Modele autoregresive

MODELE AUTOREGRESIVE

Introducere

Uneori in studiul unui fenomen economic, alaturi de valorile luate de o variabila endogena la momentul t intervin si valorile luate de aceasta variabila la momente anterioare t-1, t-2, , t-h. In acest caz este vorba despre un proces autoregres

Modelul de scrie:

sau, daca in model exista si variabile exogene:

Aplicarea metodelor de estimare obisnuite (MCMMP) acestor modele conduce la estimatori care nu mai au aceleasi proprietati ca in cazul modelului liniar general.

2. Procesul autoregresiv de ordinul intai

Consideram modelul:

(1) , t=1,2,,T

si modelul regresiei simple:

(2) , t=1,2,,T

Presupunem ca erorile e_t verifica conditiile clasice:

, t , , daca .

MCMMP aplicata modelului (1) in care y_t-1 este considerata ca o variabila exogena, conduce la estimatorul:

iar prin aceeasi metoda, aplicata modelului (2) se obtine estimatorul:

Chiar daca cele doua expresii par similare, estimatorii nu poseda aceleasi proprietati (mai ales pe esantioane mici). In timp ce este o expresie liniara in y_t, deci si in e_t, se exprima ca un raport de forme patratice in y_t. Folosind modelul (1) si exprimand y_t in functie de e_t, se ajunge la relatia:

(3)

Expresia ne arata ca distributia variabilei endogene y_t depinde de distributia erorilor e_t, dar si de distributia lui y₀. Printre cazurile frecvent studiate sunt cele pentru care y₀=constant, coeficientul a putand lua astfel orice valoare reala pozitiva sau negativa.

daca |a|<1 se spune ca procesul autoregresiv este stabil;

daca |a|=1 (caz putin utilizat) procesul nu a primit un nume;

daca |a|>1, procesul se numeste exploz

Cel mai adesea se studiaza cazul stabil, dar nici cazul exploziv nu trebuie neglijat, atunci cand se studiaza in economie fenomene in expansiune.

Referat: Managementul proiectelor in administratia publica Document online: Planificarea - functie a managementului - obiectivele organizatiei

Stabilitate si stationaritate

Se spune ca un proces este stationar atunci cand momentele sale sunt independente de timp. Daca sunt independente de timp doar momentele de ordinul doi, se spune ca procesul este stationar de ordinul doi. Stationaritatea de ordinul doi este suficienta pentru a demonstra proprietatile importante ale estimatorilor.

Propozitia 1: orice proces autoregresiv de ordinul intai, stationar este un proces stabil (adica |a|<1).

Demonstratie

Fie modelul   ,

Procesul este stationar daca

Aplicand operatorul de medie rezulta:

Dar , asa ca relatia devine:

si cum , rezulta

Calculam acum :

Deorece e_t nu este corelat cu y_t-1(vezi ipotezele fundamentale) inseamna ca si tinand cont si de faptul ca , rezulta:

adica sau

Din conditia evidenta  >0, rezulta 1-a²>0, adica |a|<1. Am demonstrat astfel ca stationarea implica stabilitatea.

In acelasi mod se evalueaza si autocovarianta:

Stiind ca rezulta:

,pentru ca y_t si sunt necorelate. Asemanator, vom avea:

, adica s.a.m.d.

In final:

Deoarece este independenta de timp, la fel este si autocovarianta .

Propozitia 2 : Orice proces autoregresiv de ordinul intai, stabil (<1) tinde catre un proces stationar cand

Demonstratie

Am vazut anterior ca procesul autoregresiv de ordinul intai se poate dezvolta in forma (3). Aplicand operatorul de medie expresiei (3), rezulta:

Cum |a|<1, rezulta ca cand , adica

Un calcul simplu arata ca:

, rezultand ca

Dar y₀ = constant, |a|<1 si atunci , adica exact varianta procesului stationar. In mod asemanator se arata ca:

cand .

Prin urmare, daca studiem un proces stabil, momentele procesului tind catre momentele procesului stationar, daca .

4. Proprietatile estimatorilor

Estimatorii obtinuti cu MCMMP pe un process autoregresiv de ordinal intai au urmatoarele proprietati:

a) Estimatorul converge in probabilitate catre a ( si in cazul stabil si in cazul exploziv);

b) Expresia are o distributie normala in cazul stabil;

c) Expresia are o distributie limita normala ( in ambele tipuri de procese).

Aceste proprietati sunt demonstrabile in cazul y₀= constant.

Interesul pentru procesele autoregresive de ordinal intai este generat de faptul ca  atunci cand se studiaza modele econometrice cu erori corelate, de regula, erorile urmeaza un process autoregres

5. Previziunea cu modele autoregresive

DE INTRODUS.

6. Modele autoregresive cu erori corelate

DE INTRODUS.

7. Exemple

DE INTRODUS.

BIBLIOGRAFIE

1. Gheorghita, M., Patarlageanu, S.R., Econometrie, Editura ASE , Bucuresti, 2006;

2. Gheorghita, M., Patarlageanu, S.R., Identification of an econometric model of the vegetable market, in volumul Buletinul USAMV, Horticulture 65(2)/2008;

3. Gheorghita, M., Patarlageanu, S.R., Estimating non linear econometric models by an iterative method, Supplement of Quality-access to success Journal (CD), Year 10, 2009;

4. Giraud, R., Econometrie, Economica, 49 rue Hericart, Paris, 1990;

5. Gourieroux, C., Monfort, A., Statistique et Modeles Econometriques, Economica, Paris, 1989;

6. Gujarati, R.N., Essentials of Econometrics, McGraw Hill, New York, 1998;

7. Tanasoiu, O., Pecican, E.S., Modele econometrice, Editura A.S.E., 2001;

8. Andrei, T., Bourbonnais, R., Econometrie, Editura Economica, Bucuresti, 2008;

Pecican, E.S., Econometria pentru economisti; Econometrie-teorie si aplicatii

Editura Economica, Bucuresti, 2003;

10. Tasnadi, Al., Econometrie, Editura A.S.E., 2001;

11. Andrei, T., Stancu, S., Iacob, A.I., Tusa E., Introducere in econometrie utilizand Eviews, Editura Economica, Bucuresti, 2008;

12. Popescu, I., Ungureanu, L., Muscalu, E., Econometria, sau stiinta de a cunoaste si proiecta viitorul, Editura Universitatii "Lucian Blaga" din Sibiu, 2004;