Media armonica - media patratica - media cronologica - media geometrica

Media armonica - Media patratica - Media cronologica - Media geometrica

Media armonica este o forma transformata a mediei aritmetice (simple sau ponderate) si se utilizeaza atunci cand ne propunem sa calculam o valoare medie din marimi relative, cunoscand marimile relative individuale si numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate.

Utilizari adecvate ale acestei forme de medie sunt: la calculul indicelui mediu al preturilor de consum; pentru determinarea nivelului mediu al mai multor marimi relative de intensitate de acelasi tip, dar numai in conditiile in care se cunosc nivelurile individuale ale marimilor relative si numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate.

Formula de calcul a mediei armonice simple se aplica atunci cand numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate marimile relative individuale sunt egali ca marime intre ei,

unde n” este numarul marimilor relative, iar x_i” reprezinta marimile relative individuale.

In timp ce media armonica ponderata se utilizeaza atunci cand numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate marimile relative individuale nu sunt egali ca marime intre ei,

In cazul mediei armonice ponderate, se foloseste o pondere compusa, echivalenta cu numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate marimile relative individuale.

Exemplul 2

In patru puncte comerciale dintr-o piata agro-alimentara s-au inregistrat in ziua de 1 octombrie urmatoarele date statistice privind vanzarile de cartofi:

Tabelul 2

Vanzarile de cartofi inregistrate la data de 1 octombrie

Sa se determine pretul mediu de vanzare, al unui kilogram de cartofi, inregistrat la cei patru comercianti, in data de 1 octombrie.

Se mentioneaza ca intre media aritmetica si media armonica nu este nici-o deosebire de continut, ambele reflectand nivelul mediu al caracteristicii studiate, dar calculul acesteia din urma se adopta in functie de modul in care sunt prezentate datele statistice initiale.

Media patratica se utilizeaza la calculul indicatorilor care exprima in mod sintetic gradul de variabilitate al caracteristicilor statistice.

Daca frecventele variantelor caracteristicii din seria statistica studiata sunt egale intre ele, se foloseste formula mediei patratice simple,

iar daca frecventele variantelor nu sunt egale intre ele, se aplica media patratica ponderata,

Media cronologica are semnificatia unei medii aritmetice din medii partiale si se utilizeaza la calculul nivelului mediu al indicatorilor prezentati sub forma seriilor dinamice de momente. Aceasta medie se foloseste la calculul valorii medii a activelor circulante, a stocurilor de orice natura dar in special pentru materii prime, materiale si marfuri, a imobilizarilor corporale si respectiv a mijloacelor fixe, precum si la calculul efectivelor medii de animale.

Daca intervalele de timp, dintre oricare doua momente succesive ale seriei dinamice, sunt egale intre ele se foloseste formula mediei cronologice simple, adica,

si respectiv, daca nu sunt egale intre ele, se recurge la formula mediei cronologice ponderate,

in care,

Mc - nivelul mediu al indicatorilor prezentati in serie dinamica, calculat cu media cronologica,

x_i - indicatorii de nivel ai seriei dinamice, i = 1, 2, 3, , n,

n - numarul indicatorilor de nivel sau numarul momentelor de timp  la care sunt inregistrati indicatorii,

t_j - durata intervalului de timp “j”, dintre doua momente succesive la care sunt inregistrati indicatorii de nivel, exprimata in zile, luni sau ani, dupa caz,

j = 1, 2, 3, , m ; m = n - 1. Suma duratelor succesive t_j va fi egala cu durata intregii perioade exprimata de seria dinamica analizata.

DOCUMENT ONLINE: Modalitati de actiune specifice in domeniul managementului strategic - proiectul de serviciu DOCUMENT ONLINE: Cei 5 pasi in abordarea tqm

Exemplul 3.

Exemplificarea modului in care se aplica media cronologica simpla o realizam pe baza datelor aferente stocului de marfuri inregistrat, la inceputul primelor patru luni ale unui an.

Tabelul 3

Dinamica stocului de marfuri

Valoarea medie a stocului de marfuri inregistrat in trimestrul I se calculeaza, in acest caz, cu ajutorul mediei cronologice simple, deoarece marimea intervalului de timp existent intre doua momente succesive este aceeasi (o luna calendaristica).

mii lei

sau, daca se procedeaza la calculul mediei cronologice in modalitatea unei medii din medii partiale succesive, se obtine, in mod evident, acelasi rezultat:

mii lei

Nivelul calculat atesta faptul ca stocul mediu al marfurilor a fost in trimestrul I, de 583,33 mii lei.

Pentru a exemplifica metodologia de aplicare a mediei cronologice ponderate ne folosim de situatia expusa in tabelul 4.

Tabelul 4

Dinamica stocului de marfuri

Nota: In cazul situatiei expuse, intervalul de timp existent intre doua momente succesive la care a fost inregistrat stocul de marfuri, poate fi apreciat in numar de luni, dar se poate opta si pentru varianta numarului de zile.

sau,

Prin urmare, stocul mediu al marfurilor, inregistrat la nivelul anului respectiv, este de 672,92 mii lei daca se utilizeaza o pondere exprimata in numar de luni si de 673,29 mii lei daca se utilizeaza o pondere exprimata in numar de zile.

