Metode de subspatiu in identificarea sistemelor

METODE DE SUBSPATIU IN IDENTIFICAREA SISTEMELOR

1. OBIECTIVELE LUCRARII

Identificarea sistemelor prin metode de subspatiu;

Obtinerea directa din date experimentale a modelelor cu evidentierea spatiului starilor, adica sub forma ecuatie de stare - ecuatie de observare. 

2. BREVIAR TEORETIC

Metodele de subspatiu sunt in campul identificarii sistemelor de relativ putin timp (1994) si apartin unor cercetatori belgieni, Peter Van Overschee si Bart De Moore. Ele reprezinta o tratare a problemei identificarii sistemelor concomitent deterministe si stochastice, etichetata drept revolutionara. Foarte repede, aceasta problema  a fost implementata in pachetul de programe MATLAB in subpachetul Toolbox/Ident, sub numele n4sid.

Algoritmic, pe baza unor proiectii ale iesirilor viitoare ale sistemului pe intrarile trecute si viitoare si pe iesirile trecute trecutul si viitorul sunt delimitate de indicele i si sunt, asadar, notiuni conventionale), problema se trateaza in maniera prezentata in continuare.

Pasul 1. Determinarea celor doua proiectii Z_i si Z_i+1

Z_i=Y_i/2i-1=                                (10.1)

                     (10.2)

cu U si Y matrici bloc de intrari si iesiri observate experimental intre momentele scrise ca indici.

Pasul 2. Determinarea descompunerii prin valori singulare

                             (10.3)

Ordinul sistemului este egal cu numarul de valori singulare nenule

 si (10.4)

Pasul 3. Determinarea solutiei prin metoda celor mai mici patrate ( cu r₁ si r₂ reziduale)

     (10.5)

Pasul 4. Obtinerea matricilor sistemului succesiv, astfel:

4.1. In prima etapa A K₁₁ si C K₁₂

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

4.2. Se obtin B si D care rezulta din A, C, K₁₂ si K₂₂ prin rezolvarea unui sistem de ecuatii liniare.

4.3. analog,  

Subsistemul determinist este identificat exact pe masura ce j , independent de numarul i.

Aproximarea subsistemului stochastic depinde de i si converge pe masura ce i

Tot acest algoritm aparent complicat este implementat in functia MATLAB cu numele n4sid, sub forma simpla

TH=N4SID(Z)

sau mai complicata

TH,AO N4SID Z,ORDER,NY,AUXORD,DKX,MAXSIZE,TSMP

In TH se returneaza modelul cu evidentierea starii sistemului, in formatul THETA. Functia nu furnizeaza un model al covariatiilor.

In matricea Z sunt plasate datele de iesire si de intrare sub forma unor vectori coloana y u . Daca sistemul are mai multe intrari (n) si mai multe iesiri (p) atunci Z= y1 y2 yp u1 u2 un

Variabila ORDER specifica ordinul/ordinele posibil(e) al(e) modelului (dimensiunea vectorului de stare). Introdusa ca vector, de pilda 3:10, ea face ca functia sa genereze un grafic cu informatii asupra tuturor ordinelor propuse. Prin default ORDER=1:10. Daca variabila ORDER este introdusa ca best , se alege aceasta valoare de default. NY este numarul de iesiri din matricea de date; prin default NY=1.

AUXORD este un ordin auxiliar care este folosit la selectarea variabilelor de stare. Prin default ea este 1.2*ORDER+3. Daca AUXORD este introdus ca un vector linie atunci este retinuta acea valoare care minimizeaza eroarea de predictie.

Variabila DKX este un vector care defineste structura DKX= D,K,X . D=1 indica estimarea unui termen direct de la intrare la iesire, D=0 indica postularea unei intarzieri de la intrare la iesire. K=1 impune estimarea unei matrici K, iar K=0 obliga la o matrice

K nula. X=1 indica o estimare a starii initiale a sistemului, X=0 indica initierea la zero.

Pentru definirea unei structuri de intarziere a intrarilor NK, cu NK(ku) intarzierea de la intrarea ku la oricare din iesiri se pune DKX= D,K,X,NK cu NK un vector linie de lungime egala cu numarul intrarilor. Daca se specifica NK, atunci valoarea D este ignorata .

Prin default, DKX= 0,1,1

3. MODUL DE LUCRU

Daca nu este deja creat, se creeaza un director/folder de lucru.

Se creeaza un sistem dinamic cu una sau mai multe intrari, cu una sau mai multe iesiri. Secventa urmatoare, utilizata si in alte lucrari este tipica pentru generarea functiei de transfer pentru unul din canalele (1,1, de pilda) intrare-iesire.

sisc11=tf([1 2],[1 2 5])

sisd11=c2d(sisc,0.01,'zoh')

Ea poate fi utilizata, cu modificari de coeficienti potrivite, si la generarea altor functii de transfer, pentru alte canale.

Se aplica sistemului intrari, preferabil sub forma unor secvente binare aleatoare

u1=sign(randn(size(t)));

si se observa iesirile. Iesirile se corup cu secvente de zgomot alb

sig=0.0001;

y1=y1+sig*randn(size(t));

cu sig la alegere, cu t vectorul de momente echidistante la care se obseva sistemul, sau cu secvente de zgomot colorat. In acest din urma caz, zgomotul alb este trecut mai intai printr-un filtru .

Se constituie astfel matricea Z de date experimentale

Se invoca functia n4sid si se examineaza rezultatele identificarii pentru structuri usor modificate si pentru erori in date (sig) de importanta mai mare sau mai mica.

Prin utilizarea functiilor MATLAB de conversie a modelelor, cand este posibil se revine la forma functie de transfer si se compara cu modelul care a generat datele.

Sunt recomandate reprezentarile grafice in acelasi spatiu ale datelor experimentale si ale raspunsurilor calculate cu modelul/modelele estimate.