Extremele functiilor reale de mai multe variabile reale

Extremele functiilor reale de mai multe variabile reale

Multe dintre problemele care apar in practica sunt legate de determinarea valorilor extreme ale unei functii reala ce depinde de mai multe variabile. De exemplu, o functie poate reprezenta volumul productiei, care depinde de mai multe variabile reale este bine sa cunoastem pentru ce valori ale variabilelor volumul productiei este maxim.Valorile maxime sau minime ale unei functii se numesc extremele functiei.        Am definit mai sus, notiunea de punct de minim si respectiv maxim local.

Fie f:D R² R si x⁰=(a,b)ID.

Punctele determinate de solutiile reale ale sistemului de ecuatii , se numesc puncte critice sau stationare.

Notam cu a₁₁=, a₁₂= si a₂₂ si putem scrie Hessiana lui f in acest punct H_f(x⁰).

Rezulta ca punctul stationar (a,b) este punct de minim local pentru f daca determinantii D₁ a₁₁ > 0 si D₂>0  si

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

este punct de maxim local daca D₁< 0 si D₂>0.

Exemplu. Sa se determine punctele de extrem local ale functiei

f(x,y)=3x³+y²-9x²-27x+2.

Vom determina mai intai punctele stationare ale lui f, rezolvand sistemul de ecuatii

   .

Exista doua puncte stationare M₁(-1,0) si M₂(3,0). Pentru a vedea care dintre ele este punct de extrem local pentru f, va trebui sa calculam derivatele de ordinul al doilea ale lui f.

; ; care sunt functii continue pe R².

In punctul M₁(-1,0) : >0, deci nu este extrem.

In punctul M₂(3,0): -72<0 si =36>0, deci M₂ este punct de minim local al functiei f. Valoarea minima a functiei f este f(3,0)= -79.

Fie functia f:D Rⁿ R de n variabile reale, n>2.

Vom considera a=(a₁,a₂,.,a_n)IA un punct stationar al lui f.          Presupunem ca f admite derivate partiale de ordinul doi continue intr-o vecinatate a acestui punct si le vom nota cu a_ij, i,j.

Hessiana lui f in punctul a este matricea H=(a_ij), ale carei elemente sunt definite mai sus. Notam determinantii principali ai matricei H cu ;

D₁ a₁₁ si D₂ D_n=det H.

Metoda aceasta de studiu a punctelor de extrem local ale unei functii reale de mai multe variabile reale consta in calculul diferentialei de ordinul al doilea a functiei in fiecare punct critic si daca este o forma patratica pozitiv definita atunci punctul critic studiat este minim local ; iar daca este negativ definita atunci este maxim local al functiei respective.

Probleme propuse

1.Fie functia f:D R² R, f(x,y)=arctg.Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul intai si doi si df(-1,2), df(-1,2)(3,-2); d²f(-1,2);d²f(-1,2)(3,-2).

2.Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul intai si doi ale functiilor:

a)     f(x,y)=xy+, definita pe multimea A=;

b)     f(x,y)=, definita pe multimea A=R²;

c)      f(x,y,z)=, definita pe multimea A=R³;

d)     f(x,y)=arctg, definita pe multimea A=;

e)     f(x,y)=ln (x+y²),  definita pe multimea A=;

f)      f(x,y,z)=+zln(x+y), definita pe multimea A=.

3. Sa se afle extremele functiilor: f:D R

a)     f(x,y)=xy²e^x-y ;

b)     f(x,y)=xy(x+y-3) ;

c)      f(x,y)=xy+;

d)     f(x,y)=xy ln(x²+y²) ;

e)     f(x,y,z)=x³+y²+z²+12xy+2z ;

f)      f(x,y,z)=x+.

4. Folosind formula lui Taylor pentru functia f:D R² R   f(x,y)=x^y

in jurul punctului  (1,1) sa se aproximeze printr-un numar cu 3 zecimale.