Tipuri de modele matematice utilizate in fundamentarea deciziilor

Tipuri de modele matematice utilizate in fundamentarea deciziilor

Programarea matematica se ocupa cu studiul problemelor de optimizare in care se urmareste determinarea maximului sau minimului unei functii, in prezenta (sau nu) a unor restrictii. Astfel de probleme apar mai ales in analiza actiunilor militare, cand, de obicei, exista resurse limitate (oameni, masini, armament) care trebuie utilizate cu o eficienta cat mai mare, aducandu-se la valoarea optima unul sau mai multe scopuri (cheltuieli, pierderi ale inamicului, pierderi proprii, probabilitatea de descoperire, probabilitatea de distrugere).

Enuntul modelului general al unei astfel de probleme are forma:

"Sa se determine x=(x₁, . , x_n) care satisface conditiile , i=1, . ,m si maximizeaza (minimizeaza) functia-scop Z=f(x)".

Exista o foarte mare varietate de probleme pentru care functia-scop se exprima liniar in raport cu parametrii stabiliti. Calculul extremelor functiei liniare, in conditia ca variabilele supuse determinarii satisfac restrictiile liniare, formeaza obiectul programarii liniare.

Structura modelului unei astfel de probleme presupune optimizarea functiei:

in conditiile:

Astfel de probleme, care se exprima matematic prin modele liniare, pot fi, de exemplu: repartitia loviturilor pe mijloace de foc, transporturile militare, repartizarea unor forte sau mijloace pe obiective sau raioane etc. Pentru ele coeficientii pot avea urmatoarele interpretari:

c_j - probabilitatea distrugerii mijlocului al j-lea de catre inamic; probabilitatea de nimicire a tintei de tip j de catre tancul de tip i;

x_j - probleme de transport (costuri, distante etc.);

a_ij - numarul de lovituri de tip i aflate pe purtatorul de tip tip j;

b_i - cantitatea totala de lovituri de tip i aflata la dispozitie la un moment dat.

Functia-scop poate fi: probabilitatea de indeplinire a misiunii, numarul mediu de tinte nimicite cu rachete, numarul mediu de lovituri trimise asupra inamicului etc.

Metoda principala de rezolvare a acestei categorii de probleme este algoritmul simplex, cu toate variantele lui, care este strans legat de structura multimii solutiilor admisibile. Aceasta legatura il face sa fie deosebit de eficient. In plus, el este simplu si usor de programat pe calculator.

Marea majoritate a situatiilor militare se rezolva prin modele neliniare a caror structura este determinata de extremul functiei f(x) cu urmatoarele conditii:

g_i(x) b_i,   i=1, . ,m

unde:  x=(x₁, . .,x_n);

f - o functie neliniara (de mult ori cu structura complexa);

g_i - functii neliniare;

b_i - constante date.

Primul rezultat fundamental al programarii neliniare a fost obtinut de Lagrange prin introducerea multiplicatorilor care-i poarta numele. Desigur ca activitatea militara a beneficiat din plin de aceste rezultate. Astfel, utilizandu-se o metoda a lui Diner, se poate rezolva, prin metoda multiplicatorilor Lagrange, problema repartitiei loviturilor asupra navelor unui convoi inamic:

in conditiile:

unde:

f(x) - pierderile gruparii inamice;

m - numarul de tipuri de nave ale gruparii inamice;

c_k - coeficientul de importanta acord tipului k de nava inamica;

n_k - numarul de nave inamice de tip k;

- numarul mediu de rachete necesare pentru distrugerea unei nave de tip k;

p^* -  probabilitatea de contraactiune;

x_k - numarul de lovituri repartizate pe nava inamica de tip k;

L - numarul total de rachete ale gruparii de nave.

Programarea stochastica este utilizata atunci cand datele avute la dispozitie nu sunt bine determinate, ci sunt valori stochastice, sperante matematice etc. Academicianul Gh. Mihoc a scos pentru prima data in evidenta faptul ca datele fundamentale folosite in enuntul majoritatii problemelor de programare liniara au caracter de medie si se determina statistic. In acest caz, programarea liniara trebuie sa aplice din plin notiunile si metodele statisticii matematice si poarta numele de programare stochastica.

Modelul matematic al unei probleme de programare liniara stochastica se prezinta astfel:

Sa presupunem ca coeficientii a_ij, b_i si c_j sunt limitati superior si inferior astfel:

unde valorile a_ij, b_i, c_j insemnate cu + sau - sunt cunoscute.

Se pune intrebarea ce se poate spune despre limitele posibile ale minimului functiei:

cand , i=1, . ,m.

Cu alte cuvinte trebuie sa se gaseasca valorile f^- si f⁺ astfel incat:

f^- min f f⁺

Proiect: Infiintarea filialelor si sediilor secundare ale societatii comerciale pe actiuni Lucrare: Analiza rentabilitatii

cu restrictiile specificate pentru coeficienti.

