si . Functia se numeste difeomorfism local in daca exista o vecinatate si o vecinatate astfel incat aplicatia sa fie difeomorfism.

Observatie

(i). Orice difeomorfism local este omeomorfism local de spatii topologice.

(ii). Daca este difeomorfism local in atunci , unde si , iar aplicatia lineara este bijectiva.

Exemplul (iii) pune in evidenta dificultatile (uneori, chiar imposibilitatea) de calcul al aplicatiei inverse si cu atat mai mult posibilitatea de a arata ca este un difeomorfism. Raspunsul la aceasta problema este dat de urmatoarea Teorema de caracterizare a difeomorfismelor locale:

Teorema 2. (Teorema de inversare locala). Fie ,, functia si . Proprietatile urmatoare sunt echivalente:

(1). Functia este difeomorfism local in .

(2). Aplicatia lineara este bijectiva (adica ).

Altfel spus, daca multime deschisa, , si atunci exista o vecinatate , , este difeomorfism. Mai mult si daca atunci .

Demonstratie. Analizam cazul . Implicatia "" este evidenta.

"". Deoarece atunci este continua pe si cum , putem presupune ca . Asadar, exista o vecinatate a. i. . Atunci restrictia lui la , functia , este continua, crescatoare si in consecinta, functia este bijectiva.

Aratam ca functia inversa este diferentiabila pe . Fie , oarecare, dar fixat si unicul punct a.i. . Atunci

si deci . Cum a fost ales oarecare, rezulta ca aplicatia , unde , este inversa aplicatiei si aceasta este continua pe . Deoarece este multime deschisa, este continua si cum rezulta ca multimea este o vecinatate a lui .

Observatie. Aceasta implicatie rezulta direct din lema 1.

3. Transformari punctuale in spatiul euclidian

Consideram multimea deschisa . Fie functiile care fac sa corespunda punctului un punct situat intr-un anumit domeniu , notate

(3.1)

Functia de variabile vectoriale cu valori vectoriale definita prin

, (3.2)

care face sa corespunda la orice punct un unic punct se numeste transformare punctuala. Functiile si se numesc componentele reale ale transformarii punctuale.

Un interes deosebit il reprezinta transformarile biunivoce care apartin unei amumite clase de netezime.

Definitia 1. Functia se numeste difeomorfism de clasa (sau difeomorfism pe ) daca sunt verificate conditiile:

(1) ;

(2) este aplicatie bijectiva de la la (exista functia inversa );

(3) functia inversa notata este de clasa .

Din definitie rezulta ca orice difeomorfism de clasa este omeomorfism pe .

Reamintim ca functia se numeste omeomorfism pe daca verifica proprietatile:

(i) este functie continua pe ; (ii) este bijectiva; (iii) functia inversa este continua.

Definitia 2. Fie o multime deschisa din . Functia vectoriala se numeste transformare regulata in punctul , daca si numai daca sunt verificate conditiile:

exista o vecinatate , a.i. functiile sunt derivabile si au derivatele partiale continue pe (adica, );

Determinantul functional

.

Altfel spus, functia vectoriala este transformare regulata in punctul , daca si numai daca exista o vecinatate , a.i. restrictia lui la , , defineste un difeomorfism pe (vezi teorema 2).

Transformata se numeste transformata regulata pe daca este transformata regulata in orice punct .

Vom observa ca daca este transformare regulata in punctul , atunci este transformare regulata intr-o intreaga vecinatate a punctului . Intr-adevar, deoarece intr-o vecinatate a punctului , atunci jacobianul este functie continua in si diferit de zero in acest punct; deci exista o vecinatate a punctului pe care jacobianul este nenul in vecinatatea a lui . Asadar, in vecinatatea avem si jacobianul este nenul, deci este transformare regulata in .

Propozitia 1. Jacobianul unei transformari regulate in domeniul pastreaza acelasi semn in orice punct .

Demonstratie. Deoarece transformarea este regulata pe domeniul (multime conexa si deschisa), atunci jacobianul transformarii este functie continua pe . Daca jacobianul ar lua valori de semne diferite in doua puncte distincte din , atunci exista un punct a.i. ceea ce ar contrazice ipoteza ca transformarea este regulata in .

Exemplul 1. Fie si functiile

Vom arata ca relatiile asociaza la orice punct un unic punct unde .

(i)  Multimea este inchisa si marginita. Daca este frontiera domeniului (vezi fig. 2), atunci . Analog, definim , unde cu s-a notat frontiera domeniului ; Frontierele si sunt curbe plane simple inchise evident, considerate cu orientarile lor. Definim functia . Se verifica usor ca .

(ii) Jacobianul transformarii este nenul in fiecare punct din :

.

Atunci functia duce frontiera a domeniului in frontiera a domeniului si deoarece jacobianul este negativ, atunci transformarea schimba orientarile acestor frontiere. Cum jacobianul este nenul pe , atunci functia realizeaza o transformare regulata a domeniului in domeniul .

Inversa transformarii , , are forma

si jacobianul transformarii inverse are valoarea

,     in orice punct din .

Exemplul 2. Transformarea de coordonate polare in plan (vezi Fig. 3)

, ,

defineste functia vectoriala , , care are jacobianul . Se observa ca jacobianul acestei transformari este nenul in toate punctele din spatiul euclidian bidimensional cu exceptia originii. Se verifica direct ca transformarea este este regulata pe multimea deschisa si conexa .

Transformarea inversa, , definita de functiile coordonate

, oricare ar fi ,

se scrie . Functia este de clasa pe si avem

.

Functia , definita de relatiile , deoarece are jacobianul pozitiv pentru realizeaza o transformare regulata a domeniului pe domeniul .

Observatie. transformarea poate fi considerata regulata in tot planul; originea este punct de neregularitate impus de alegerea coordonatelor polare.

Exemplul 3. Fie domeniul si trasformarea de coordonate polare

, ,

unde .

Deoarece, jacobianul transformarii, , oricare ar fi , aceasta transformare este regulata de la domeniul in domeniul si admite inversa

.