Biologie	Botanica	Chimie	Didactica	Fizica	Geografie
Gradinita	Literatura	Matematica

Matematica

Qdidactic » didactica & scoala » matematica
Matematici aplicate in economie - algebra liniara

Matematici aplicate in economie - algebra liniara

Matematici aplicate in economie 1
Algebra liniara

MULTIPLE CHOICE

Fie urmatoarea forma patratica:

Aflati matricea asociata acestei forme patratice.

a. c.

b. d.

2. Fie urmatoarea forma patratica:

Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice

a. c.

3. Fie urmatoarea forma patratica:

Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi

a. c.

Fie un operator liniar ca re in baza canonica este dat de matricea :

.Precizati polinomul caracteristic asociat acestui operator.

a. c.

b. d.

Fie un operator liniar care in baza canonica este dat de matricea :

.Aflati valorile proprii asociate acestui operator.

a. c.

b. d.

Fie operatorul liniar , unde

a. c.

Fie operatorul liniar , unde

liniar.

a. c.

b. d.

Fie operatorul liniar , unde

acestui operator

a. c.

b. d.

Fie operatorul liniar , unde

operator liniar.

a. c.

b. d.

Fie operatorul liniar , unde

liniar.

.Determinati spatiul vectorial X

.Precizati matricea asociata acestui operator

.Determinati polinomul caracteristic asociat

. Aflati valorile proprii asociate pentru acest

.Aflati vectorii proprii asociati acestui operator

a. c.

b. d.

Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1), in baza canonica din spatiul

a. c.

b. 1,2,2 d. 1,0,1

12. Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1), in baza

din spatiul

a. c. 2/3,1/3,2/3

b. d.

Aplicand metoda Gauss Jordan la un moment dat s,a obtinut :

A I

Detrminati pornind calculele de la schema data

a. c.

b. d.

14. Se da forma biliniara urmatoare:

Scrieti matricea asociata

a. c.

15. Se da matricea: atasata unei forme biliniare. Scrieti forma biliniara corespunzatoare.

a. c.

b. d.

16. Se da forma patratica

Se se reduca la forma canonica utilizand metoda lui Jacobi

a. c.

b. d.

17. Se da forma patratica

Sa se calculeze minorii matricei asociate acestei forme patratice.

a. c.

b. d.

Sa se reduca la forma canonica forma patratica

Scrieti minorii asociati acestei forme patratice

a. c.

b. d.

Sa se reduca la forma canonica urmatoarea forma patratica

(Utilizand metoda lui Jacobi)

a. c.

b. d.

20. Fie urmatorul operator :

Precizati pe ce spatiu X se lucreaza

a. c.

b. d.

21. Sa se scrie matricea operatorului :

a. c.

22. Sa se determine suma valorilor proprii pentru urmatorul operator
T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica

a. c.

b. d.

23. Pentru urmatorul operator

T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica

stabiliti care este ecuatia caracteristica

a. c.

b. d.

24. Pentru urmatorul operator

T:X X determinat prin matricea sa in baza canonica aflati vectorii proprii asociati.

a. a(1,1,,1),b(,1,,1,,1),c(1,1,1), c. a(1,0,,1),b(,1,1,,1),c(1,2,1), a,b,c

a,b,c

b. a(1,0,,1),b(1,1,1),c(2,2,1), a,b,c d. a(2,0,,1),b(,1,1,,1),c(2,2,1), a,b,c

25. Scrieti ecuatia caracteristica pentru operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:

a. c.

26. Fie operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:

Aflati produsul valorilor proprii asociate acestui operator

a. c.

b. d. ,4

27. Fie operatorul T:X X dat prin matricea sa in baza canonica:

Stabiliti care sunt vectorii proprii asociati acestui operator:

a. _(a,a),(b,b),c. _(a,a),(b,b),

b. (a,,a),(b,b), d. (a,,a),(b,2b),

28. Fie matricea . Scrieti forma biliniara corespunzatoare:

a. c.

b. d.

_{Fie vectorii v1, v2 ∈
R2}v _ _7iv _ _{Sa se
scrie vectorul}v 4, _{ca o}

combinaŃie liniara a valorilor v₁, v₂.

^a._v_v₃_v^c.₃₁₅_v

^b.₅₁₃_v^d._v_v_v

Fie A = unde a _1, 4, a _,1, 0,a₃ _3, 1, 5_

Sa se scrie vectorul v 2,

a. a a 2 a

v 

4 2

b. a a 2 a

v

4 2

Fie vectorii v₁, v₂∈ R²v

ca o combinatie liniara in baza A =

c. a a 1 2 a

v

4 2

d. a a 2 a

v−

4 2

7i v Sa se scrie vectorul ca o

combinaŃie liniara a valorilor v₁, v₂.

a. c.

b. d.

Fie vectorii b  _2, 4, b  _,1, 0,  b 3 _,2, 0, 2_7i B = baza in R³ . Sa

se exprime vectorul v 2, 1, 3  ca o combinatie liniara in baza B =

− b − b b

13 3

v 

b b  b

2 3

13 3

v  b − b b v  b − b b

11 11 22 11 11 22

Fie V spaŃiu vectorial n - dimensional peste corpul de scalari K 7i T : V → V o aplicaŃie
liniara. Un scalar  ∈ K se nume7te pentru aplicaŃie liniara T daca exista cel puŃin un vector
nenul v ∈ V astfel incat:

T(v) = v.

a. valoare proprie c. valoare caracteristica

b. vector propriu d. alt raspuns.

