INTRODUCERE IN PROBLEMATICA OPTIMIZARII. CLASIFICAREA PROBLEMELOR DE OPTIMIZARE. FORMA STANDARD A UNEI PROBLEME DE OPTIMIZARE.

1. INTRODUCERE

ASPECTE GENERALE PRIVIND PROBLEMELE DE  OPTIMIZARE

In cadrul etapelor de proiectare (design), optimizarea a devenit o componenta necesara, obligatorie, atunci cand se impun cerinte de performanta a produsului realizat. Zona problematica nu se reduce doar la inginerie, fiind cunoscute o serie de aplicatii economice, de la evaluarea si optimizarea performantelor unei investitii la aplicatii bancare ori din sfera asigurarilor. In anii din urma, cand optimizarea profitului a devenit un termen al limbajului comun, aplicatiile de optimizare, explicite ori implicite (de exemplu, programele care comanda masinile automate de croire/taiere in industria lemnului ori industria confectiilor) sunt tot mai prezente. De asemenea, instrumentele soft-ware de tip MAT-LAB au cunoscut in ultimele versiuni imbogatirea semnificativa a aplicatiilor utilizabile pentru rezolvarea problemelor de optimizare.

Optimizarea reprezinta in cazul general actiunea de obtinere a celui mai bun rezultat in anumite conditii impuse.  

Conform definitiei, procedeul poate fi aplicat unei extrem de largi varietati de probleme. Din domeniul ingineriei, cele mai importante directii care au determinat in timp evolutia tehnicilor de optimizare, sunt :

proiectarea aerospatiala (probleme de masa minima)

inginerie civila (dimensionarea structurilor de rezistenta, dimensionarea grinzilor in structurile metalice, dimensionarea spatiilor utile din constructii)

proiectarea pieselor mecanice

proiectarea dispozitivelor electrotehnice (dimensionarea miezului magnetic, al infasurarilor, al elementelor de racire, controlul nivelului de vibratii ori al armonicilor)

proiectarea echipamentelor energetice si a retelelor energetice

proiectarea unitatilor ori a liniilor de productie

Din punct de vedere istoric, bazele clasice ale tehnicilor de optimizare, bazate pe operatori derivativi, au fost puse prin lucrarile lui Newton, Filipacci, Euler, dar mai ales prin cercetarile lui Cauchy si Lagrange. Acestia din urma au reusit in sec. 19 sa acopere teoretic domeniul clasic al problemelor de optimizare, pentru functii liniare si neliniare dar si pentru cazurile aplicatiilor care sufera restrictii.

Pina la mijlocul sec.20 progresele in domeniul teoretic si practice al tehnicilor de optimizare au fost neinsemnate. Aparitia calculatorului numeric a schimbat fundamental directiile cercetarii matematice si a grabit in anii '50 si '60 cercetarile scolii engleze de matematica care s-au orientat asupra domeniului algoritmilor numerici. Al doilea impuls a venit din directia care se poate incadra sub numele generic de "inteligenta artificiala".

Elementele generale ale formularii unei probleme de optimizare presupun cunoasterea prealabila a regulilor de proiectare dintr-un domeniu specific apoi abilitatea de a descrie proiectarea in termeni matematici. Aceasta presupune:

designul variabilelor

designul parametrilor

designul functiilor obiectiv

In cele ce urmeaza, prin termenul "design" vom desemna operatiile de proiectare, alegere. Cum termenul ales are o sfera mai larga in raport cu fiecare operatie amintita, este potrivit in descrierea etapelor algoritmilor, tehnicilor de optimizare.

CLASIFICAREA PROBLEMELOR DE OPTIMIZARE.

Problemele de optimizare pot fi descrise, clasificate in mai multe feluri, in functie de diverse moduri de abordare:

A) pe baza existentei constringerilor: optimizari cu ori fara constringeri

-problemele  fara constringeri prezinta functtie obiectiv dar lipsesc constringerile aplicate variabilelor. Ajustarea datelor masurate ori calculate, data fitting, este un domeniu tipic al acestui gen de optimizare. Functia obiectiv trebuie sa fie obligatoriu una neliniara, deoarece minimum unei functii liniare fara constringeri este -∞.

Proiect: Cerinte privind caracteristicile betonului - rezistenta, durabilitate Lucrare: Manual de utilizare aparat de sudare - model digital mig 180

B)     pe baza naturii variabilelor de design (variabile de proiectare) se definesc

doua tipuri importante:

-optimizarea parametrilor (optimizare statica): problema este aflarea valorilor pentru setul de parametrii de proiectare care formeaza un set de functii prescrise, supuse unor constringeri

-optimizarea traiectoriei (optimizare dinamica) : problema este aflarea setului de parametrii de proiectare, care sunt functii continue de alti parametrii, care minimizeaza functia obiectiv supusa unui set de restrictii

C) pe baza structurii fizice a problemei se definesc doua grupe:

-control optimal: sunt probleme de programare matematica ce presupune mai multe etape, unde fiecare etapa este determinata de cea precedenta intr-un mod prescriptibil. Sunt descrise de doua tipuri de variabile: cele de stare si cele de control. Variabilele de control (variabilele de design) trebuiesc determinate asa incit sa minimizeze toate functiile obiectiv (indicele de performanta) supuse la setul de restrctii, la nivelul tuturor etapelor care definesc procesul.

