Ecuatiile lui Lagrange

Ecuatiile lui Lagrange

Se studiaza miscarea unui sistem de n puncte materiale, care au h grade de libertate, deci pozitia este data de coordonatele generalizate .

Legatura este reonoma si olonoma deci sunt independente.

Vectorul de pozitie este iar deplasarea virtuala

Pentru studiul miscarii se aplica principiul lui d Alembert, apoi principiul lucrului mecanic virtual:

; se introduce expresia

si se obtine:

si se obtin ecuatiile lui Lagrange de speta I.

(1)  unde este forta generalizata.

Deoarece folosirea ecuatiilor de miscare sub aceasta forma nu este comoda se vor folosi ecuatiile Lagrange de speta a II-a de forma:

(2)        ; ( k = 1, 2, . . . , h )

unde     ( energia cinetica )

Daca forta generatoare deriva dintr-o functie de forta atunci; forta generalizata este conservativa si ecuatiile Lagrange au forma:

(3)        ( daca fortele date admit energie potentiala U )

Se defineste ca functie a lui Lagrange sau potential cinetic expresia:

unde

Functia lui Lagrange depinde de si t

Se observa ca : si in acest caz ecuatiile Lagrange se scriu sub forma:

(4)       

Referat: Ferastrau circular cu masa mobila Referat: Criterii pentru aprecierea rezistentei la foc

Ecuatiile Lagrange scrise sub una din formele de mai sus sunt ecuatii generate de miscare din mecanica analitica pentru un sistem material supus la legaturi olonome.

Ecuatiile lui Lagrange reprezinta un sistem de h ecuatii diferentiale de ordin II, in raport cu functiile , care conduc la solutii unice care satisfac conditiile initiale referitoare la pozitii si la viteze .

Aplicatie:

Se da sistemul de corpuri din fig. Compus dintr-o prisma care are unghiul x, inaltimea h si greutatea G, care se misca pe un plan orizontal si un corp de greutate P, care se misca pe prisma. Neglijand frecarile se cere sa se afle legea de miscare a sistemului ( acceleratiile ).

Problema are doua grade de libertate. Se aleg drept coordonate generalizate parametrii liniari si ( fig. ). Energia cinetica a sistemului este

Pentru determinarea vitezei se pot folosi doua metode:

a)                                

de unde:

deci:

b) Se studiaza miscarea corpului P ca o miscare relativa:

Deci energia cinetica este:

Se vede ca:

Calculul fortei generalizate poate fi facut de asemenea, prin doua metode:

Cu ajutorul lucrului mecanic virtual, considerand pe rand pe si variabili:

deci:

Cu ajutorul functiei de forta, care in acest caz are forma:

unde s-a tinut seama de sensul fortelor fata de axe. Deci

Ecuatiile lui Lagrange sunt:

Rezolvand sistemul se obtine:

Rezultatul este acelasi cu cel obtinut prin aplicarea principiului lui d Alembert.

Problema are doua grade de libertate, deoarece se pot alege doi parametri independenti si cu ajutorul carora se determina pozitia sistemului la un anumit moment.

Acceleratiile sunt:

Cele doua corpuri efectueaza miscari de translatie.

Se introduc fortele de inertie in centrele de greutate, folosind acceleratiile absolute. Problema este mai dificila pentru corpul de greutate P, la care acceleratia are rol de acceleratie de transport, iar acceleratie relativa. In consecinta se introduc fortele de inertie si corespunzator componentelor acceleratiei absolute.

Se aplica metoda cineto-statica, observand ca sunt suficiente numai ecuatiile de proiectii:

Rezolvand acest sistem de ecuatii se obtine:

Bibliografie

1.     Cursul de fizica Berkeley, volumele I-V, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983.

2.     Caius Iacob, Mecanica teoretica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1980.

3.     E. Deciu; M. Radoi, Mecanica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1977.