Vectorul nenul v ∈ V care verifica relaŃia T(v) = v se nume7te pentru aplicaŃia T asociata

valorii proprii .

a. valoare proprie c. valoare caracteristica

b. vector propriu d. alt raspuns

Polinomul P() = det (A_T - E_n) se nume7te asociat aplicaŃiei liniare T ecuaŃia P() = 0 se

nume7te ecuaŃia caracteristica a aplicaŃiei T.

a. valoare proprie c. valoare caracteristica;

_b._{polinom caracteristic}d. alt raspuns

EcuaŃia det (A_T - E_n)=0 se nume7te a aplicaŃiei T.

a. ecuaŃie caracteristica

b. polinom caracteristic

ScrieŃi matricea asociata

T x x  , x x

a. 1 5



A 0

4 1



b. 1 5



A 1



4 1



ScrieŃi matricea asociata

T x x  x 4 , x ,

c. valoare caracteristica

d. alt raspuns

operatorului liniar

2 3

→R

c. 1 5



A 0

4 1



d. 1 5



A 0





operatorului liniar

3 3

→R

dat de

1 c. 3 4 1

 

2 2 A 1 2 2

1 1 0

 

1 d. 3 4

2 2 A

1 0



1 0 1



2 2

AduceŃi la forma canonica forma patratica

utilizaŃi metoda lui Jacobi.

a. 1 2 6 c.

V x  y  y  y

2 6 3

b. 1 2 5 d.

V x  y  y  y

2 5 3

DeterminaŃi a, a R∈ astfel incat forma

2 2

V x  x x x x x

a. c.

a ∞

b. 2 d.

a ∞

urmatoare V x  2 x x x x x x x

1 2 5

V x  y  y  y

2 5 7

alt raspuns

patratica urmatoare sa fie pozitiv definita



a ∈−∞



alt raspuns

DeterminaŃi valorile proprii ale operatorului liniar

4 0

T R →R avand matricea ata7ata

A _

_1 4 _

a. c. ₁ 4,

b. _4,_{ 4}d. __4,_{ 0}

2 2

42. DeterminaŃi vectorii proprii corespunzatori operatorului liniar

ata7ata A

4 0



T R

v 0,

→R avand matricea

b. _v₁_{ }_0,_,_{∈ ;}_{ }_{,8 , ∈}_d._alt
raspuns.

Fie vectorii din spatiul R : v = ( 1, 4, 2 ); v = ( ,1, 2, 0 ); = ( 3, 2, 5 ). Stabiliti daca

_a._{vectorii sunt liniari dependenti}c. _{vectorii sunt liniari independenti}

multimea B = formeaza

o baza a spatiului R

d. alt raspuns

_{Sa se
exprime vectorul v = ( 2, 1, 3 ) ca o
combinatie liniara in baza B =}v v v₃

v = ( 1, 4, 2 ) ; v = (,1, 2, 0 ); v

^a._{1 1}^c._{1 1}

v =

v v 3 v = v v + v

4 2 2 2 2

1 1 d. alt raspuns

, v v

4 2

Stabiliti natura formei patratice urmatoare

g(x)= 8x, 6x x + 2x _x_{+ 4x}₊

a. pozitiv definita c. semipozitiv definita

b. negativ definita d. nedefinita

Valorile proprii ale operatorului liniar T: Rł Rł,

T(v) = ( 4v , v + v , v + 3v

= 2 ; 

, v , v + v ) sunt:

= ,3 ; 

= 3 ;  = 2 d.

= 3; 

Radacinile ecuatiei caracteristice asociate unei aplicatii liniare se numesc :

a. valori proprii

b. puncte de extrem local

Matricea asociata unei forme patratice:
a. are determinantul zero

b. este simetrica

c. vectori proprii

d. vectori liniar independenti

c. are rangul 3

d. are determinantul diferit de zero

Daca intr,o forma patratica > 0 pentru i par, si i < 0 pentru i impar, atunci forma patratica_i

este:

a. nedefinita c. seminegativ definita

b. negativ definita d. pozitiv definita

Sa se rezolve cu metoda eliminarii (pivotului) sistemul:

_x₁ 2x 3x₃ x 6

x₁ x− x₃ x 8

x₁ 2x x₃ 2x  4

x₁− x₂ 2x 3 x

a. sistemul este incompatibil c.

x = -1; x = 2; x = -1; x

x = 1; x = 2; x = -1; x

d. sistemul este compatibil simplu
nedeterminat

51. (1,2) este combinatie liniara de (1,1) si (1,0) pentru ca

^a._{pentru orice numere reale a,b avem ca
(1,2)=a(1,1)+b(1,0)}

exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)

daca (1,2)=a(1,1)+b(1,0) atunci a=b =0
nu exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)

52. (1,1) si (1,0) formeaza un sistem liniar independent pentru ca

^a._{pentru orice numere reale a,b avem ca
(0,0)=a(1,1)+b(1,0)}

exista numere reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)

daca (0,0)=a(1,1)+b(1,0) pentru doua numere reale a,b atunci a=b=0 nu exista numere reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)

Cat este 2(1,1)+3(0,1)?

Se considera transformarea liniara

Care din urmatoarele matrici este matricea lui in baza canonica a lui

a. c.

b. d.

Se considera transformarea liniara

Valorile proprii ale transformarii sunt

a. c.

b. d.

Se considera transformarea liniara

T(x,y,z)=(3x,3y+z,y+3z)

Valorile proprii ale transformarii sunt

a. c.

b. d.

Se considera transformarea liniara a carei matrice asociata in baza canonica este

Atunci

Se considera forma patratica

Forma canonica a acestei forme patratice este

a. c.

b. d.

Se considera forma patratica

Forma canonica a acestei forme patratice obtinuta cu metoda lui Jacobi este

a. c.

b. d.

60. Se da urmatoarea forma patratica . Matricea ei in baza

canonica a lui este

a. c.

b. d.

61. Se considera functia

Aceasta functie nu este o transformare liniara pentru ca exista termenul

_a._xc. _2y

b. _d._z

62. Se considera functia

Aceasta functie nu este o transformare liniara pentru ca exista termenul

_a._xc. _2y

b. _d._z

63. Valorile proprii ale matricii sunt

a. c.

b. d.

