Generalizarea notiunii de unghi si de arc - unghiuri orientate, suma unghiurilor

1 .Unghiuri orientate.

Pana acum am considerat unghiul definit in geometrie ca: figura formata de doua semidrepte care au aceiasi origine.

Unghiul astfel definit se dovedeste insa necorespunzator studiului unor miscari ca:

-strangerea piulitei, rotatia cheii, rotatia elicei s.a unde trebuie sa se tina seama si de sensul rotatiilor si de numarul lor.

In cele ce urmeaza vom da o noua definitie unghiului care o va generaliza pe cea data in geometrie.
Intr-un plan se disting doua sensuri pentru rotatia unei semidrepte: sensul invers rotatiei acelor ceasornicului, numit pozitiv si sensul de rotatie a acelor ceasornicului, numit negativ.

Planul in care s-a stabilit sensul pozitiv pentru rotatii se numeste orientat. Consideram ca unghiul orientatAOB este generat (descris) de o semidreapta din planul orientat care se roteste in jurul originii sale, din pozitia OA pana in pozitia OB

Semidreapta OA se numeste latura initiala a unghiuluiAOB, iar semidreapta OB latura finala.

4).Unghiuri pozitive si negative. Convenim sa numim unghiul AOB pozitiv sau negativ.

Presupunem, deocamdata, ca rotatia semidreptei nu depaseste o rotatie completa.

   Fig. 3

Fig. 4.

Daca masura unghiului geometric AOB este α, spunem ca marimea unghiului AOB este egala cu sau  -, dupa cum rotatia este pozitiva sau negativa si scriem respectivAOB = sau AOB =

Exemplu . In figura 3 sunt reprezentate doua unghiuri cu latura initiala OA si latura finala OB. Marimea unghiului pozitiv AOB este egala cu +90s, iar marimea unghiului negativ AOB este egala cu -270s.

Urmand acelasi rationament definim si pe cercul trigonometric sensul pozitiv trigonometric si sensul negativ trigonometric

Am reusit astfel sa extindem notiunea de unghi la multimea numerelor negative,practic mai avem un singur pas pana vom putea intelege ca orice numar real poate reprezenta marimea unui unghi.

Unghiuri mai mari in valoare absoluta decat 360s. Egalitatea si suma unghiurilor.

Fie unghiul AOB = (-360s ≤ ≤ 360s). Sa presupunem ca semidreapta care il genereaza, dupa ce descrie unghiul , efectueaza n rotatii complete (in figura 4, >0, n = 2). Evident, semidreapta s-a rotit din pozitia OA pana in pozitia OB.

Spunem ca semidreapta a descris unghiulAOB de marime egala cu + n·360s daca rotatiile sunt pozitive si unghiulAOB de marime egala cu - n·360s daca rotatiile sunt negative.

Prin urmare exista o multime infinita de unghiuri cu latura initiala OA si latura finala OB. Ele se exprima prin formula:

= ± n·360s (n =0, 1, 2, . .)

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

sau (3)

=+k·360s (k = 0, ±1,±2, . .).

Evident, pentru k ales convenabilsau De aici rezulta ca, multimea unghiurilor cu latura initiala OA si latura finala OB, exista o multime infinita de unghiuri mai mari in valoarea absoluta decat 360s.

Observatii. 1s In formula (3) unghiul poate fi oricare dintre unghiurile cu latura initiala OA si latura finala OB. In particular putem considera ca 0s ≤< 360s.

2s Folosind masura in radiani, formula (3) se scrie:

= +k·2 (k є), (3΄)

Exemplu1. Daca semidreapta se roteste in sensul pozitiv cu un unghi de 120s, in raport cu latura initiala OA, fiecarei pozitii finale a semidreptei ii corespunde unul din unghiurile:

Observati ca masura unui unghi este un numar pozitiv, marimea lui putand fi pozitiva sau negativa.

Amintiti-va

Doua unghiuri care au aceeasi marime se numesc egale.

Suma a doua unghiuri se numeste unghiul a carui marime este egala cu suma marimilor celor 2 unghiuri        

Exemplu

1) In figura A suma unghiurilorAOB= si BOC= este unghiul AOC=

2) In figura B suma unghiurilor AOB= si BOC= este unghiul AOC=

Fig.A

Fig. B

3.CORESPONDENTA BIUNIVOCA INTRE MULTIMEA NUMERELOR REALE SI MULTIMEA UNGHIURILOR ORIENTATE.

Consideram axa numerelor reale. Numarul p3,1416 este real deci ii corespunde un singur punct pe axa.

Fie un numar real arbitrar. Rezulta ca exista un interval, si numai unul, care contine numarul , fie [) acest interval.

Atunci

, adica

unde este un numar determinat. Cu alte cuvinte, oricare ar fi numarul real , exista un numar intreg si , unic determinate, astfel incat

;

Insa numarul este egal cu un unghi descris de o semidreapta care, dupa ce descrie unghiul , efectueaza rotatii complete (pozitive sau negative, dupa cum sau ).

Prin urmare fiecarui numar real putem face sa-i corespunda un unghi orientat, si numai unul, anume unghiul egal cu acest numar. In aceasta corespondenta fiecare unghi orientat este corespunzator numarului real, unic determinat, egal cu unghiul respectiv. Corespondenta stabilita se numeste biunivoca,adica unu-la -unu.

In acest fel intre multimea numerelor reale si multimea unghiurilor orientate exista o corespondenta biunivoca, care ne va indreptati sa identificam cele doua multimi.

. Corespondenta intre multimea numerelor reale si pozitia laturii finale a unui unghi din planul orientat.

Vom arata ca fiecarui numar real putem face sa-i corespunda, printr-un anumit procedeu, pozitia laturii finale a unui unghi unic determinat. Pentru aceasta consideram multimea unghiurilor din planul orientat a  caror latura initiala este semidreapta OA. Fie ( ) un numar real. El este egal cu unghiul pentru care OA este latura initiala si a carui latura final coincide cu latura finala a unghiului . De aici rezulta ca fiecare numar real ( ) putem face sa-i corespunda, in mod unic, pozitia laturii finale a unghilui .

O b s e r v a t i e. Corespondenta stabilita nu este biunivoca. Intr-adevar, daca OB este pozitia laturii finale a unui unghi, exista o multime infinita de unghiuri cu latura initiala OA si latura finala OB, ale caror marimi sunt numere reale distincte. Asadar, fiecare pozitie a laturi finale a unui unghi este corespunzatoare unei multimi infinite de numere reale distincte.

Pentru a intelege aceasta afirmatie priviti tabelul de la exemplul 1