Matematica
Elemente de algebra liniaraElemente de algebra liniara 1.1.Spatii vectoriale Definitie. Fie (K,+,·) corp comutativ si V o multime nevida. Spunem ca V are structura de spatiu vectorial peste K daca s-au definit doua legi de compozitie :V V V (lege de compozitie interna) si A:K V V (lege de compozitie externa) astfel incat sa fie satisfacute urmatoarele: i) (V, ) este un grup abelian ii) a b Ax=(aAx) bAx), ( a b IK si xIV aA(x y)=(aAx) aAy), ( aIK si ( )x,yIV ab Ax=aA bAx), ( a b IK si x IV x=x, ( )x IV unde 1IK este elementul unitate. 1.2.Subspatii vectoriale Definitie. Fie V|K si W V, W Spunem ca W este subspatiu vectorial al spatiului V daca W este spatiu vectorial in raport cu legile de compozitie interna si externa induse pe W de legile corespunzatoare din V. Notam W<V Teorema. Fie V|K, W V, W Atunci W<V a b IK si x,yIW T ax + by I W. 1.3.Dependenta si independenta liniara. Baza. Fie V KDefinitii 1. Fiind data multimea S= V, vectorul av++av cu a,,a IA se numeste combinatie liniara a elementelor multimii S. Multimea S= V se numeste sistem de generatori al spatiului vectorial V daca orice vector din V se scrie ca o combinatie liniara a elementelor multimii S. Multimea S= V se numeste sistem liniar independent daca din orice combinatie liniara nula a elementelor multimii S obtinem toti scalarii nuli. Daca S nu este sistem liniar independent spunem ca este sistem liniar dependent. Sistemul de vectori B= V este o baza a spatiului vectorial V daca B este sistem liniar independent si sistem de generatori. Teorema 1. Reprezentarea unui vector intr-o baza este unica. Teorema 2. Orice spatiu vectorial admite o baza. Definitie. Fie V K. Se numeste dimensiunea lui V numarul vectorilor unei baze din V. Teorema 3. Orice doua baze ale unui spatiu vectorial au acelasi numar de elemente. Teorema 4. Fie V/K un spatiu vectorial de dimensiune n, atunci orice sistem liniar independent cu n vectori este baza. Teorema 5. Vectorii v= ,, vn= din Aformeaza o baza in A determinantul matricei asociate A=formata cu cei n vectori este nenul, deci detA 0. Daca detA=0 T sistemul de vectori nu formeaza o baza a lui A 1.4.Schimbarea bazei. Lema substitutiei. Metoda pivotului. Regula practica dedusa din lema substitutiei, numita regula pivotului de schimbare a bazei, are urmatoarele etape: elementele de pe linia pivotului se impart la pivot; coloana pivotului devine vector unitar. pentru orice alt element se aplica regula dreptunghiului: se construieste un dreptunghi imaginar cu varfurile in pivot si elementul ce trebuie transformat si se aplica regula: noua componenta este data de : [(produsul elementelor de pe diagonala pivotului)-(produsul elementelor de pe cealalta diagonala)]/pivot. a=pivot si x=elementul ce se recalculeaza T noul element x'
1.5. Functionale pe spatii vectoriale Functionale liniare Definitie. Fie V|A. Aplicatia f:V A este o functionala liniara daca sunt satisfacute axiomele: 1. f(x+y)=f(x)+f(y), x,yIV - aditivitatea; 2. f(lx)=lf(x), xIV si lIA - omogenitatea. Teorema. f :V A este o forma liniara a b IA si x,yIV, f(ax+by)=af(x)+bf(y)Functionale biliniare Definitie. Fie V/A si W/A . Aplicatia f V W A este o functionala biliniara daca este liniara in fiecare argument. Teorema. Fie V/A , cu dimV=n; W/A, cu dim W=m; B = o baza a lui V si B' = o baza a lui W. O functionala biliniara f V W A se poate reprezenta matriceal f(x,y) = xTAy, unde , aij = f(ei,lj) . Caz particular. Pentru V=W si dim V=n obtinem f V V A este o functionala biliniara astfel ca f(x,y)=xTAy, x,yIV. Definitie. O functionala biliniara f V V A se numeste simetrica daca are loc: f(x,y)=f(y,x), x,yIV Observatie. Functionala biliniara f V V A este simetrica daca si numai daca A = AT, adica matricea A este simetrica. Forme patratice Definitie. h:V A este o forma patratica pe spatiului vectorial V, daca exista o functionala biliniara simetrica f:V V A astfel incat h(x)=f(x,x), xIV. Teorema. Fie V/A , cu dimV=n. Aplicatia h V A este o forma patratica a spatiului vectorial V daca si numai daca exista astfel incat h(x) = xTAx , xIV. Clasificarea functionalelor patratice Fie h V A o functionala patratica a spatiului vectorial V. h(x) este pozitiv definita daca h(x)> xIV- h(x) este pozitiv