64. Se da urmatoarea forma patratica . Matricea ei in baza

canonica a lui este

a. c.

b. d.

65. Se da urmatoarea forma patratica . Matricea ei in baza

canonica a lui este

a. c.

b. d.

66. Valorile proprii ale matricii sunt

a. c.

b. d.

67. Se da transformarea liniara T(x,y)=(2x+y,x,5y). Matricea asociata acestei transformari liniare in baza

canonica a lui este

a. c.

b. d.

2 1

68. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este

. Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt

a. c.

b. d.

69. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este

. Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt

a. c.

_b.d.

70. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este

. Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt

a. c.

b. d.

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic

Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

71. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

acestei transformari este

a. c.

b. d.

72. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

acestei transformari este

a. c.

b. d.

73. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

acestei transformari este

a. c.

b. d.

74. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

acestei transformari este

. Atunci polinomul caracteristic al

a. c. _{P()}

b. d.

75. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este . Atunci polinomul caracteristic al

acestei transformari este

a. c. _{P()}

b. d.

76. Fie urmatoarea forma patratica:

Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice(metoda lui Jacobi)

a. c.

77. Fie urmatoarea forma patratica:

Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi

a. c.

Matematici aplicate in economie 1
Analiza matematica

MULTIPLE CHOICE

Sa se calculeze derivatele parŃiale de ordinul intai pentru urmatoarea funcŃie:

f x y , = x 2

a. f x , x y

f x , x y 2 ;

y ( , ) 2   c. f x , x y

d. alt raspuns.

y ( , ) 2 

y ( , ) 

Sa se calculeze derivatele parŃiale de ordinul intai pentru urmatoarea funcŃie:

f x y , = ( x y

a. f x ( , ) ( y f y ( , ) 

b. 2 2

f x x y , ) 4 ( x x y ); f y , x y

( y c. f x , x y ( x x

2 d. alt raspuns.

y x ( y

y f y , ) ( y

Sa se calculeze derivatele parŃiale de ordinul al doilea pentru urmatoarea funcŃie:

f ( x , y ln

x y

ln x −ln( x y

f , x y

)  

f x y , ) 

f y x y , ) 

f x y , ) 

f yx , x y

f yx x y , )

f x y , ) 

d. alt raspuns.

)

f y , x y

Sa se gaseasca punctele staŃionare ale funcŃiei urmatoare:

f(x, y) = x² + y² - 4x - 2y + 5 (x, y) ∈ R²

a. M(2,1) c. M(&2,1)

b. M(2,&1) d. M(&1,2)

Sa se gaseasca punctele de extrem ale funcŃiei urmatoare:

f(x, y) = x² + y² - 4x - 2y + 5 (x, y) ∈ R²

a. M(2,1) punct de maxim c. M(&2,1) punct de maxim

b. M(2,1) punct de minim d. M(&1,2) punct de maxim

Sa se gaseasca punctele de extrem ale funcŃiei urmatoare

f ( x , y ) 

 cu condiŃia x+y=1 definit pe R²

c. 1 1

b. 1 1

P  pentru

2 2

maxim

punct de minim

− punct de

P − pentru  punct de

2 2

minim

d) P  pentru  punct de

maxim

ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei

f(x,y) = x+3y+2(x²+y²-5)

a. c.

b. d.

ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei

f x y ( , ) 

1 1

 2 ( 

x y

Se da funcŃia de doua variabile f (x , y)  x − xy y − x 3y

Derivata parŃiala a lui f in raport cu x este:

a. c.

b. d.

Se da funcŃia de doua variabile f ( x y x −

Derivata parŃiala a lui f in raport cu y este:

a. c.

b. d.

Se da funcŃia de doua variabile f ( x y x −

a. M(1,&1) c.

b. M(&1,1) d.

Se da funcŃia de doua variabile f ( x y x −

al doilea a lui f in raport cu x este:

xy y − x y

xy y − x y . f are punct stationar pe:

M(0,0)

M(3,0)

xy y − x y .Derivata parŃiala de ordinul

a. f

b. f

x //

x y , 2 c. f , x y

x //

x y ,  1 d. f , x y x

Se da funcŃia de doua variabile f ( x y

ordinul al doilea a lui f in raport cu y este:

a. f x y , 

x −xy

c. f

y − x y . Derivata parŃiala de

x y ,  y

b. f

x y , d. f x y x

Se da funcŃia de doua variabile

pentru f xy , x y

a. f xy x y , 0

b. f xy x y , nu exista

f ( x , y x −xy y − x

c. f xy x y xy

d. f xy x y , 

y .Alege valoarea corecta

Se da funcŃia de doua variabile

f ( x y x −xy y

// 2

x y . Estimand valoarea

expresiei f

f xy 7i Ńinand cont de valoarea

f , stabile7te natura

punctului critic M(1,&1):

a. punct de minim local

b. punct de maxim local

Se da funcŃia de doua variabile f ( x y

c. nu se poate spune nimic despre natura

punctului M(1,&1)

d. nu este punct de extrem local

x − y

Derivata parŃiala a lui f in raport cu x este:

^a._f_x__{, x y}_{  2x}^c._f_x_{, x y}_{  2x}

^b._f_x__{, x y}_{  y  6}^d._f_x__{, x y}_{  2 x}

17. Se da funcŃia de doua variabile f (x y)  (x − 1)  ( y  6)

Derivata parŃiala a lui f in raport cu y este:

^a._f_y__{, x y}_{  y  6}^c._f_y__{, x y}_{  2 y}

^b._f_y__{, x y}_{ }_{y  6}^d._f_y__{x y
x−}_{,  1}

18. Se da funcŃia de doua variabile f (x y)  (x − 1)  ( y  6)

FuncŃia are punct stationar pe:

a. M(1,&6) c. M(0,0)

b. M(&1,6) d. M(1,0)