Rezolvarea in acest caz a problemei de programare stochastica duce la rezolvarea a doua probleme de programare liniara nestochastica: determinarea minimului functiei: cu restrictiile , i=1, . ,m si a minimului functiei cu restrictiile , i=1, . ,m.

Programarea dinamica se aplica fenomenelor care au o anumita evolutie in timp, desfasurandu-se in etape. Pentru programarea dinamica nu exista un algoritm general, ceea ce face ca aceasta sa fie flexibila si sa ofere raspunsuri la situatii dificile, greu de rezolvat prin alte metode.

Esenta programarii dinamice consta in analiza secventionala a procesului de luare a deciziilor de trecere dintr-o etapa in alta. In acest scop se folosesc relatiile de recurenta care caracterizeaza acest proces, ca si ecuatiile functionale corespunzatoare acestor relatii de recurenta.

Ecuatia functionala fundamentala a programarii dinamice are forma:

O alta forma a ecuatiei functionale anterioare, des folosita in problemele practice este urmatoarea:

cu , semnificatia termenilor care intervin in ecuatie putand fi gasita dupa ce enuntam principiul care sta la baza programarii dinamice. Acesta a fost formulat de R. Bellman: O strategie optima are proprietatea ca, oricare ar fi starea initiala si decizia initiala, deciziile ramase trebuie sa constituie o strategie optima in raport cu starea care rezulta din prima decizie.

Daca vom nota cu:

x - resursele proprii;

f_N(x) - pierderile maxime ale inamicului;

g_N(x_N) - pierderile inamicului datorate alocarii resurselor x_N;

atunci ecuatia anterioara se poate citi astfel: "Pierderile maxime ale inamicului produse cu resursele x se constituie (reprezinta suma . .) din pierderile maxime produse cu resursele x-x_N si din maximul pierderilor produse inamicului cu resursele x_N".

Teoria grafurilor, desi veche ca problematica, a fost relansata o data cu aparitia teoriei retelelor. Din punct de vedere militar, aplicatiile mai interesante se intalnesc la optimizarea transporturilor pe reteaua rutiera (feroviara, navala, aeriana), alegerea celor mai scurte itinerare pentru deplasarea unor forte dintr-un raion in altul, planificarea optima a realizarii unor lucrari (tehnice, genistice, de mascare etc.).

In afara de PERT (cu variantele ei), metodele mai des folosite sunt: algoritmii lui Ford, Ford - Fulkerson, Dantzig, Roy, Farley, Land-Murchland, Tomescu.

Teoria jocurilor rezolva o mare parte a situatiilor conflictuale specifice domeniului militar. In principal, teoria jocurilor cuprinde: elaborarea definitiei solutiei jocului, demonstrarea existentei solutiei, elaborarea metodelor de gasire a solutiilor, aspecte practice ale folosirii teoriei jocurilor.

Un joc este caracterizat prin numarul de participanti, actiunile lor posibile si repartitia castigurilor in functie de comportarea lor. Determinarea strategiilor optime ale jucatorilor se face cu metode generale (liniare, neliniare, dinamice etc.) sau cu metode specifice, ce utilizeaza particularitatile structurii jocului. Marea majoritate a acestor metode are ca baza teoretica principiul minimax, cu diferitele lui variante.

In armata, comandantul poate elabora decizia pe baza unuia din urmatoarele principii: poate alege linia de conduita in baza estimarii facute de el, si anume ca adversarul este in stare sa i se opuna, sau poate face alegerea in baza estimarii celor ce crede ca are de gand sa faca adversarul. Primul principiu reprezinta o doctrina bazata pe capacitatea adversarului, al doilea se bazeaza pe intentiile adversarului. Pentru a elimina subiectivitatea comandantului, teoria jocurilor recomanda comportari dupa capacitatea adversarului, lucru ce corespunde principiului de garantie fata de riscuri. Comportarea unui jucator porneste de la premisa ca adversarul sau este cel putin tot atat de priceput ca si el si ca va face totul pentru a-l impiedica sa-si atinga scopul. In teoria jocurilor, nu se mizeaza pe incapacitatea adversarului, ci din contra, pe calitatile intelectuale ale jucatorilor, care trebuie sa dovedeasca ingeniozitate.

Principiul jucatorilor este principiul lipsei de risc, un jucator comportandu-se tinand cont de actiunea cea mai nefavorabila pe care i-o rezerva adversarul:

jucatorul A doreste sa actioneze in asa fel incat cel mai mic castig asigurat pe care il poate obtine de la jucatorul B sa fie cat mai mare posibil, fara ca jucatorul B sa-l poata impiedica sa-l obtina;

Jucatorul B urmareste sa micsoreze cat mai mult cea mai mare valoare ce o va da lui A, fara ca acest jucator sa poata obtine mai mult, orice ar face.

