Indicatorii variatiei - indicatorii simpli ai variatiei - indicatorii sintetici ai variatiei

O medie este reprezentativa numai atunci cand se calculeaza din valori omogene intre ele. Cu cat fenomenele sunt mai complexe (dependente de mai multi factori), cu atat variatia este mai mare si utilizarea marimilor medii devine insuficienta. De aceea este important de cunoscut cat de ‘departe’ sunt valorile sumei statistice fata de medie. Comparatia se face cu media seriei, considerata ca fiind valoarea cea mai reprezentativa pentru populatia statistica.

Analiza statistica a unei repartitii poate fi aprofundata prin calculul indicatorilor de variatie. Acesti indicatori trebuie sa serveasca la :

verificarea reprezentativitatii mediei ca valoare tipica a unei populatii statisatice;

verificarea gradului de omogenitate a seriei;

caracterizarea statistica a formei si gradului de variatie a unui indicator;

cunoasterea gradului de influenta a factorilor dupa care s-a facut gruparea unitatilor observate.

Indicatorii simpli ai variatiei

Indicatorii simpli ai variatiei servesc la caracterizarea gradului de imprastiere a marimilor seriei statistice. Se pot exprima atat in marimi absolute cat si in marimi relative.

Din aceasta grupa fac parte :

amplitudinea variatiei (absoluta si relativa);

abaterile individuale (absolute si relative).

Amplitudinea absoluta se calculeaza ca diferenta dintre valoarea maxima si valoarea minima al caracteristicii :

A_a = x_max – x_min

Amplitudinea relativa se exprima de regula in procente si se calculeaza ca un raport intre amplitudinea absoluta si media aritmetica :

A_r=

Abaterile individuale absolute (d_i) se calculeaza ca diferenta intre fiecare valoare si media aritmetica :

d_i = x_i - , i = 1,,n

Abaterile individuale relative (d_r) se calculeaza ca raportul dintre abaterile individuale absolute si media aritmetica (se exprima in procente) :

d_r , i = 1,,n

Eseu: Control de gestiune - intrebari examen partial Referat: Procesul asigurarea calitatii - tratarea produsului neconform

Gradul de variatie al unei caracteristici depinde de toate abaterile variantelor inregistrate si de frecventa lor de aparitie si prin urmare indicatorii simpli ai variatiei nu pot exprima intreaga variatie a unei populatii statistice. De aceea a fost necesara introducerea indicatorilor sintetici ai variatiei.

Indicatorii sintetici ai variatiei

Indicatorii sintetici ai variatiei, la fel ca si indicatorii tendintei centrale trebuie sa se bazeze pe toate observatiile, sa fie usor de calculat, usor de inteles si sa fie cat mai putin afectati de fluctuatiile de selectie.

Indicatorii sintetici ai variatiei sunt :

abaterea medie liniara ;

abaterea medie patratica;

dispersia;

coeficientul de variatie.

Abaterea medie liniara se calculeaza ca o medie aritmetica simpla sau ponderata, luate in valoare absoluta :

Pentru o serie simpla

Abaterea medie liniara prezinta dezavantajul ca nu tine seama de faptul ca abaterile mai mari in valoare absoluta influenteaza in mai mare masura gradul de variatie a unei caracteristici, in comparatie cu abaterile mici. In plus, nu este indicat sa se renunte in mod arbitrar la semnul valorilor din care se calculeaza o valoare medie. Din aceste considerente se foloseste ca principal indicator sintetic al variatiei abaterea medie patratica.

Abaterea medie patratica sau abaterea standard (σ) se calculeaza ca o medie patratica din abaterile tuturor elementelor seriei de la media lor aritmetica:

σ

Acest indicator este mai concludent decat abaterea medie liniara. Prin ridicarea la patrat se da o importanta mai mare abaterilor mari in valoare absoluta, acestea influentand intr-o masura mai mare gradul de variatie al variabilelor analizate.

In literatura de specialitate se apreciaza ca pentru o serie de distributie normala abaterea medie liniara este egala cu 4/5 din valoarea abaterii medii patratice.

Abaterea medie patratica este un indicator de baza, care se foloseste la analiza variatiei, la estimarea erorilor de selectie in calculul de corelatie.

La fel ca abaterea medie liniara, abaterea medie patratica se exprima in unitatea de masura a variabilei a carei variatie o caracterizeaza. Prin urmare cei doi indicatori nu se pot folosi pentru compararea gradului de variatie si in aceasta situatie se recurge la un alt indicator de variatie : coeficientul de variatie.

Coeficientul de variatie (v) se calculeaza ca un raport intre abaterea medie patratica si media aritmetica. De obicei se exprima sub forma de procente :

v =

Semnificatie. Cu cat valoarea lui v este mai aproape de zero cu atat variatia este mai slaba, colectivitatea este mai omogena, media avand un grad ridicat de reprezentativitate. Cu cat valoarea lui v este mai mare cu atat variatia este mai intensa, colectivitatea este mai eterogena, iar media are un nivel de semnificatie scazut.

Se apreciaza ca la un coeficient de peste 35-40%, media nu mai este reprezentativa si datele trebuie separate in serii de componente, pe grupe, in functie de variatia unei alte caracteristici de grupare.

Se poate afirma ca acest indicator poate fi folosit ca un test in aplicarea metodei gruparii. Daca media aritmetica este aproape de zero, coeficientul de variatie nu are semnificatie.

Dispersia ) este media patratelor abaterilor de la media aritmetica :

Masura dispersiei se refera la « imprastierea » valorilor dintr-un set de date. Media nu are semnificatie daca se aplica pe un set de date foarte dispersate. De exemplu daca luam valoarea medie a oraselor mari (peste 200.000 locuitori) va da o valoare de peste 400.000 datorita Bucurestiului care are 2.000.000. Insa rezultatul nu are nici o semnificatie (nici un oras nu area aceasta valoare).

Masurile dispersiei, exprimate sub forma unitatilor de masura ale fenomenului cercetat, nu sunt intotdeauna utile atunci cand se compara dispersiile a doua sau mai multe serii. Compararea dispersiilor a doua sau mai multe serii da rezultate in urmatoarele 2 situatii:

a) sirurile care se compara pot fi exprimate in aceleasi unitati, iar mediile pot fi aceleasi sau au dimensiuni aproape egale.

b) sirurile care se compara pot fi exprimate in aceleasi unitati, insa mediile difera.

Daca seriile se exprima in unitati diferite, dispersiile nu pot fi comparate direct. De aceea de multe ori se foloseste abaterea medie patratica in loc de dispersie.

In unele lucrari aceasta marime se numeste varianta (din l. engl. variance). Varianta este o masura importanta in special cand se studiaza variatia a doua sau mai multe esantioane. O tehnica statistica foarte puternica este cunoscuta sub numele de analiza de varianta si utilizeaza dispersia pentru a decide daca un numar de esantioane difera semnificativ unul de altul.