_{Se
da funcŃia de doua variabile}f (x y)  (x − 1)  ( y  6) _{. Derivata parŃiala de ordinul al}

doilea a lui f in raport cu x este:

a. f

x //

, x y c. f

x //

x y , 0

b. f

, x y d. f x y , 2 x

2 2

_{Se
da funcŃia de doua variabile}f (x y)  (x − 1)  ( y  6) _{. Derivata parŃiala de ordinul al}

doilea a lui f in raport cu y este:

a. f

x y ,  1 c.

f , x y y

b. f

x y , 2 d. f x y x

Se da funcŃia de doua variabile f ( x , y

f xy , x y

a. f xy x y , 0

b. f xy x y , nu exista

Se da funcŃia de doua variabile f ( x , y

// // // 2

x −1 ) y . Alege valoarea corecta pentru

c. f xy x y , 2

d. f xy x y , 1

x − y . Estimand valoarea expresiei

6) f

f xy 7i Ńinand cont de valoarea

, stabile7te natura

punctului critic M(1,&6):

a. punct de maxim local c. punct de minim local

_b._{nu este punct de extrem local}d. _{nu se poate spune nimic despre
natura}

punctului (1,&6)

23. Se da funcŃia de doua variabile f (x , y)  xy

Derivata parŃiala a lui f in raport cu x este:

^a._f_x__{, x y}_{ 1}^c._f_x_{, x y}_{  y}

^b._f_x_{x y
x}_{, }^d._f_x__{, x y}_{  0}

Sa se integreze ecuatia diferentiala : x

x = & y + c

y dx + y

dy = 0 x

x = &3 y + c

ln ( 1 +x ) = & y + c

Fie f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +

d. alt raspuns

, x >0, y >0 . Derivatele partiale de ordin I sunt:

x y y −

x 2

x y

f ( x y y

x 2 2

 x y

x y x −

f ( x y x

y 2 2

x y

 f ( x y ) x y

f y x y x y

2

f ( x y y

x 2

2 2

x y

f y x y x 

Punctul stationar pentru functia:

f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +

a. M(2, 5)

b. M(2, 3)

cu x >0, y >0 este

c. M(&2, &5)

d. nu exista

Functia f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +

a. punct de maxim local M(2, 5)
b. punct de minim local M(2, 5)

cu x >0, y >0 admite

c. nu admite puncte de extreme local d. punct de minim local M(2, 3)

Sa se integreze ecuatia diferentiala:

(1 + y ) + xyy^' = 0

x y = c

x + y = c

c. x(1 + y ) = c

-x y = c

Sa se integreze ecuatia diferentiala omogena: y^' =

a. c.

2 x

y x

= ln x + c 2 = 2ln x +c

2 x

d. alt raspuns

2 x

= ln x + c

Fie , rezolvand sistemul obtinut prin anularea derivatelor de ordin I se determina:

a. punctele de maxim local c. punctele stationare

b. punctele de minim local d. matricea hessiana

Diferentiala de ordin I pentru functia f(x, y, z) = x + y + z - xy + x & 2z,

(x, y, z)∈R este

a. d f(x, y, z) = (2x& y +1)dx + (2y - x)dy

+ (2z - 2)dz

b. d f(x, y, z) = (2x & xy + x)dx + y

dy + (z &2z)dz

Functia f (x,y) = x + - 3xy definita pe

a. admite punct de minim local M(1, 1)
b. admite punct de maxim local M(&1, 1)

c. d f(x, y, z) = (x + y+ z )dx + (1&

xy)dy + (x&2z)dz

d. d f(x, y, z) = (2x& y +1)dx + (2y &
xy)dy+(2z & 2)dz

c. nu admite puncte de extrem

d. admite puncte de minim local pe
M(3, 2) si N(&1, 1)

Functia f(x, y, z) = - 2x - 4y - 6z definita pe R are:

a. toate derivatele de ordin 2 nule c. toate derivatele de ordin 2 egale cu 2

b. toate derivatele mixte de ordin 2 nule d. toate derivatele de ordin 2 strict

pozitive

Se da funcŃia de doua variabile f (x , y)  xy

Derivata parŃiala a lui f in raport cu y este:

^a._f_y__{, x y}_{ 1}^c._f_y__{x y
y}

^b._f_y_{x y
x}_{, }^d._f_y__{x y,   0}

Se da funcŃia de doua variabile f (x , y  xy

DiferenŃiala de ordinul I a lui f este

a. df dx dy

b. df dx xdy

Se da funcŃia de doua variabile f ( x y x

Derivata parŃiala a lui f in raport cu x este:

a. f x x y , y

f x x y , 2 x

c. df ydx dy

d. df ydx xdy

c. f x x y y

f x x y x

Se da funcŃia de doua variabile f ( x y

Derivata parŃiala a lui f in raport cu y este:

f y x y x

f y x y , 2 x

x y

f y x y y

Se da funcŃia de doua variabile f ( x y x

DiferenŃiala de ordinul I a lui f este

a. df x dx y dy

b. df dx dy

Fie ecuaŃia diferenŃiala y' xy

EcuaŃia este

a. cu variabile separabile

b. liniara de ordinul intai

O forma echivalenta a ecuaŃiei y' xy este

a. ydyxdx

b. dy

xdx

c. df

d. df xdx ydy

c. o ecuaŃie cu derivate parŃiale de
ordinul intai

d. liniara de ordinul al doilea

c. dyxy

d. dxxy

SoluŃia ecuaŃiei y' xy este data de

c. y

d. yx

C

Fie ecuaŃia diferenŃiala y  x 

EcuaŃia este

a. liniara de ordinul intai

b. cu variabile separabile

O forma echivalenta a ecuaŃiei y  x

a. dy  x 1

b. dy

 x

c. ecuatie omogena

d. ecuatie diferentiala de ordinul doi

este

c. dy x dx

d. dx  x 1

SoluŃia ecuaŃiei y

a. x

y

 x  este data de

y x

d. yx

ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei

a. c.

b. d.

