Transformarea rezultatelor GPS

Transformarea rezultatelor GPS

1 Introducere

Sistemul de referinta pentru GPS este World Geodetic System 1984 (WGS-84). Deci in urma efectuarii unei determinari GPS, coordonatele de pozitionare terestra se obtin in acest sistem. Pentru unele lucrari, nu intereseaza coordonatele punctelor intr-un sistem global, fiind preferate fie sisteme locale fie sistemul de referinta adoptat pentru reteaua geodezica nationala. In acest capitol sunt prezentate metodele cele mai frecvent utilizate pentru transformarea coordonatelor.

2 Transformari de coordonate

2.1 Coordonate carteziene si coordonate elipsoidale

Notam coordonatele rectangulare spatiale ale unui punct cu X, Y, Z si adoptam un elipsoid de rotatie avand centrul geometric in originea sistemului de coordonate carteziene. Punctul considerat poate fi exprimat si prin coordonatele elipsoidale , , h, conform figurii 1.

Figura 1. Coordonate carteziene si coordonate elipsoidale

Relatia dintre coordonatele carteziene si coordonatele elipsoidale este data de ecuatia (3.6), care poate fi scrisa si sub forma

, (1)

unde a si b sunt semiaxele elipsoidului de referinsa iar N este raza de curbura a primului vertical, data de relatia

. (2)

Coordonatele carteziene referite in sistemul WGS-84 sunt aceleasi cu coordonatele ECEF.

Pentru transformarea coordonatelor elipsoidale , , h in coordonate carteziene X, Y, Z se utilizeaza relatiile (1). Pentru aplicatiile GPS, transformarea inversa este mai importanta deoarece coordonatele carteziene sunt date si coordonatele elipsoidale se calculeaza. Obiectivul este deci calculul coordonatelor elopsoidale , , h din coordonate carteziene X, Y, Z. De obicei aceasta problema este rezolvata iterativ, dar este posibila si obtinerea unei solutii directe.

Din X, Y, poate fi calculata raza paralelului:

. (3)

Din aceasta ecuatie se poate exprima explicit inaltimea elipsoidala:

. (4)

Din expresia primei excentricitati numerice

, (5)

se poate separa , care poate fi inlocuita in ecuatia pentru Z din (1). Se obtine expresia

, (6)

care poate fi scrisa si sub forma

. (7)

Prin impartirea acestei expresii cu (3) rezulta

, (8)

de unde putem separa

(9)

Pentru longitudinea  se obtine imediat din (1):

. (10)

Longitudinea  poate fi calculata direct din ecuatia (10). Inaltimea elipsoidala h si latitudinea  sunt determinate de ecuatiile (4) si (9). Problema la (4) este ca h este functie de latitudine (necunoscuta). Ecuatia (9) contine implicit latitudinea in membrul drept. Bazandu-ne pe aceste trei ecuatii, solutia poate fi obtinuta iterativ, prin parcurgerea urmatorilor pasi:

1. Calculul razei paralelului: .

2. Calculul valorii aproximative a latitudinii: . 3. Calculul valorii aproximative .

4. Calculul inaltimii elipsoidale: .

5. Calculul valorii imbunatatite a latitudinii:

6. Daca =₍₀₎ (in limita preciziei de calcul dorita), atunci procesul iterativ se incheie si se trece la pasul 7; altfel, se pune ₍₀₎= si se continua cu pasul 3.

7. Calculul longitudinii 

Relatiile inchise pentru transformarea coordonatelor X, Y, Z in coordonate , , h sunt:

, (11)

unde este o marime auxiliara data de relatia

(12)

iar

(13)

^{este a doua excentricitate numerica a elipsoidului de referinta.}

2.2 Coordonate elipsoidale si coordonate plane

In acest capitol sunt prezentate numai cateva aspecte legate de proiectarea in plan a punctelor date prin coordonatele lor elipsoidale. Mai multe amanunte in legatura cu aceasta problema pot fi gasite in manualele de cartografie matematica.

In principiu, o proiectie cartografica este definita prin relatii de forma:

(14)

In general, proiectiile conforme sunt preferate pentru aplicatiile geodezice deoarece pastreaza nedeformate unghiurile. Din acest motiv, vor fi prezentate numai aspecte legate de cele mai raspandite proiectii conforme.

Proiectiile conforme mai importante sunt:

Proiectia conica. In proiectia conforma Lambert, conul este tangent la elipsoid la parelelul principal (standard). Dupa desfasurarea suprafetei conului, meridianele sunt portiuni de linii drepte, convergente la un punct numit apex. Acest punct este centrul paralelelor, care sunt reprezentate ca arce de cerc.

Proiectia cilindrica. Este un caz particular al proiectiei conice, obtinut prin mutarea apexului la infinit. Cele mai importante sunt proiectia TM (Trasverse Mercator) si proiectia UTM (Universal Trasverse Mercator). Mai multe detalii despre aceste doua proiectii sunt date mai jos.

Proiectia stereografica polara. Este deasemenea un caz particular al proiectiei Lambert. Daca apexul este situat in pol, atunci conul devine plan. Aceasta proiectie este putin diferita de cele mentionate anterior, deoarece proiectarea se executa in doi pasi: elipsoidul este proiectat pe sfera, apoi sfera este proiectata in plan.