-controlul suboptimal: nu minimizeaza itregul set de variabile pe la nivelul tuturor etapelor din proces. De multe ori tn problemele practice de inginerie, adoptarea tehnicilor suboptimale poate simplifica remarcabil solutia problemei, patrind un nivel de performanta impus initial

D) pe baza naturii ecuatiilor modelului matematic: expresiile matematice ale functei obiectiv ori ale constringerilor au permis dezvoltarea mai multor metode de rezolvare specifice claselor de probleme urmatoare: liniare, neliniare, geometrice ori patratice (quadratic). Vom reveni in detaliu asupra specificului fiecarui tip de problema enuntata in capitolele urmatoare.

-optimizarea liniara (programarea liniara): cind funtia obiectiv si toate constringerile sunt de tip liniar.

- optimizarea patratica (programare patratica): daca funtia obiectiv este de tip patratic iar toate constringerile sunt de tip liniar. Metodele de rezolvare permit extinderea celor elaborate pentru optimizarea liniara.

- optimizarea neliniara (programarea neliniara): unde una sau mai multe restrictii, constringeri sunt de tip neliniar

E) pe baza valorilor permise variabilelor de design: probleme se impart in doua categorii:

-cu variabile intregi

-cu variabile reale

F) pe baza naturii de tip deterministic a variabilelor:

-deterministe

-stohastice

G) pe baza separabilitatii functiilor:

-probleme separabile daca functiile ce descriu problema sunt separabile, adica pot fi descrise ca suma de n functii de unica variabila

-probleme inseparabile daca functiile modelului matematic nu sunt separabile

H) pe baza numarului functiilor obiectiv:

-probleme cu unica functie obiectiv

-probleme multiobiectiv

Clasificarea propusa pina acum este una derivata din aspectele matematice ori fizice ale modelelor pe baza carora se obtin solutiile optimale. Este utila de amintit si clasificarea propusa  in cadrul toolbox-ului de optimizare MATLAB, respectiv algoritmi standard de optimizare si algoritmi de optimizare de dimensiune mare (large scale).

De asemenea metodele clasice de optimizare pot fi grupate in doua categorii principale:

- metode neiterative (intr-un singur pas) - utilizeaza operatori derivative si folosesc proprietatile de derivabilitate, convexitate ale functiei obiectiv

- metode iterative - utilizeaza algoritmi numerici iterativi de aflare a optimului.

Startul metodei il reprezinta o valoare initiala aleasa arbitrar din spatiul de cautare iar ulterior se calculeaza la fiecare iteratie o noua solutie a problemei. Metodele iterative se impart la rindul lor in doua categorii:

- metode de cautare directa

- metode de gradient (de coborare) - care reprezinta in prezent cele mai cunoscute si utilizate metode de optimizare

FORMA STANDARD A PROBLEMEI DE OPTIMIMIZARE

Exprimarea matematica generala a de optimizare se face astfel:

sa se minimizeze: f_{(X1,X2, . ,Xn)} (1)

in prezenta restrictiilor:     h_{1(X1,X2, . ,Xn)}=0

h_{2(X1,X2, . ,Xn)}=0

h_{l(X1,X2, . ,Xn)}=0

g_{1(X1,X2, . ,Xn)}≤ 0

g_{2(X1,X2, . ,Xn)}≤ 0

g_{m(X1,X2, . ,Xn)}≤ 0

in conditiile:                           x_i,min≤ x_i≤ x_i,max

unde:

f_{(X1,X2, . ,Xn)} = functia obiectiv (cost) data ca functie de n parametrii

x_i,min = valoarea minima admisa pentru parametrul x_i

x_i,max = valoarea maxima admisa pentru parametrul x_i

In cazul problemelor clasice de optimizare, functia obiectiv este unica. Se optimizeaza astfel un singur aspect, considerat esential, al problemei (de exemplu, in cazul proiectarii masinilor electrice se alege drept functie obiectiv doar randamentul). Practica impune insa unui produs ori unei actiuni umane indeplinirea simultana a mai multor indici de calitate, functii obiectiv. In exemplul proiectarii masinii electrice, se poate adauga si elementul cost ca si directie semnificativa al designului optimal global. Acest tip de proiectare, de design, se numeste design multiobiectiv (design multidisciplinar). In mod evident functiile obiectiv alese sunt impuse de cerintele temei de proiectare si putem regasi alaturi de randament ori pret si masa, temperatura maxima, nivelul de vibratii, continutul de armonici, viteze maxime s.a.m.d. Conform perceptiei generale, ne asteptam ca aceste functii obiectiv sa fie concurente, contradictorii. Exista totusi si situatii in care ele sunt obiective cooperante. Din punct de vedere al interesului actual, problemele de optimizare multiobiectiv sunt cele mai importante, interesul pentru tehnicile si algoritmii multiobiectiv fiind pe primul loc. In cazul problemelor multiobiectiv, functia f va deveni vectorul f.

Din punct de vedere al formalismului matematic, minimizarea functiei obiectiv (a functiei cost) este preferabila si are ca semnificatie practica tocmai reducerea efortului, resurselor necesare atingerii unui anumit obiectiv, scop. In cazul in care functia obiectiv impune determinarea maximului (in cazul optimizarii randamentului unui echipament, instalatii, proces) atunci se poate foarte simplu afla minimul functiei obiectiv negate:

Min f_(x)=Max [- f_(x)] (2)