Consideram functia . Atunci derivata partiala de ordin intai in raport cu x este

Consideram functia

Se da functia de doua variabile

d. alt raspuns

Se da functia de doua variabile

d. alt raspuns

Se da functia de doua variabile

d. alt raspuns

Derivata partiala a lui

Derivata partiala la lui

. Atunci derivata partiala de ordin intai in raport cu y este

. Atunci diferentiala de ordinul al doilea a lui f este

. Derivata partiala a lui f in raport cu x este

. Derivata partiala a lui f in raport cu y este

. Diferentiala de ordinul al doilea al lui f este

in raport cu variabila x este egala cu

a. c.

b. d.

Derivata partiala la lui in raport cu variabila y este egala cu

a. c.

b. d.

Derivata partiala a lui in raport cu variabila y este egala cu

a. c.

b. d.

Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de

este egala cu

a. c.

b. d. 6y

Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de

este egala cu

a. c.

b. d. 2y

Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de

este egala cu

a. c.

b. d. 2y

Se considera functia . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de

este egala cu

a. c.

b. d. 2y

Se considera functia Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte

critice) ale lui f(x,y)

sunt

a. (0,0) c. (1,1,),(0,0)

b. d. nu exista puncte stationare

Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite

deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y)

sunt

a. (0,0) c. (1,2)

b. d. nu exista puncte stationare

Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite

deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y)

sunt

a. (0,0) c. (2,3)

b. d. nu exista puncte stationare

Se considera functia . Atunci punctele stationare(numite

deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y)

sunt

a. (0,0) c. (5,2)

b. d. nu exista puncte stationare

Se considera functia Atunci

punctul (0,0) este un punct

a. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem local

b. de maxim local pentru f(x,y)

65. Care din urmatoarele functii are exact 2 doua puncte stationare

a. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y

b. d.

Care din urmatoarele ecuatii nu reprezinta o ecuatie diferentiala?

a. c.

b. d.

Care din urmatoarele ecuatii diferentiale este o ecuatie diferentiala cu variabile separabile?

a. c.

b. d.

Care este solutia generala a ecuatiei diferentiale

, A este o constanta

A este o constanta

Fie . Sa se calculeze

a. c.

b. d.

Fie . Sa se calculeze

a. c.

b. d.

Fie . Atunci

a. c.

b. d.

Fie . Atunci

a. c.

b. d.

Fie . Atunci

a. c.

b. d.

Fie . Atunci

a. c.

b. d.

Fie . Atunci

a. c.

b. d.

Matematici aplicate in economie 1
Probleme cu DA si NU

TRUE/FALSE

Fie vectorii b 2, 4, b 1,

B = formeaza o baza in R³?

FuncŃionala f R →R f x ;  5 x

FuncŃionala f R →R f x  5 x

b 2 

este o funcŃionala liniara ?

Vectorii proprii corespunzatori operatorului liniar

T R →R avand matricea ata*ata

A _sunt liniar independenŃi ?

4 _

Daca funcŃia f e diferenŃiabila in (x₀, y₀) atunci ea este continua in acest punct.

Daca funcŃia f are derivate parŃiale f'_x, f'_y intr_o vecinatate Va lui (x₀,y₀) *i daca aceste
derivate parŃiale sunt continue in (x₀, y₀) atunci funcŃia f este diferenŃiabila in (x₀, y₀).

7. Aplicand metoda Gauss Jordan la un moment dat s_a obtinut schema:

Linia pivotului in iteratia urmatoare este 0,0,

8. Fie problema de programare liniara:
max f =

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

16 0 0 0

1200 2 5 1 0 0

300 1 3/2 0 1 0

600 4 1 0 0 1

0 0 0 0 0

16 0 0 0

Solutia gasita este cea optima.

9. Trei depozite aprovizioneaza cu produse de larg consum 4 magazine astfel:

Disponibil

2 1 2 30

3 3 2 20

1 4 5 40

Necesar 10 15 15 40

Problema este echilibrata.

10. Vectorii (1,5) si (2, _9) sunt liniar independenti.

11. Vectorii (2, _1) si (3, 4) formeaza o baza a spatiului vectorial

12. Vectorii (_2, 3) si (1, _1) formeaza o baza a spatiului vectorial

13. Vectorul (1, 10) este o combinatie liniara a vectorilor (1, 3) si (2, _1) deoarece

14. Vectorii (1, 2, _1), (3, 2, 5) si (4, 4, 4) sunt liniar independenti in

15. Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 0 si 1.

16. Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 3 si 5.

17. 1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(2x, x+3y, 3x+y+z).

18. 1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(3x, 2x_y, x_y+z).

este una din valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y)=(3x+y, x+3y).

20. Se considera functia . Atunci

21. Se considera functia . Atunci

22. Se considera functia . Atunci derivatele mixte si sunt egale.

23. Se considera functia . Atunci derivatele mixte si sunt egale.

24. Se considera functia . Atunci derivatele mixte si sunt egale.

25. Orice functie are puncte stationare.

26. Orice functie are cel mult 1 punct de extrem.

27. Orice functie are cel mult 2 puncte stationare.

28. Daca functia f are derivate partiale mixte de ordinul doi si intr_o vecinatate V a unui punct

si daca si sunt continue in (a, b), atunci

29. Se considera . T este o transformare liniara.

30. Se considera . T este o transformare liniara

31. Se considera . T este o transformare liniara

32. Ecuatia diferentiala este o ecuatie cu variabile separabile.

33. Ecuatia diferentiala este o ecuatie cu variabile separabile.

34. Ecuatia diferentiala este o ecuatie liniara de ordinul intai..

35. Forma standard a problemei de programare liniara

este

36. Forma standard a problemei de programare liniara

este

37. Forma standard a problemei de programare liniara

este

38. Forma standard a problemei de programare liniara

este

39. Sistemul de ecuatii

este incompatibil.