Media geometrica are aplicabilitate in domeniul economic, in special cand se calculeaza indicele mediu anual de crestere (scadere) - ” - a unui indicator, intr-o anumita perioada de timp. Aceasta forma de medie conduce la un rezultat real numai atunci cand seria dinamica, pentru care dorim sa determinam nivelul mediu al modificarii relative, prezinta o anumita constanta a cresterii sau scaderii indicatorului formalizat in serie dinamica.

Relatia de calcul a mediei geometrice simple este urmatoarea:

in care

- Mg este notatia pentru valoarea medie obtinuta cu ajutorul mediei geometrice,

- n - numarul indicatorilor de nivel inscrisi in serie dinamica,

- - varianta i” a indicatorului de nivel,

- si - primul si respectiv ultimul indicator de nivel al seriei dinamice.

Daca fenomenul studiat este marcat de oscilatii pronuntate cu caracter conjunctural, de la un segment de timp la altul, utilizarea procedeului clasic al mediei geometrice, simpla sau ponderata, dupa cum este cazul, poate conduce la un rezultat neconform cu realitatea, deoarece se bazeaza numai pe indicatorul initial si final din seria dinamica respectiva. In aceste situatii se recomanda calculul indicelui mediu anual de crestere (scadere) prin folosirea procedeului mediei geometrice corectate sau a procedeului autoregresiei care iau in calcul toti indicatorii de nivel cuprinsi in seria dinamica analizata.

Media geometrica corectata () este o forma a mediei geometrice ponderate calculata din medii geometrice secventiale sau partiale (), determinate astfel:

- prima medie geometrica () este o medie geometrica simpla, care se refera la intreaga serie dinamica supusa prelucrarii,

- a doua medie geometrica () este tot o medie geometrica simpla dar care se bazeaza pe n - 2 indicatori de nivel, fiind eliminati din calcul primul si ultimul indicator din serie, notatia “n” este acordata numarului total de indicatori de nivel inscrisi in serie dinamica,

- a treia medie geometrica () se determina prin luarea in consideratie a unui numar de n - 4 indicatori de nivel, se elimina astfel din calcul primii doi si ultimii doi indicatori de nivel din serie,

- se continua modalitatea de calcul a mediilor geometrice secventiale (partiale) pana se epuizeaza toate posibilitatile.

Daca seria dinamica respectiva este formata dintr-un numar impar de indicatori, indicatorul din mijlocul seriei nu va fi luat in calcul la nici-o varianta a mediei geometrice secventiale.

Ponderea fiecarei medii geometrice secventiale este reprezentata prin numarul unitatilor (segmentelor) de timp la care se refera media, adica f₁= n - 1 pentru prima medie, f₂= n - 3 pentru media a doua, f₃= n - 5 pentru media a treia, s.a.m.d.

Relatia de calcul a mediei geometrice corectate este urmatoarea:

in care,

m - numarul mediilor geometrice secventiale

Nota: Pentru a determina indicele mediu anual de crestere (scadere) se poate opta si pentru urmatoarea modalitate: se calculeaza toate variantele posibile de indici individuali ai dinamicii si se face media geometrica simpla a acestora. Numarul indicilor individuali de dinamica este dat de , in care n este egal cu numarul segmentelor de timp ale seriei dinamice.

Procedeul autoregresiei se bazeaza pe calculul indicelui mediu anual de crestere (scadere) din ecuatia care se obtine prin minimizarea urmatoarei expresii:

Egaland cu zero derivata acestei sume calculata in raport cu rezulta ecuatia, , din care se extrage

Daca indicele mediu este exprimat procentual si apoi se micsoreaza cu 100 se obtine ritmul mediu anual de crestere sau de scadere , ca o expresie derivata a marimii medii care caracterizeaza modificarea medie in timp a unui fenomen,

Exemplul 4.

Tabelul 5

Productia de motoare electrice

Pe baza datelor statistice prezentate in tabelul 5 se doreste sa se caracterizeze evolutia productiei de motoare electrice cu ajutorul indicelui mediu anual de crestere si respectiv a ritmului mediu anual de crestere.

Reprezentarea grafica a seriei dinamice supusa analizei (cronograma) ofera posibilitatea unei constatari clare care evidentiaza cresterea constanta a productiei de motoare electrice pe parcursul celor 10 ani.

Fig. 1

Calculul indicelui mediu () si respectiv a ritmului mediu anual de crestere:

a- procedeul mediei geometrice simple,

b- procedeul mediei geometrice corectate,

c- procedeul autoregresiei,

Calculele prezentate ne ofera trei rezultate diferite deoarece logica metodologica a acestor determinari difera de la un procedeu la altul. Se precizeaza totusi ca, in acest caz, procedeul care este recomandat pentru a calcula indicele mediu anual de crestere este media geometrica simpla deoarece seria dinamica a productiei de motoare electrice inregistraza, in mod evident, o crestere permanenta de la un an la altul.

Prin urmare, pe baza calculelor efectuate, prin aplicarea procedeului mediei geometrice simple, se constata ca productia de motoare electrice a crescut in fiecare an al perioadei anilor 2-10, in medie de 1,175 ori sau cu 17,5%.

Nota: Se mentioneaza ca, in conditiile unei evolutii exponentiale, indicele mediu anual de crestere sau de scadere poate fi calculat si cu ajutorul metodei celor mai mici patrate prin estimarea valorii parametrului b din ecuatia de tendinta: . Este evident ca in acest caz, parametrul b are semnificatia indicelui mediu, iar notatia t reprezinta variabila timp, pentru care se acorda valori conventionale crescatoare incepand cu cifra 0, oferita primului segment de timp.