Acest principiu, nascut din prudenta, poarta numele minimax.

Metoda simularii isi gaseste largi posibilitati de utilizare in solutionarea problemelor tactic-operative caracterizate prin existenta factorilor aleatori. Esenta fiecarui model de simulare consta in faptul ca fenomenul se formalizeaza ca un proces matematic, care, sub raportul comportarii, este aleator, iar prin experimentari statistice repetate se observa si se analizeaza influenta factorilor aleatori ce se supun unor legi de probabilitate. Prin prelucrarea ulterioara a rezultatelor, se obtin indicatori sub forma unor caracteristici statice care pot descrie fenomenul studiat.

Simularea are la baza teorema lui Bernoulli, conform careia pentru un numar mare de experiente (simulari), diferenta dintre frecventa producerii fenomenului studiat si probabilitatea teoretica este foarte apropiata de zero, cu o probabilitate aproape egala cu unu.

Avantajele oferite de simulare sunt asemanatoare cu cele ale modelarii actiunilor militare. Cu ajutorul simularii se pot testa ipotezele asupra diferitelor variante de decizie, se evalueaza eficienta unor hotarari sau se identifica efectele probabile ale acestora, permitand totodata utilizatorilor sa identifice actiunile care sunt mai putin importante si sa gaseasca solutia optima din interactiunea a doua situatii conflictuale.

Dintre limitele simularii trebuie precizata in primul rand timpul mare necesar elaborarii unor simulari complexe si volumul mare de munca. In al doilea rand, este nevoie de calculatoare cu configuratii de calcul puternice. Uneori, incercarea de cuantificare a unor factori cum sunt conditiile de vizibilitate in fiecare sector al terenului sau mascarea actiunilor intreprinse reclama un numar mare de detalii care trebuie luate in considerare, depasind capacitatea calculatorului. In al treilea rand, nu toti factorii care concura la o situatie data pot fi cuantificati (efectul psihologic al luptei asupra comandantului, moralul trupelor etc.). In sfarsit, una din cele mai mari deficiente ale simularii o reprezinta faptul ca rolul adversarului este jucat de persoane care fac parte din aceeasi tabara cu cei care ataca (se apara) si, din aceasta cauza, este foarte dificil sa se creeze un inamic "sintetic" cat mai real.

1 Teoria multimilor vagi (fuzzy)

In general, majoritatea actiunilor militare se desfasoara in conditii de imprecizie sau de informatie incompleta. Experienta comandantilor permite insa ca, pe baza unor metode euristice, sa adopte decizii care se dovedesc corecte, chiar daca au fost elaborate pe baza unor informatii insuficient de exacte. In conditiile unor situatii conflictuale, rapiditatea cu care se desfasoara evenimentele nu permite efectuarea unor masuratori exacte asupra parametrilor care caracterizeaza starea trupelor noastre sau ale inamicului. De exemplu, intr-o actiune de bombardament, comunicatele fac aprecieri de genul "pagube importante", "avarii grave", "numeroase pierderi umane si materiale" etc. Necesitatea recurgerii la astfel de aprecieri este impusa de nevoia informarii in cel mai scurt timp asupra evenimentelor care au avut loc pe campul de lupta. Daca de exemplu, in cazul bombardamentului amintit mai sus, s-ar astepta rezultatele unei noi cercetari prin care sa se precizeze numarul mortilor si ranitilor, cantitatea armamentului distrus, cladirile avariate etc., ar trece un timp prea indelungat pana cand s-ar putea elabora decizia si deci nu s-ar actiona la timp in conformitate cu noua situatie creata. De aceea se prefera a se transmite informatii vagi in prima urgenta, care, apoi, se completeaza pe baza unor noi observatii, devenind tot mai exacte.

Din cele expuse, rezulta ca informatiile vagi se prezinta fie prin intermediul cuvintelor, fie al cifrelor. Desi informatia transmisa prin intermediul unor termeni vagi sau al unor cifre aproximative nu exprima perfect realitatea, totusi ea ofera suficiente posibilitati comandantilor pentru elaborarea deciziilor. De cele mai multe ori, se pot adopta hotarari mai bune pe baza unor informatii recunoscute ca vagi, decat pe baza unor informatii care se pretind exacte, dar care, in realitate, sunt numai partial corecte. De exemplu, armamentul din dotarea unei unitati se poate caracteriza prin doua stari si anume: armament vechi si armament modern. Daca se considera numai una din aceste doua stari, precizia de exprimare pare mai mare. Daca insa se considera si unele stari intermediare, atunci aparent precizia se reduce. Pentru cazul in care exista doar doua stari, se poate defini o variabila X, caracterizata prin gradele de apartenenta la starea "modern" sau "vechi". Gradul de apartenenta poate fi definit in acest caz ca o variabila booleana si anume: variabila ia valoarea 1 daca proprietatea respectiva este indeplinita si ia valoarea 0 daca proprietatea nu este indeplinita.

