Clase de variabile aleatoare reale, clase de vectori aleatori reali

1 Variabile aleatoare simple

Fie o -algebra de evenimente, avand pe evenimentul sigur.

Definitia 1.1 O variabila aleatoare reala se numeste variabila aleatoare reala simpla daca imaginea ei este formata dintr-un numar finit de elemente:

Definitia 1.2. Prin tabelul de repartitie al variabilei aleatoarei simple vom intelege urmatorul table notat in felul urmator :

adica un tabel in care in prima linie se trec valorile pe care le ia variabila aleatoare simpla iar in al doilea rand se trec probabilitatile cu care aceste valori sunt luate.

Exemplu Plecand de la experienta cu moneda putem construi o variabila aleatoare simpla.Ca rezultat al experientei apar evenimentele si corespunzator aparitiei stemei sau a banului .

Atasam numerele 0 respectiv 1 daca apare stema respective banul. Cum se obtine urmatorul tabel de repartitie :

.

Teorema 1.1. Pentru orice variabila aleatoare reala simpla avem reprezentarea

Demonstratie: Pentru orice exista astfel incat si pentru orice cu deci .Prin urmare

La orice variabila aleatoare reala simpla se poate atasa functia de repartitie data prin formula pentru orice

Teorema 1.2 Daca f este o variabila aleatoare simpla atunci functia de repartitie corespunzatoare este data prin formula:

2 Variabile aleatoare discrete

Fie o algebra de evenimente avand evenimentul sigur.

Definitia 2.1 O variabila aleatoare reala .se numeste variabila aleatoare reala discreta, daca imaginea ei este formata dintr-un numar infinit, dar numarabil de elemente si astfel incat imaginea lui f nu contine nici un punct de acumulare ale imaginii.

Definitia.2.2. Prin tabelul de repartitie al variabilei aleatoare discrete vom intelege urmatorul tabel notat in felul urmator :

adica un tabel in care in prima linie se trec valorile pe care le ia variabila aleatoare discreta f , iar in al doilea rand se trec probabilitatile cu care aceste valori sunt luate.

Exemplul: Plecand de la experienta considerata la schema geometrica putem constui o variabila discreta Pentru fiecare evenimentul apare de ori si in experienta numarul apare evenimentul .

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

Atasam numarul natural acestei experiente si obtinem urmatorul tabel de repartitie :

cunoscut sub numele de legea geometrica.

Teorema 2.2. Daca f este o variabila aleatoare discreta, atunci functia de repartitie curespunzatoare este data prin formula

Demonstratie Daca atunci conform formulei avem caci Daca , atunci

deci

.

Daca , atunci

Fiindca in acest caz

3. Variabile aleatoare continue

Fie o algebra de evenimente cu evenimentul sigur , o probabilitate aditiva , o variabila aleatoare reala , iar pentru orice functia de repartitie asociata variabilei aleatoare reale .

Definitia 3.1. Variabila aleatoare reala f se numeste variabila aleatoare reala continua, daca admite densitate de probabilitate , adica daca exista o functie numita densitate de probabilitate astfel incat pentru orice

Exemplul : Sa se afle constanta reala astfel incat functia sa fie o densitate de probabilitate. Sa se determine functia de repartitie corespunzatoare. Sa se calculeze probabilitatea unde f este variabila aleatoare reala continua cu densitatea de probabilitate

Conform definitiei 6.4.1. Trebuie sa avem pentru orice si . De aici rezulta ca deci avem o lege de tip Cauchy.

Conform definitiei 7.3.1. putem calcula functia de repartitie

Din formula se deduce ca

4 Clase de vectori aleatori reali

Definitia 4.1 Vectorul aleator se numeste vector aleator simplu daca imaginea lui X este format dintr-un numar finit de numere reale.

Teorema 4.1. Vectorul aleator este vector aleator simplu daca si numai daca componentele sale sunt variabile aleatoare simple.

Demonstratie :Daca X este un vector aleator simplu imaginea sa este format dintr-un numar finit de puncte, adica imaginea lui X , notata cu este o submultime finita a spatiului . Atunci, pentru orice imaginea variabilei aleatoare notata cu este formata din numerele reale de pe componenta a a ale punctelor cu componente reale din Prin urmare este o submultime finita de pe axa reala pentru orice

Invers daca sunt variabile aleatoare simple , atunci imaginea lui X , este produsul cartezian al multimilor finite deci este finita.

Definitia 4.2 Vectorul aleator se numeste vector aleator discret, daca imaginea lui X este formata dintr-un numar infinit , dar numarabil de puncte din si astfel incat nu contine nici un punct de acumulare al imaginii.

Teorema 4.2. Vectorul aleator este vector aleator discret daca si numai daca componentele sale sunt variabile aleatoare discrete.

Definitia 4.3 Un vector aleator X se numeste continuu, daca exista o functie astfel incat:

unde este functia de repartitie a vectorului aleator X . Functia se numeste densitatea de probabilitate a vectorului aleator continuu X.

Observatie La fel ca in cazul unu dimensional si in cazul multidimensional are loc proprietatea daca densitatea de probabilitate este continua, atunci functia de repartitie este derivabila si

.

Teorema 4.3 Fie un vector aleator bidimensional continuu care are densitatea de probabilitate . Atunci componentele vectorului aleator X , variabilele aleatoare sunt variabile aleatoare continue cu densitati de probabilitate date de formula:

si .

5 Independenta variabilelor aleatoare reale

Fie doua variabile aleatoare reale, iar vectorul aleator corespunzator bidimensional.Fie functiile de repartitie ale variabilelor aleatoare iar functia de repartitie a vectorului aleator

Definitia 5.1. Variabilele aleatoare si se numesc independente daca

pentru orice .

Aceasta definitie este o generalizare naturala a independentei evenimentelor.

Daca notam cu si cu atunci se observa ca :