40. Se considera urmatoarea problema de transport:

Disponibil

6 5 2 35

2 7 8 30

2 10 5 6 50

Necesar 20 25 45 25

Problema de transport este echilibrata.

41. Se considera urmatoarea problema de transport:

Disponibil

6 5 2 35

2 7 8 30

2 10 5 6 50

Necesar 20 25 45 25

O solutie initiala de baza determinata folosind metoda coltului de N_V este , ,

, , , ,

42. Se considera urmatoarea problema de transport:

Disponibil

6 5 2 35

2 7 8 30

2 10 5 6 50

Necesar 20 25 45 25

O solutie initiala de baza determinata folosind metoda costului minim pe linie este ,

, , , ,

43. Se considera functia . Atunci f nu are puncte stationare.

44. Radacinile polinomului caracteristic al unei aplicatii liniare se numesc puncte critice.

45. Vectorii proprii corespunzatori unor valori proprii distincte ale unei aplicatii liniare sunt liniar

dependenti.

O forma patratica este negativ definita daca minorii impari sunt strict pozitivi si

cei pari sunt strict negativi.

47. O forma patratica este pozitiv definita daca toti minorii sai sunt strict pozitivi..

48. Daca functia are derivate partiale intr_un punct de extrem , atunci derivatele partiale de

anuleaza in acest punct f_x a b f a b , y ) 0

49. Daca este un punct de extrem local al functiei si daca , atunci este

punct de minim.

50. Daca este un punct de extrem local al functiei si daca , atunci este

punct de maxim.

51. Trei vectori liniar dependenti formeaza o baza a spatiului vectorial

52. Trei vectori liniar independenti formeaza o baza a spatiului vectorial

53. Patru vectori din formeaza o baza a spatiului vectorial

54. Polinomul caracteristic al unei aplicatii liniare este

55. Polinomul caracteristic al unei aplicatii liniare este

In spatiul vectorial , vectorul este vector propriu?

57. Matricea asociata unei forme patratice este simetrica?

Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile.

Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai.

Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena?

Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile.

Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena.

Ecuatia diferentiala este ecuatie liniara de ordinul intai.

Ecuatia diferentiala este ecuatie diferentiala de ordinul intai.

65. Ecuatia diferentiala este ecuatie cu variabile separabile?

66. Ecuatia diferentiala este ecuatie omogena?

67. Ecuatia diferentiala

68. Ecuatia diferentiala

69. Ecuatia diferentiala

70. Ecuatia diferentiala

71. Ecuatia diferentiala

72. Ecuatia diferentiala

este ecuatie liniara de ordinul intai?

este ecuatie cu variabile separabile?

este ecuatie omogena?

este ecuatie liniara de ordinul intai?

este ecuatie cu variabile separabile?

Matematici aplicate in economie 1
Programare liniara

MULTIPLE CHOICE

Fie problema de programare liniara:

[max] f  5x₁ x 20x

x 2x 3x≤

_  ₂ ≤

 2x 2x

x_i≥ i 

Sa se aduca la forma standard pentru simplex.

a. _[max]_{f  5}_x₁_x₂₀_x

 x  2x 3 ₃ ₄

_  ₂  ₅

_x₂_x_{2 }

1 2 3 6

x_i≥ i  1,6

^c._[max]_{f  5}_x₁_x₂₂₀_x

x 2x 3 ₃− ₄ 5

_  ₂ − ₅ 4

 2x 2 ₃− ₆ 6

x_i≥ i  1,6

^d.[max] f  5x₁ x 20 ₄ ₅

 x₁ 2x 3 ₃ ₄ 5

_  ₂  ₅ 4

_x₂_x_{2   6}

1 2 3 6

x_i≥ 0, i 

2. Fie problema de programare liniara

[max] f  5x x 20x

x 2x 3x

_  ₂ ≤

_x₂_x₂_{x ≤}

1 2 3

x_i≥ i 

Prima iteratie a algoritmului simplex este

5 1

4 2

6 1

Pivotul se afla pe linia corespunzatoare lui

Fie problema de programare liniara

[max] f 5 x x x

x x x

x x x ≤

10 20 0 0 0

2 3 1 0 0

1 1 0 1 0

2 2 0 0 1

0 0 0 0 0

10 20 0 0 0

 1 2 3

x_i≥ i 

Prima iteratie a algoritmului simplex este

5 10 20 0 0 0

5 1 2 3 1 0 0

4 2 1 1 0 1 0

6 1 2 2 0 0 1

0 0 0 0 0 0

5 10 20 0 0 0

Stabiliti care este vectorul care iese, respectiv vectorul care intra in baza

a. intra , iese

b. intra , iese

c. intra , iese

d. intra , iese

e. intra , iese

4. Fie problema de programare liniara

[max] f  5x x 20x

x 2x 3x

_  ₂ ≤

_x₂_x₂_{x ≤}

1 2 3

x_i≥ i 

Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?

, ,

d. alt raspuns

5. Fie problema de programare liniara

Forma standard pentru simplex a problemei de programare liniara este

a. c.

b. d.

