Sisteme de masura pentru unghiuri si arce - masura in grade sexagesimale si centesimale

1.1 Masura unghiurilor A masura un unghi inseamna a-l compara cu alt unghi, ales ca unitate de masura

Fiecarui arc ii corespunde un unghi la centru unic determinat. Masura arcului de cerc este egala cu masura unghiului la centru corespunzator.

In trigonometrie de intrebuinteaza trei unitati de unghiuri diferite, carora le corespund trei sisteme de masura:

a. Masura in grade sexagesimale.

Masurarea in grade sexagesimale o mostenim de la asirienii care erau cei mai buni matematicieni si astronomi ai timpului lor. Ei inparteau cercul in 360 parti facand legatura cu numarul zilelor dintr-un an,o astfel de parte este gradul sexagesimal

Subunitatile sale sunt minutul sexagesimal (1'), egal cu a 60-a parte din gradul sexagesimal, si secunda sexagesimala (1"), egala cu a 60-a parte din minutul sexagesimal. Pentru a nota, de exemplu, unghiul de 15grade sexagesimale 8 minute sexagesimale 28 secunde sexagesimale, scriem

Din definitiile precedente rezulta relatiile:

Acest sistem se foloseste in aplicatiile practice ale trigonometriei, in astronomie

Marele astronom danez Tycho Brahe (1546-1601) a ramas faimos pentru acuratetea obsevatiilor sale facute cu ochiul liber (nu se inventase telescopul). Fixand pozitia a peste 777 stele a deschis drumul viitoarelor descoperiri.In lumea astonomilor se stie ca Brahe nu a gresit niciodata cu mai mult de

Exercitiul    1:Gasiti valoarea raportului

Atentie! Raspunsul tentant nu este correct

Exercitiul 2:Valoarea raportului este:a) b) c)

b. Masura in grade centesimale.

Unitatea de unghi in acest sistem este gradul centesimal (1^g) definit ca a 100-parte din unghiul drept.

Subunitatile sale sunt minutul centesimal (1^c) egal cu a 100-parte din gradul centesimal si secunda centesimala (1^cc), egala cu a 100-parte din minutul centesimal.

Pentru a nota, de exemplu, unghiul de 25 grade centesimale 76 minute centesimale 60 secunde centesimale, scriem:

25^g 76^c 60^cc

Relatiile:

1^g =100^c si 1° = 100^cc

sunt consecinte imediate ale definitiilor precedente. Sistemul centesimal este folosit in topografie si in cadrul armatei. In sistemul centesimal se simplifica atat notatia unghiurilor cat

mai ales transformarile.

De pilda, 82^g 4^c 18^cc = 82,0418^g = 8204,18^c = 820418^cc

Exemplu: Unghiul la centru corespunzator unui semicerc este egal cu

Exercitiu: Stabiliti unghiul de tragere pentru tancul in care va aflati punctul T, pentru a lovi tinta A.

Indicatie: masurati unghiul cu raportorul fata de orizontala TO si apoi transformati in grade centesimale

c. Masura in radiani .

Masura in radiani a unghiurilor, folosita in mecanica, in analiza matematica,in trigonometrie , se defineste pe baza urmatoarei

Teorema: raportul dintre lungimea arcului de cerc, corespunzator unui unghi la centru, si lungimea razei cercului; nu depinde de raza, ci depinde numai de acest unghi.

Prin urmare daca intr-un cerc lungimea arcului este l si lungimea razei r, pentru fiecare unghi raportul l/r este un numar real unic determinat. Notand acest raport cu a, obtinem:

` (1)

Definitie. Numarul a, egal cu raportul dintre lungimea arcului de cerc corespunzator unui unghi la centru si lungimea razei cercului se numeste masura in radiani a unghiului respective

Daca in relatia (1) facem a=1, obtinem l=r.

Prin urmare: unitatea de unghi in acest sistem, numita radian, este unghiul la centru corespunzator arcului de cerc de lungime egala cu lungimea razei cercului (fig. 1)

Exemple

1) Daca lungimea arcului l este egala cu doua raze, unghiul la centru este egal cu 2 radiani; daca , unghiul la centru este egal curadiani.

2) Masura in radiani a unghiului la centru, corespunzator unui semicerc, este . Intr-adevar lungimea semicercului este:

, de unde obtinem:

In concluzie pentru masurarea unghiurilor se folosesc trei sisteme de unitati de masura in diferite domenii stiintifice si aceasta necesita transformarea dintr-un sistem intr-altul

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

1. 2. Trecerea de la o masura la alta.

