Schema lui Bernoulli cu bila intoarsa si cu doua stari

Se considera experienta la care poate sa apara fie evenimentul A fie evenimentul cu probabilitatiile si . Prin urmare conform teoremei 2.4.1 Presupunem ca experienta se repeta de n ori in conditii identice, deci probabilitatea de aparitie a evenimentelor si nu se schimba de la o experienta la alta. Se cere probabilitatea ca in cele n experiente evenimentul A sa apara exact de k ori, unde . Rezultatul notam cu si se obtine formula .

Presupunem ca intr-o urna sunt N bile identice, dintre care sunt bile albe si sunt bile negre . Prin urmare . Experienta consta in urmatoarele: Se alege la intamplare o bila din urna, constatam culoarea bilei si o punem inapoi in urna .Astfel continutul urnei nu se modifica de la o experienta la alta. Fie evenimentul care apare atunci cand se extrage din urna o bila alba, iar evenimentul cand se extrage o bila neagra. Atunci conform definitiei 2.2.1 avem iar . In cele n experiente evenimentul apare de k ori iar evenimentul de ori. Folosind definitia 3.4.1 rezulta ca probabilitatea ca sa apara intr-o ordine data evenimentul de ori si evenimentul de ori este

,

deoarece putem considera cele experiente efectuate independent doua cate doua. Insa cele k evenimente printre cele evenimente poate sa apara in moduri diferite, prin urmare

.

Exemplu: Se arunca o pereche de zaruri de sase ori. Care este probabilitatea ca exact de trei ori sa obtinem un total de sapte puncte?

Fie evenimentul A care se realizeaza atunci cand suma celor doua numere dupa aruncarea zarurilor este sapte. Deoarece pe cele doua zaruri poate sa apara orice pereche de numere vom avea in total 36 de cazuri egal probabile. Numarul cazurilor favorabile aparitiei evenimentului A este sase , caci numarul sapte se obtine in sase moduri posibile. Folosind definitia 2.2.1 avem Deoarece experienta se repeta de sase ori si urmarim ca evenimentul A sa apare de trei ori, rezulta ca probabilitatea ceruta este egala cu