Metode de rezolvare a ecuatiilor neliniare - metoda coardei variabile

Lucrare

1. Metoda injumatatirii intervalului

Cea mai simpla metoda de rezolvare a ecuatiilor neliniare este metoda injumatatirii intervalului. Aceasta metoda se aplica daca pe intervalul dat exista in mod sigur o singura radacina. Daca [a,b] este intervalul pe care se studiaza problema, atunci conditia de mai sus se poate scrie: f(a) · f(b) < 0. Se calculeaza punctul c de la mijlocul intervalului si se determina in care din cele doua jumatati se afla radacina. Astfel, daca f(a) · f(c) < 0, radacina se afla in intervalul [a,c], iar in caz contrar in intervalul [b,c]. Se aplica acelasi procedeu pentru noul interval de mai multe ori pana cand se obtine un interval in jurul radacinii mai mic decat o eroare admisa e

Algoritmul descris mai sus se poate scrie astfel:

Se declara functia f(x).

Se declara marginile intervalului a si b si eroarea e

Daca f(a) · f(b) > 0 atunci intervalul este ales gresit. STOP.

Se calculeaza c = ( a + b ) / 2.

Daca f(c) = 0 atunci radacina exacta este c. Se scrie c. STOP.

Daca f(a) · f(c) > 0 atunci a = c altfel b = c.

Daca ( b - a ) < e atunci se scrie radacina aproximativa c = ( a + b ) / 2 si se opresc calculele, altfel se reia intreg procesul de la pasul 4.

2. Metoda coardei variabile

In cadrul acestei metode algoritmul de rezolvare este oarecum similar, deosebirea fiind aceea ca se foloseste o alta formula pentru impartirea intervalelor. Ea se obtine din intersectia coardei care uneste punctele de la capetele curbei cu axa Ox.

Punctul c se afla la intersectia coardei care uneste punctele (a, f(a)) si (b, f(b)) cu axa Ox. Acest punct se determina rezolvand sistemul:

solutia fiind bineinteles x = c. Dupa determinarea punctului c se determina in care subinterval se afla solutia si se face substitutia a = c, sau b = c, si se repeta acest algoritm pana cand se obtine |f(c)|<e

Algoritmul este identic cu cel prezentat mai sus, singurele deosebiri fiind la punctul 4 unde se schimba formula de calcul pentru c si la testul final.

Aplicatie:

Sa se rezolve ecuatiile:

ln(x) + x = 0 pe intervalul [0.05,2].

sin(x) - ln(x) = 0 pe intervalul [1,p

ln(x) - e^-x = 0 pe intervalul [1,4].