In mod natural, masurile unghiurilor in cele trei sisteme trebuie sa fie direct proportionale. Inchipuitiva ce harababura ar fi daca masura unghiului ar creste in grade si ar scadea in radiani. Ar fi la fel de palpitant ca la bursa,dar cam incomod.

Aceasta vom demonstra in continuare.

Sa consideram un unghi a carui masura este in grade sexagesimale, in grade centesimale si a in radiani. Unghiul la centru, corespunzator unui semicerc, are masurile 180s, 200g , p radiani.

Rapoartele corespunzatoare ale masurilor acestor unghiuri sunt :

, ; (1)

Fiindca raportul a doua marimi, masurate cu aceeasi unitate, nu depinde de unitatea aleasa, rezulta ca aceste rapoarte sunt egale :

(2)

Cu ajutorul acestor formule se trece de la o masura la alta.

Sper ca recunoasteti in sirul de rapoarte egale(2) cunoscuta       « Regula de trei simpla »

Observatie. In relatiile de transformare (2) intervin numerele irationale p , . Pentru o mai buna aproximatie este necesara cunasterea valorilor aproximative p3,1416 , 0,3183.

Voi prezenta in continuare cateva exemple de transformari .

Exemplul 1 : Sa se exprime in grade centesimale unghiul egal cu 18° 20´ 7˝.

Solutie 1 : Din proportia facuta cu primele doua rapoarte ale relatiilor (2) obtinem :

Inlocuind in aceasta relatie pe cu , gasim : 20,3725. Prin urmare : 18° 20´ 7˝≈ 20^g 37^c 25^cc , adica

Sa ne gandim acum ce alta metoda am putea folosi pentru rezolvare. « Regula de trei simpla » ar putea fi salvarea.

Solutie 2 : 18° 20´ 7˝ == 

Daca la corespund

adica la 648000" corespund

atunci la  corespund

deci 203725cc = 20g 37c 25cc

Cele doua metode sunt echivalente, a doua este insa mai naturala si va sfatuiesc sa o folositi pentru a evita calculul cu fractii

Exemplul2 : Sa se exprime in grade sexagesimale unghiul de 1 radian.

Solutie : Din relatia (2), tinand seama ca a = 1, obtinem:

sau

Deci:

1 radian

Masurile unor unghiuri sunt frecvent intalnite in aplicatii. De aceea este necesara memorarea tabelului de mai jos, intocmit cu ajutorul relatiei :

Din relatia (1) obtinem:

l = ar.

Prin urmare, lungimea arcului de cerc este egala cu produsul dintre masura in radiani a unghiului la centru corespunzator si lungimea razei cercului

O b s e r v a t i e. Pentru r=1, relatia precedenta devine l=a . Deci,lungimea arcului de cerc de raza 1 este egala cu masura in radiani a unghiului la centru corespunzator.

Simplitatea acestei relatii face ca masura in radiani a unghiurilor sa fie preferata celorlalte, in special in cercetarile cu caracter teoretic.

Pe aceasta observatie ne vom baza pentru a defini functiile trigonometrice cu ajutorul cercului trigonometric

APLICATII-TEST DE AUTOEVALUARE

Exercitii

1. Sa se exprime in grade centesimale si in radiani unghiurile urmatoare:

a) b) c)

Indicatie: punctual c) se rezolva la fel ca ex.1din paragraful anterior

2. Completati tabelul urmator :

3. Sa se masoare in radiani arcul de cerc egal cu:

a) 4 cm; b) 1,2 cm; c) 0,6 cm; d) 2,4 cm; e) 0,66 m daca raza cercului este egala cu 12 cm

Indicatie: recititi definitia radianului

4. Un arc de cerc corespunzand unui unghi la centru de masura are lungimea .Ce lungime are raza cercului?

5. Sa se calculeze in radiani unghiul decagonului regulat convex.

Indicatie: Decagonul regulat convex are10 laturi egale si fiind regulat se poate inscrie intr-un cerc. Unind fiecare varf cu centrul cercului obtineti triunghiuri isoscele congruente.

Va rog calculati masurile unghiurilor acestor triunghiuri.

Desenul corect este de mare ajutor.

6. Masurile unghiurilor unui triunghi sunt proportionale cu numerele 3, 4, 5.

Sa se exprime in radiani masurile acestor unghiuri

Indicatie: suma unghiurilor unui triunghi este

7. Completati tabelul urmator :