semidefinita daca h(x) xIV- h(x) este negativ definita daca h(x)< xIV- h(x) este negativ semidefinita daca h(x) xIV- h(x) este nedefinita daca exista x1,x2IV astfel incat h(x1)>0 si h(x2)< Metoda Jacobi de reducere a functionalelor patratice la forma canonica Aceasta metoda consta in aducerea functionalei patratice cu matricea A la o noua functionala patratica avand matricea B - diagonala si se bazeaza pe trecerea de la baza initiala B0=(e1, . ,en) la o noua baza B1=(b1, . ,bn) numita baza canonica sau normala, in raport cu care functionala patratica se scrie ca o suma de patrate. Teorema Jacobi Fie h V A o functionala patratica a spatiului vectorial V exprimata in baza B0=(e1, . ,en), h(x) = xTAx, xIV (unde A = (aij)i,j=1,n , aij = f(ei,ej) sunt valorile functionalei biliniare simetrice asociate pe multimea vectorilor bazei B0). Daca toti minorii principali ai matricei A, D = a11, D = a11 a22- a21 a12, . , Dn = detA, sunt nenuli, atunci exista baza B1=(b1, . ,bn) a lui V astfel incat: h(x)=(1/D x D D x Dn-1/Dn xn unde (x xn) sunt coordonatele lui x in noua baza. Din aceasta teorema se deduc cateva proprietati importante ale functionalelor patratice: i)functionala patratica este pozitiv definita Dh> h=1,..,n. ii) functionala patratica este negativ definita Dh>0 pentru h par si Dh<0 pentru h impar. Daca exista Dh>0 si Dh<0 si nu se incadreaza in situatia ii) T functionala patratica este nedefinita. Daca exista Dh=0 atunci natura functionalei patratice nu poate fi stabilita prin metoda Jacobi ci se apeleaza la metoda Gauss. Metoda Gauss de reducere a functionalelor patratice la forma canonica Fie Daca a11 0, se grupeaza intr-o paranteza toti termenii care contin pe x1 pentru a obtine un patrat perfect, restul termenilor aflandu-se in afara acesteia.
unde h1(x) este o functionala patratica in care apar doar variabilele x2, . ,xn
, i=2, . ,n obtinem . Daca a11=0, cautam un indice jI astfel incat ajj Daca gasim un asemenea indice renumerotam variabilele astfel incat variabila j sa devina prima variabila si in continuare procedam ca in primul caz. Daca a11=0 jI exista un indice i astfel incat a1i 0 si efectuam transformarea: ,daca j 1 si j i. Astfel coeficientul lui este nenul si procedam mai departe ca in primul caz. Acelasi procedeu se aplica si functionalei patratice h1(x) in care apar doar variabilele x2, . ,xn. Se continua algoritmul pana la epuizarea tuturor variabilelor, cand obtinem h(x)=(k1)x +(k2)x + . +(kn)xn Aplicatii1. Sa se arate ca mutimea B= A, unde v , v v , este o baza in A. Sa se gaseasca coordonatele vectorului v= in aceasta baza. Solutie : i) Pasul 1 Asociem matricea sistemului de vectori : A= Pasul 2 Calculam determinantul matricei A: detA== -2 Cum detA TB baza in A ii)B fiind baza in A, orice vector din A se scrie ca o combinatie liniara a vectorilor v,v,v in mod unic. Avem v=av+av+av =a+a+a = Matricea asociata sistemului este A=, iar detA T sistemul este compatibil determinat cu solutia data de a=, a=, a=, unde =detA=-2 . = = T a=3 ; a=-1 ;a=0 T[v]=. Studiati compatibilitatea sistemului si in caz de compatibilitate rezolvati sistemul : (S) Solutie:(A|b)=~~ rang A=3, rang A=3 T (S) este compatibil simplu nedeterminat cu solutia data de: (-1+4t,2-3t,-2t,t), tIA Construiti o forma liniara pe V=R4. Solutie: Alegem astfel ca f(x) = x1+ x2+ x3+ x4 Fie = 1 si x= => f(x) = 2 x1+ x4 Pentru y = => x+y = Verificam aditivitatea: f(x+y)= f(x)+f(y), x,yI R4 f( x+y) = 2 (x1+ y1) + x4+ y4 = 2x1+2 y1+ x4+ y4 Cum f(x)+f(y) = 2 x1+ x4 + 2 y1+ y4 rezulta ca axioma este verificata. Verificam omogenitatea: f( x) = f(x), aIA xI R4 Din f( x) = 2 x1+ x4 = (2 x1+ x4) si f(x)= (2 x1+ x4) rezulta ca si axioma de omogenitate este verificata => f astfel construita este functionala liniara. Pe V=A construiti o forma biliniara simetrica. Solutie: Fie A = Fie f: x , f(x,y)=xAy. Practic, pentru a scrie f putem asocia urmatorul tabel:
f(x,y) = x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+2x2y3+x3y1+2x3y2+x3y4+x4y1+x4y3 Sa se reduca la forma canonica, forma patratica h :A A, h(x)=2x+x+x+2 xx+xx Solutie: Asociem matricea formei patratice A= Calculam D=2, D==1, D=1/2. Conform teoremei Jacobi : h(x)=+ += +2+2. Observatie: forma patratica data este pozitiv definita.
|