Legea numerelor mari - legea slaba a numerelor mari

Se constata ca intre frecventa aparitiei unui eveniment si probabilitatea aparitiei acestui eveniment exista o legatura stransa.Aceasta observatie a condus la rezultate cum sunt cele ale lui Bernoulli si ale lui Poisson, care vor apare in acest capitol.

Legea slaba a numerelor mari

Fie sirul de variabile aleatoare si sirul de functii reale de n variabile reale, masurabile Borel si simetrice in raport cu cele n argumente.

Definitia 2.1.1.Spunem ca sirul de variabile aleatoare se supune legii slabe a numerelor mari daca exista sirul de numere reale astfel ca unde .

Observatie Sirul de variabile aleatoare urmeaza legea slaba a numerelor mari, daca pentru orice avem:

avand in vedere definitia convergentei in probabilitate.

Observatie In cele ce urmeaza vom considera ca fiind media aritmetica a argumentelor functiei, adica .

Prezentam in continuare conditii suficiente care asigura convergenta in probabilitate ( 1.1) , iar in finalul paragrafului o conditie necesara si suficienta pentru acesta.

Teorema 2.1.1 (Hincin).Daca sirul de variabile aleatoare independente sunt identic repartizate si au valoarea medie finita atunci :

,

adica sirul se spune legii alabe a numerelor mari.

Demonstratie. Fie functia caracteristica a variabilei si functia caracteristica a variabilei aleatoare atunci

.

Deoarece , rezulta ca

,

care inlocuita in prima egalitate conduce la .

Logaritmam si dezvoltam in serie dupa puterile lui

,

de unde

,

care este functia caracteristica corespunzatoare functiei de repartitie:

Din teorema 8.4.3 avem convergenta in repartitie a sirului de variabile aleatoare la variabila aleatoare constanta a. Pe baza acestui rezultat, aplicand proprietatea rezulta convergenta in probabilitate a sirului de variabile aleatoare la constanta a .

Teorema 2.1.2.(Marcov) Daca sirul de variabile aleatoare verifica conditia

,

atunci

,

adica se spune legii slabe a numerelor mari.

Demonstratie Rezulta imediat din inegalitatea lui Cebisev daca se ia .Anume

,

de unde prin trecere la limita si avind in vedere conditia rezulta ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 2.1.3. Fie sirul de variabile aleatoare independente doua cite doua si care au dispersiile egal marginite, adica , atunci

Demonstratie . Variabilele aleatoare fiind independente doua cite doua si dispersiile fiind egal marginite avem

,

de unde rezulta ca este indeplinita conditia si pe baza teoremei rezulta ca sirul de variabile aleatoare se supune legii slabe a numerelor mari.

Teorema 2.1.4 (Poisson) Fie sirul de variabile aleatoare independente cu distributia data prin

si ,

atunci sirul se supune legii slabe a numerelor mari.

Observatie Enuntul teoremei lui Poisson il intalnim des intr-o forma echivalenta. Daca intr-un sir de repetari independente ale unui experiment probabilitatea aparitiei evenimentul A la repetare de rang este atunci

,

unde este numarul aparitiilor evenimentului A in repetari ale experimentului.

Teorema 2.1.5.(Bernoulli) Fie sirul de variabile aleatoare independente cu distributia data prin si , atunci sirul se spune legii slabe a numerelor mari.

Observatie Enuntul teoremei lui Bernoulli il intalnim de obicei in forma echivalenta : daca intr-un sir de repetari independente ale unui experiment probabilitatea aparitiei evenimentului A este la fiecare repetare,atunci

,

unde este numarul aparitiilor evenimentului A in repetari ale experimentului.

Teorema 2.1.6. (Kolmogorov) Conditia necesara si suficienta ca sirul de variabile aleatoare sa se supuna legii slabe a numerelor mari, adica

,

este ca

.

Demonstratie .Sa notam variabila aleatoare , iar functia corespunzatoare ei .

Pentru suficienta putem scrie succesiv

Functia fiind crescatoare pentru ,avem

de unde prin trecere la limita se obtine .