Caracterizarea repartitiilor de frecventa - indicatorii tendintei centrale

Datele (care se refera la diferite domenii ale cunoasterii) odata aranjate intr-o repartitie de frecvente, scot in evidenta trasaturile commune ale tuturor curbelor de repartitie si care se supun unor legi generale. Acest lucru ne permite ca experienta castigata intr-un anumit domeniu al cunoasterii sa poata fi extinsa si in alt domeniu.

La toate curbele insa trebuie sa observam variabilitatea marimilor care se obtin ca rezultat al unor masuratori. Cu toate ca exista variabilitate, se observa o tendinta a datelor de a se grupa in centrul curbei (tendinta centrala). Daca se masoara marimea abaterii de la punctul de concentrare maxima a frecventelor, se constata ca sunt mai frecvente abaterile mici decat cele mari, ca abaterile in ambele parti fata de punctul de concentrare maxima se echilibreaza aproape complet si ca abaterile foarte mari sunt foarte rare. Deoarece frecventa variaza, vom alege acea marime care se intalneste cel mai des. Ea va fi masura tendintei centrale a repartitiei. Aceasta marime, ca si altele asemanatoare se numesc indicatori (sau parametrii) de pozitie, deoarece arata pozitia elementelor principale ale repartitiei pe axa absciselor.

Caracterul reprezentativ al oricarui indicator de pozitie depinde de cat de strins i se alatura celelalte valori, sau cu alte cuvinte, de gradul de concentrare a datelor in jurul tendintei centrale.

Indicatorii tendintei centrale

Atenuarea datelor, care accidental sunt prea mari sau prea mici dintr-o populatie statistica se face prin calcularea unor medii, in felul acesta facandu-se o compensare a valorilor individuale. Acest calcul ne arata o anumita tendinta a fenomenului studiat, media statistica fiind o valoare ce sintetizeaza intr-o singura expresie numerica toate valorile din seria masuratori sau observatii. Termenii seriei difera de medie deoarece au fost influentati de diferiti factori.

Media aritmetica

Media aritmetica simpla exprima un nivel mediu, anihiland abaterile individuale, netipice. Ea este cuprinsa intre valoraea cea mai mare si cea mai mica.

Definitia 1. Daca in urma unei selectii apar valorile distincte x₁, x₂,, x_n, atunci media aritmetica este data de formula:

In cazul datelor centralizate (in care avem repartitia de frecventa (2)):

care se mai numeste medie aritmetica ponderata. Numarul care arata de cate ori se repeta fiecare valoare (n_j) este 'ponderea' valorii respective.

Observatia 1. Media aritmetica are dezavantajul ca este sensibila la valori extreme, iar daca termenii sunt prea 'imprastiati', tinde sa devina o valoare nereprezentativa. Media aritmetica este o valoare lipsita de continut daca elementele sunt deosebite din punct de vedere calitativ, caz in care este mai util sa se faca medii partiale pentru fiecare tip de colectivitate.

Observatia 2. Daca avem mai multe medii, fiecare referindu-se la o anumita categorie, fiecare medie va fi ponderata in functie de importanta categoriei sale.

Media geometrica

Media geometrica este mai putin sensibila la valorile extreme decat celelalte medii, deci se intrebuinteaza cand dorim sa atenuam divergentele mari dintr-o serie de determinari cu frecvente egale, fiind dupa o expresie 'cea mai exacta medie'. Se utilizeaza cand valorile au o evolutie (de crestere sau scadere) permanenta, neintrerupta, sau o ratie din ce in ce mai mare, termenii fiind legati intre ei printr-o relatie de produs. De asemenea se mai intrebuinteaza cand vrem sa dam o importanta mai mare termenilor mai mici, in valoare absoluta, sau cand diferentele intre termeni sunt foarte mari. Are dezavantajul ca nu se poate intrebuinta cand avem valori nule sau negative.

Eseu: Control de gestiune - intrebari examen partial Referat: Procesul asigurarea calitatii - tratarea produsului neconform

Definitia 2 Daca x , x₂,, x_n sunt n valori, media geometrica se defineste prin

Calculul se face mai usor cu ajutorul logaritmilor:

Datorita faptului ca se calculeaza mai usor cu ajutorul logarimilor, se mai numeste 'medie logaritmica'. Ea se utilizeaza si la calcularea ritmului (de crestere sau descrestere) numindu-se astfel si 'medie de ritm'. In rezumat, se intrebuinteaza cand:

- seria are o mare dinamicitate;

- termenii au variatii mari;

- distributia are un caracter pronuntat de asimetrie.

Observatia 3 Media geometrica se foloseste atunci cand prezinta importanta variatiile relative. De asemenea media geometrica poate fi folositoare pentru calculul unor rapoarte.

Media patratica se intrebuinteaza cand valorile prezinta cresteri din ce in ce mai mari. Ea constituie modelul matematic pentru abaterea medie patratica. Media este sensibila la valori extreme, din care cauza este intotdeauna mai mare decat celelalte medii. Are avantajul ca se poate aplica si in cazul valorilor nule sau negative (care prin ridicare la patrat devin pozitive). Se intrebuinzeaza cand dam importanta valorilor mari.

Definitia 3 Media patratica este definita prin formula:

sau in cazul datelor centralizate (media ponerata):

Definitia 4 Media armonica este valoarea inversa a mediei aritmetice ale valorilor inverse datelor de observatie:

Exprima caracterul sintetic al unor valori ce se afla in raport invers. Se utilizeaza cand frecventele sunt egale. Pentru o repartitie de frecventa, media armonica se foloseste rar. Se utilizeaza cu predilectie in economie.

Media glisanta numita si 'medie mobila', se utilizeaza in cazul in care sirul valorilor prezinta fluctuatii mari, bruste si e greu de apreciat tendinta (trendul). Se presupune ca media glisanta corespunde mijlocului intervalului sintetic. Calculul se face mediind 3 sau 5 valori alaturate.

Definitia 5. Media glisanta pentru 3, respectiv 5 valori alaturate sunt date de formulele

Definitia 6. Mediana este elementul dintr-un sir de date statistice care ar imparti intervalul in doua grupe egale ca numar, dupa ce acestea au fost ordonate dupa marimea lor. Daca seria are 2n+1 elemente, atunci mediana este elementul n+1, iar daca are 2n elemente mediana este media aritmetica a celor doi termini din mijloc.