Skewness si kurtosis - abaterea medie patratica si dispersia

Skewness

Abaterea medie patratica si dispersia sunt indicatori care dau o masura a imprastierii valorilor intr-o distributie de frecventa. Intr-un anume sens ele ofera o masura a « latimii » distributiei. Aceasta insa nu ofera nici o informatie privind caracteristicile formei distributiei de frecventa. Figura de mai jos infatiseaza 6 distributii utilizand histograma. Aceasta reprezinta un set de date care au acelasi numar de valori. Pe orizontala avem o unitate de masura exprimata in abateri medii patratice (s), iar pe verticala avem media aritmetica. Dupa cum se observa, se poate face o comparatie directa.

Aparent cele sase distributii de frecventa sunt foarte diferite. Cele din partea dreapta (b, d, si f) sunt similare dintr-un singur punct de vedere, anume ele sunt asimetrice, “varful” este plasat in stanga sau dreapta mediei. Spunem ca avem o distributie distorsionata sau asimetrica (skewed). Cele din stanga (a, c, e) au un grad mic de distorsiune (asimetrie). In toate cazurile varful este in apropierea mediei. Toate acestea sunt distribuite simetric.

Pe de alta parte cele doua distributii de pe fiecare rand pot fi considerate similare, in sensul ca au un anumit grad de “ascutire” sau kurtosis. Cele din primul rand sunt foarte ascutite; ele au aceleasi grad de kurtosis. Cele din al doilea rand au “ascutimea” mai moderata, iar cele din al treilea rand sunt relative plate.

Distorsiunea masoara, deci, volumul de valori din distributia concentrata de o parte si de alta a mediei. Daca acest volum de valori este mai mic decat media, spunem ca distributia este pozitiv distorsionata (b). Daca exista mai multe valori mai mari decat media, spunem ca distributia este negativ distorsionata (d).

O distributie perfect simetrica nu are distorsiune (skewness=0).

Exista mai multe metode de masurare a distorsiunii. Cea mai uzitata este formula:

unde la numarator avem deviatia cubica a valorilor fata de medie, iar s este abaterea medie patratica.

In  rezumat, avem urmatoarele situatii:

-daca S <0 avem distorsiune negativa;

-daca S >0 avem distorsiune pozitiva.

Skewness este un concept cu aplicatii importante in geografie deoarece foarte multe variabile in geografie au o distributie accentuat distorsionata. Cu alte cuvinte distributia de frecventa seamana foarte mult cu cele infatisate in b, d sau f.

In al doilea rand alti indicatori cum ar fi media sau dispersia pot conduce la interpretari gresite daca se folosesc izolat.

Kurtosis

Kurtosis da o masura a extinderii inspre valorile care sunt concentrate intr-o parte a distributiei de frecventa. Daca o clasa intr-o distributie de frecventa contine o foarte mare parte din valorile din distributie, atunci distributia prezinta un mare grad de kurtosis, iar forma este mai ascutita.

Intr-o distributie cu un grad mic de kurtosis (distributie plata) fiecare clasa contine o proportie similara din toate valorile.

Formula folosita pentru Kurtosis (K) este :

Pentru distributia normala avem K=3, pentru o distributie ascutita K>3, iar pentru o distributie plata K<3.

Din pacate acest indicator nu este folosit in studii geografice asa cum ar fi de dorit. Ca si skewness kurtosis ofera informatii pretioase asupra distributiei unui set de date suplimentare celor date de medie si dispersie.

Trebuie remarcat faptul ca multe variabile statistice intalnite in geografie au o distorsiune mare dar si un K mare (>3). Cand se aplica acestor variabile media aritmetica si dispersia, acestea pot conduce la informatii eronate. Mai mult in aceste conditii datele nu prezinta o distributie normala astfel ca nu pot fi aplicate testele parametrice.