Rezulta ca, in cazul afirmatiei "armament modern", variabila este de forma:

,

iar in cazul afirmatiei "armament vechi", variabila este de forma:

In cazul considerarii unor stari intermediare, se obtine o variabila Y, in care fiecarei astfel de stari ii vom atasa un grad de apartenenta m_i. Gradul de apartenenta caracterizeaza masura in care armamentul are proprietatea de a se gasi in starea S_i. Pentru a fixa ideile, sa admitem ca pe langa starile amintite mai sus (vechi si modern), exista starea "aproape modern". In acest caz, variabila Y ce caracterizeaza starile armamentului este:

In mod asemanator, afirmatia "armament aproape modern" este caracterizata de variabila:

,

iar daca armamentul este vechi variabila este:

Din cele expuse, rezulta ca multimile vagi sunt introduse din necesitatea de a caracteriza starile intermediare ale sistemelor fizice analizate. In domeniul militar aceste stari intermediare intervin in mod frecvent, ceea ce impune utilizarea multimilor vagi pentru elaborarea unor hotarari corecte, chiar in conditiile unor informatii incorecte.

2 Modele nonrationale

Comparativ cu viziunea rationala, cateva modele nonrationale de elaborare a deciziilor sugereaza ca adunarea informatiei si limitele procesarii fac dificila elaborarea acestora. Intr-un cadru nonrational, cercetatorii au identificat principalele modele: al satisfactiei, incrementat si al "cutiei de gunoi".

Modelul satisfactiei a fost elaborat de economistul Herbert Simon in anii 1950. Pe baza studiilor sale asupra comportamentelor reale ale decidentilor, Simon a oferit conceptul de rationalitate marginita, ca un cadru prin care elaborarea deciziilor poate fi inteleasa mai bine. Rationalitatea marginita se traduce prin faptul ca abilitatea comandantilor de a fi perfect rationali in elaborarea deciziilor este limitata de factori precum capacitatea cognitiva si restrictiile de timp. Conceptul sugereaza ca o serie de factori comuni limiteaza gradul in care comandantii sunt perfect rationali in elaborarea deciziilor. Printre acestia amintim:

decidentii pot avea informatii inadecvate, nu numai despre natura problemei decizionale, ci si despre posibilele alternative si posibilele lor puncte tari/slabe;

timpul si factorii de cost deseori restrang cantitatea de informatie care poate fi culeasa cu privire la o decizie anume;

perceptiile decidentilor privind importanta relativa a diferitelor parti de informatii sau date pot determina pe decidenti sa ignore informatia critica;

partea din memoria umana care este folosita in elaborarea deciziilor poate retine numai o cantitate relativ mica de informatii la un moment dat;

capacitatile de calcul, asociate cu inteligenta, limiteaza gradul in care decidentii pot determina deciziile optime, chiar presupunand ca informatia adunata este exacta.

Mai mult decat optimizarea deciziilor lor, comandantii tind sa urmeze modelul satisfactiei, care sustine ca acestia cauta alternative numai pana cand intalnesc una care arata sau se prezinta satisfacator. Satisfactia poate fi o abordare potrivita in elaborarea deciziilor cand costul amanarii unei decizii compenseaza costul probabil al unui curs de actiune optim.

Modelul incremental sustine ca decidentii elaboreaza sau intreprind cea mai mica reactie posibila pentru a reduce problema de rezolvat cel putin la un nivel tolerabil. Aceasta abordare este pusa in miscare mai mult pentru atingerea unui obiectiv de alinare pe termen scurt a unei probleme decat o abordare reala care sa faciliteze atingerea obiectivelor pe termen lung.

Modelul "lazii de gunoi" sustine ca decidentii au un model de comportament dezordonat in elaborarea deciziilor neprogramate. Cu alte cuvinte, rezultatele sau consecintele deciziilor apar in mod intamplator in functie de factori precum:

participanti, care in mod intamplator sunt antrenati la momentul respectiv;

oportunitati peste care se intampla sa se dea si solutii favorabile pe care tot intamplator le gasesc.

Strategia aceasta, a lazii de gunoi, cel mai probabil va fi folosita atunci cand comandantul nu are un obiectiv preferat. Acest model poate conduce uneori la "smantanirea" avantajelor oportunitatilor dar, totodata, cu aceeasi probabilitate, poate conduce la aparitia unor probleme din care se revine foarte greu sau deloc.

Din prezentarea acestor modele reiese faptul ca este inacceptabil sa se adopte o strategie nonrationala, situatie care poate aparea in lipsa unui management strategic solid si a unei pregatiri de specialitate care lasa de dorit.