6. Fie problema de programare liniara

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

8 0 0

5 2 1 1 0

4 1 2 0 1

0 0 0 0 0

8 0 0

Pivotul se afla pe coloana corespunzatoare lui

7. Fie problema de programare liniara

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

7 8 0 0

5 2 1 1 0

4 1 2 0 1

0 0 0 0 0

8 0 0

Stabiliti care este vectorul care intra, respectiv vectorul care iese din baza

a. intra , iese

b. intra , iese

c. intra , iese

d. intra , iese

8. Fie problema de programare liniara

Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:

8 0 0

3 0 1

2 1 0

16 4 8 0 4

Linia lui este

b. -3, 0, 0, 4

d. -7, -8, 0, 0

9. Fie problema de programare liniara

Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:

8 0 0

3 0 1

2 1 0

16 4 8 0 4

3 0 0

Pivotul se afla pe coloana lui

10. Fie problema de programare liniara

a. problema are optim infinit;

^b._{solutia optima este}_,

^c._{solutia optima este}_,

^d._{solutia optima este}_,

11. Fie problema de programare liniara

Matricea asociata formei standard este

a. c.

b. d.

12. Fie problema de programare liniara

Duala acestei probleme de programare liniara este

a. c.

b. d.

13. Fie problema de programare liniara

Duala acestei probleme de programare liniara este:

a. c.

b. d.

14. Fie problema de programare liniara

Matricea asociata formei standard are prima linie:

b. 3 2 5 4

d. alt raspuns

15. Fie problema de programare liniara

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:

7 -8 3 2 2 0

4 3 0 1 1 0 1

1 2 0 -1 1 1 0

2 1 1 2 2 0 0

Baza initiala pentru algoritmul simplex este

16. Fie problema de programare liniara

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:

2 2 3 2 5 0

4 3 0 1 1 0 1

1 2 1 -1 1 0 0

2 1 0 2 2 1 0

Linia lui este

b. 0, 2, 2, 3, 2, 5, 0

d. alt raspuns

17. Fie problema de programare liniara

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex:

2 -1 3 2 3 0

4 3 0 1 1 0 1

1 2 1 -1 1 0 0

2 1 0 2 2 1 0

5 1 -1 7 5 3 0

1 0 -4 -3 0 0

Pivotul se afla pe coloana lui

18. Fie problema de programare liniara

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex:

2 -1 3 2 3 0

4 3 0 1 1 0 1

1 2 1 -1 1 0 0

2 1 0 2 2 1 0

5 1 -1 7 5 3 0

1 0 -4 -3 0 0

Ce decizie se ia?

a. _{s-a obtinut solutia optima}

b. problema are optim infinit

c. solutia obtinuta nu este optima, intra in baza, iese din baza

d. solutia obtinuta nu este optima, intra in baza, iese din baza

19. Fie problema de programare liniara

Atunci

a. problema are optim infinit

20. Se considera problema de transport:

Disponibil

2 1 3 20

1 4 2 45

3 5 4 65

Necesar 40 60

O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda coltului N-V este

a. _{, , ,}_{, in rest}

b. , , , , , in rest

c. , , , , , in rest

d. , , , , , in rest

21. Se considera problema de transport:

Disponibil

2 1 3 20

1 4 2 45

3 5 4 65

Necesar 40 60

O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda costului minim pe linie este

a. , , , , , in rest

b. , , , , , in rest

c. _{, , ,}_{, in rest}

d. , , , , , in rest

22. Fie problema de programare liniara

Duala acesti probleme de programare liniara este

a. c.

b. d.

23. Fie problema de programare liniara

Matricea sistemului restictiilor este

24. Fie problema de programare liniara

Forma standard a problemei de programare liniara este

25. Fie problema de programare liniara

Prima iteratie a algoritmului simplex este
B

40 1 0 1 2 1 0 0

16 2 1 3 0 0 1 0

48 1 1 2 0 0 0 1

Linia lui este

b. -3, -5, -1, -6, 0, 0, 0

c. 3, 5, 1, 6, M, M, M

d. 3, 5, 1, 6, -M, -M, -M

26. Fie problema de programare liniara

Prima iteratie a algoritmului simplex este

3 5 1 6 0 0 0

40 1 0 1 2 1 0 0

16 2 1 3 0 0 1 0

48 1 1 2 0 0 0 1

f 0 0 0 0 0 0 0 0

3 5 1 6 0 0 0

Pivotul se afla pe

a. coloana lui , linia lui

b. coloana lui , linia lui

c. coloana lui , linia lui

d. coloana lui , linia lui

27. Fie problema de programare liniara

Prima iteratie a algoritmului simplex este

3 5 1 6 0 0 0

40 1 0 1 2 1 0 0

16 2 1 3 0 0 1 0

48 1 1 2 0 0 0 1

f 0 0 0 0 0 0 0 0

3 5 1 6 0 0 0

Coloana lui din urmatorul tabel simplex este

a. b. c.

28. Fie problema de programare liniara

A doua iteratie a algoritmului simplex este

3 5 1 6 0 0 0

20 0 1 0 0

16 2 1 3 0 0 1 0

48 1 1 2 0 0 0 1

f 120 3 0 3 6 3 0 0

0 5 -2 0 -3 0 0

Stabiliti care este vectorul care intra si respectiv care iese din baza

a. intra , iese

b. intra , iese

c. intra , iese

d. intra , iese

29. Fie problema de programare liniara

Prin aplicarea algoritmului simplex se ajunge la urmatorul tabel simplex

3 5 1 6 0 0 0

20 0 1 0 0

16 2 1 3 0 0 1 0

32 -1 0 -1 0 0 -1

f 200 13 5 18 6 3 5 0

-10 0 -17 0 -3 -5

Ce decizie se ia?

a. problema are optim infinit;

b. solutia obtinuta nu este ce optima: intra in baza si iese

^c._{solutia obtinuta este cea optima si}_,

^d._{solutia obtinuta este cea optima si}_{, ,}

30. Fie problema de programare liniara:

max f =

Forma standard a problemei de programare liniara va fi

a. max f = c. max f =

b. max f = d. max f =

31. Fie problema de programare liniara:
max f =

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

16 0 0 0

1200 2 5 1 0 0

300 1 3/2 0 1 0

600 4 1 0 0 1

0 0 0 0 0

16 0 0 0

Pivotul se va afla pe coloana corespunzatoare lui:

a. d.

b. e.

