Probabilitatea finit aditiva definite pe algebra de evenimente

Modul statistic de aparitie a probabilitatii

Se considera o experienta care se repeta de n ori in conditii identice si presupunem ca evenimentul A poate sa apara ca rezultat al experientei. Presupunem ca in cele n experiente evenimentul A a aparut de ori. Numarul se numeste frecventa absoluta de aparitie a evenimentului A in cele n experiente efectuate. Prin frecventa relativa a evenimentului A vom intelege fractia . Valoarea acestei fractii este un numar in intervalul si se poate numi probabilitatea statistica a evenimentului A. Presupunem ca experienta se repeta inca de n ori si astfel se obtine o noua valoare .Se va observa ca valorile fractiilor vor fi apropiate si pentru suficient de mare vor oscila in jurul unei valori teoretice bine precizate, care se numeste probabilitatea teoretica de aparitie a evenimentului A.

2 Definitia clasica sau combinatoriala a probabilitatii finit additive pe algebre de evenimente

Definitia 2.1 Probabilitatea clasica sau combinatoriala de aparitie a evenimentului A se noteaza prin P(A) si prin definitie va fi valoarea fractiei .

Prin urmare P(A)= , unde numarul natural din numitor reprezinta numarul total de cazuri egal probabile care pot sa apara pe parcursul experientei, iar numarul natural din numarator reprezinta numarul de cazuri favorabile de aparitie a evenimentului A.

Exemplu: Intr-o cutie se afla 20 de piese, dintre care 2 sunt rebuturi, iar restul de 18 sunt piese bune. Care este probabilitatea ca luand la intamplare piesele din cutie rebuturile sa fie extrase la inceput?

P=

Definitia geometrica a probabilitatii finit aditive pe algebre infinite de evenimente

Definitia 3.1 Prin probabilitatea geometrica de aparitie a evenimentului A, notata prin P(A), vom intelege numarul definit in felul urmator:

P(A)= ,

unde masura(G), respectiv masura (F) inseamna masura Jordan a figurilor geometrice masurabile Jordan.

Definitia axiomatica a probabilitatii finit aditive

definite pe algebra de evenimente data

de catre Kolmogorov

Fie o algebra de evenimente care contine evenimentul sigur .

Definitia 4.1 O functie care verifica urmatoarele axiome:

i)

ii) pentru orice incompatibile adica pentru care se numeste probabilitate finit aditiva.

Teorema 4.1 Pentru orice eveniment avem

Teorema 4.2 Probabilitatea evenimentului imposibil este zero:

Teorema 4.3 (Proprietatea de abstractivitate a probabilitatii)

Daca cu , atunci .

Teorema 4.4 (Proprietatea de monotonie a probabilitatii)

Daca atunci .

Teorema 4.5 Pentru orice eveniment avem .

Teorema 4.6 Daca sunt evenimente arbitrare atunci

Teorema 4.7 Daca sunt evenimente incompatibile doua cate doua pentru orice , atunci

Teorema 4.8 (Identitatea lui Poincare)

Daca , atunci

.

Teorema 4.9 (Proprietatea de subaditivitate a probabilitatii pe algebra de evenimente)

Daca sunt doua evenimente arbitrare, atunci .

Definitia 4.2 Vom spune ca functia verifica proprietatea de finit subaditivitate, daca .

Teorema 4.10 Daca sunt evenimente arbitrare atunci probabilitatea finit aditiva verifica proprietatea de finit subaditivitate.

Definitia 4.3 Vom spune ca functia verifica inegalitatea lui Boole, daca pentru orice sistem de evenimente .

Teorema 4.11 Urmatoarele afirmatii sunt echivalente pentru o functie care verifica proprietatea pentru orice

i) verifica proprietatea de finit subaditivitate;

ii) verifica inegalitatea lui Boole.

Teorema 4.12 Daca sunt evenimente arbitrare atunci probabilitatea finit aditiva verifica inegalitatea lui Boole.

Consecinta Daca sunt evenimente arbitrare atunci probabilitatea finit aditiva verifica urmatoarea inegalitate:

.

Exemplu : Intr-un lot de 100 de piese 5 sunt rebuturi. Se aleg la intamplare 5 piese din lot. Care este probabilitatea ca printre piesele alese cel putin una sa fie defecta?

Fie urmatorul sistem de evenimente: pentru =0 se realizeaza cand printre cele 5 piese alese la intamplare sunt rebuturi iar 5- sunt bune. Se observa ca este un sistem complet de evenimente. Se cere probabilitatea evenimentului

.