32. Fie problema de programare liniara:
max f =

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

16 0 0 0

1200 2 5 1 0 0

300 1 3/2 0 1 0

600 4 1 0 0 1

0 0 0 0 0

16 0 0 0

Stabiliti care este vectorul care intra in baza, respectiv care iese din baza

a. intra , iese d. intra , iese

b. intra , iese e. intra , iese

c. intra , iese

33. Fie problema de programare liniara:
max f =

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

16 0 0 0

1200 2 5 1 0 0

300 1 3/2 0 1 0

600 4 1 0 0 1

0 0 0 0 0

16 0 0 0

Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?

a. _{max f = 3200 ,}c. nu are solutie

y=(200,0,400)

^b._{max f = 3400 ,}

y=(200,0,400)

34. Fie problema de programare liniara:

, i=1,2,3

Baza initiala pentru algoritmul simplex este

a. d.

b. e. nu are baza initiala

35. Fie problema de programare liniara:

, i=

2 1 1 3 2

8 1 0 0 1 2

12 0 1 0 2 1

16 0 0 1 1 3

Linia corespunzatoare lui este

a. c.

b. d.

36. Fie problema de programare liniara:

, i=1,2,3

Precizati care este solutia optima

a. _sic. _si

^b._si^d._si

37. Fie problema de programare liniara:
min f =

Forma standard a problemei este :

a. c.

38. Fie problema de programare liniara:
min f =

Matricea asociata problemei scrisa in forma standard este:

a. c.

b. d.

39. Fie urmatoarea problema de programare liniara:

Matricea asociata formei standard este

a. c.

b. d.

40. Fie urmatoarea problema de programare liniara:

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

Prima iteratie pentru aceasta problema este:

3 4 1 0 0 -M -M

7 5 -1 2 1 0 0 0

-M 4 1 2 -1 0 -1 1 0

-M 2 3 2 4 0 0 0 1

Linia corespunzatoare lui este:

a. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;-M-1 c. -3+4M;-4+4M;-1+3M;0;M;M-1

b. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;0,0 d. -3-4M;-4-4M;1-3M;0;-M;-M+1

41. Fie urmatoarea problema de programare liniara:

Prima iteratie pentru aceasta problema este:

3 4 1 0 0 -M -M

-M 7 5 -1 2 1 0 0 0

-M 4 1 2 -1 0 -1 1 0

2 3 2 4 0 0 0 1

Pentru prima iteratie a algoritmului simplex stabiliti ce vector intra in baza respectiv care iese din baza

a. intra iese c. intra iese

b. intra iese d. intra , iese

42. Fie problema de programare liniara:

min f =

Solutia problemei este

a. min f =-1/2 c. min f =0

b. min f =0 d. min f =1/2

43. Fie urmatoarea problema de transport

Disponibil

Necesar 50 25 15 10

Folosind metoda coltului de NV stabiliti valoarea lui si a lui

a. _=50,c. _=50,

b. =20, d. =50,

44. Fie urmatoarea problema de transport

Disponibil

6 2 3 70

2 1 4 10

8 3 4 20

Necesar 50 25 15 10

Folosind metoda costurilor minime(din tablou) stabiliti valoarea lui si a lui

a. =10, c. =10,

b. =5, d. =15,

Sa se scrie forma standard pentru problema de programare liniara:

max f = 4x + 10x +9x

x + x + 2x

2 x + x + 4x

x + x + x

x i ≥ 0 ; i =

max f = 4x + 10x +9x +0y +0y +0y

x + x + 2x + y

2x + + 4x + y

x + x + x + y

x i ≥ 0 ; i =

y , y , y

max f = 4x + 10x +9x

x + x + 2x + y

2x + x + 4x - y

x + x + x - y

x i ≥ 0 ; i =

y <0; y , y >0

c. min f = 0

x + x + 2x + y = 18
2x + x + 4x + y = 20
x + x + x + y

_x_i_{≥ 0 ; i =}

y , y , y

d. alt raspuns

46. Fie urmatoarea problema de transport

Disponibil

6 2 3 70

2 1 4 10

8 3 4 20

Necesar 50 25 15 10

Folosind metoda costurilor minime pe linie stabiliti valoarea lui si a lui

a. =10, c. =10,

b. =5, d. =15,

47. Fie urmatoarea problema de transport

Disponibil

6 2 3 70

2 1 4 70

8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati

a. c.

b. 50 d. 60

48. Fie urmatoarea problema de transport

Disponibil

6 2 3 70

2 1 4 70

8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati

a. c.

b. 50 d. 60

49. Fie urmatoarea problema de transport

Disponibil

6 2 3 70

2 1 4 70

8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati

a. c.

b. 50 d. 60

50. Fie urmatoarea problema de transport

Disponibil

6 2 3 70

2 1 4 70

8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati

a. c.

b. 50 d. 60

51. Fie urmatoarea problema de transport

Disponibil

6 2 3 70

2 1 4 70

8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati

a. c.

b. 50 d. 60

52. Fie urmatoarea problema de transport

Disponibil

6 2 3 70

2 1 4 70

8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati costul de transport

a. c.

b. 765 d. 400

53. Fie problema de programare liniara

Duala sa este

a. c.

b. d.

54. Fie problema de programare liniara

Forma standard este

a. c.

b. d.

55. Fie problema de programare liniara

Matricea problemei in forma standard este

a. c.

b. d.

56. Fie problema de programare liniara

Matricea problemei in forma standard pentru simplex, cu baza artificiala este

a. c.

b. d.

Contact \|- ia legatura cu noi -\|
Adauga document \|- pune-ti documente online -\|
Termeni & conditii de utilizare \|- politica de cookies si de confidentialitate -\|
Copyright © \|- 2024 - Toate drepturile rezervate -\|