Proiectia Transversala Mercator Teoria proiectiei este bine cunoscuta in Romania, deoarece este identica proiectiei Gauss-Kr ger; exista numai putine particularitati si anume:

- proiectia meridianului central reprezinta axa y (directia Nord). Axa x este obtinuta prin proiectarea ecuatorului (spre Est);

- numerotarea fuselor (120 fuse de cate 3^o) incepe fie de la meridianul Greenwich fie de la meridianul Ferro (17° 40' vest de Greenwich).

Formulele pentru Proiectia Transversala Mercator reies din dezvoltari in serie si sunt date de:

, (15)

in care:

B() lungimea arcului de meridian;

N raza de curbura a primului vertical;

t= tan  cantitate auxiliara;

_ longitudinea meridianului axial;

= -_ diferenta de longitudine;

^=e'²cos² ^{cantitate auxiliara.}

Lungimea arcului de meridian B() este distanta elipsoidala de la ecuator la punctul de proiectat si poate fi calculata cu urmatoarea dezvoltare in serie:

B() =  [+ sin 2+ sin 4+ sin 6+ ] (16)

unde

(17)

si

(18)

Problema inversa consta in transformarea unui punct x,y din plan intr-un punct  pe elipsoid. Metodologia este identica, utilizandu-se tot dezvoltari in serie:

(19)

unde l este diferenta de longitudine calculata fata de meridianul axial. Termenii cu indicele f trebuie sa fie calculati utilizand latitudinea _f , care poate fi obtinuta din seria

(20)

unde

(21)

Coeficientii depind de parametrii elipsoidului. De exemplu, pentru elipsoidul Bessel acestia au valorile:

Proiect: Lucrare de licenta marketing si afaceri economice internationale - dezvolatrea mixului de marketing in cadrul companiei sc.petrom. sa Proiect: Modelul comunicarii in negocieri - modelul structural

(22)

Proiectia UTM este o modificare a proiectiei transversale Mercator. Elipsoidul este partitionat in 60 de fuse cu o latime de 6° (pe longitudine) fiecare. Meridianului axial i se aplica un factor de scara de 0,9996. Motivul aplicarii acestui factor este de a limita deformarile pe ansamblul ariei respective. Se noteaza cu M1 fusul pentru meridianul axial estwe ₀=177° V, cu M2 fusul pentru care meridianul axial este ₀=171° V etc. Astfel, meridianul axial ₀=3° V va fi in fusul M30.

2.3 Transformarea inaltimii

In capitolul precedent a fost abordata numai problema transformarilor de coordonate elipsoid plan. Transformarea inaltimilor este total diferita.

Relatia

h=H+N (23)

unde

h inaltimea elipsoidala

H inaltimea ortometrica

N inaltimea geoidului (ondulatia geoidului)

reprezinta relatia de legatura dintre elipsoid si geoid. Reprezentarea grafica din figura 2 evidentiaza faptul ca aceasta formula este aproximativa, dar este suficient de precisa pentru toate aplicatiile practice. Unghiul  se formeaza intre directia firului cu plumb si normala la elipsoid si exprima deviatia verticalei. Acest unghi nu este mai mare de 30 secunde de arc, in cel mai nefavorabil caz.

O pozitionare GPS presupune determinarea coordonatelor rectangulare spatiale X,Y,Z. Dupa aplicarea transformarii (11), inaltimea elipsoidala h este cunoscuta. Daca in plus, unul din cei doi termeni din membrul drept al (23) este dat, celalalt poate fi calculat. Astfel, daca geoidul este cunoscut, inaltimea ortometrica poate fi dedusa imediat separand H din (23). Pe de alta parte, daca inaltimea ortometrica este cunoscuta, atunci poate fi dedusa ondulatia geoidului.

Figura 2. Definirea inaltimilor

3 Transformari asemenea

Transformarile de coordonate abordate anterior permiteau transformarea unui tip de coordonate in alt tip de coordonate pentru acelasi punct. O transformare asemenea permite trecerea de la un sistem de coordonate de un anumit tip la alt sistem de coordonate de acelasi tip. Dupa tipul sistemului care se transforma, distingem:

transformari asemenea tridimensionale;

transformari asemenea bidimensionale;

transformari asemenea unidimensionale.

3.1 Transformari asemenea tridimensionale

Consideram doua seturi de coordonate carteziene tridimensionale reprezentate de vectorii X si X_T, conform figurii 3. Transformarea intre cele doua seturi de coordonate poate fi formulata de relatia

X_T = c+·R·X , (25)

care este o transformare Helmert.

Figura 3. Transformarea asemenea tridimensionala

In (25),  este un factor de scara iar c defineste translatarea originii:

(26)

Matricea de rotatie R este compusa din trei rotatii succesive

R = R₃{₃R₂{₂R₁{₁ (27)

si este data (dupa inlocuirea matricilor elementare (3.8)) de:

(28)

Inaintea prezentarii algoritmului, vor fi analizati pe scurt cei 7 parametri ai transformarii asemenea Helmert, care intervin in (25). Componentele vectorului de translatare c reprezinta coordonatele originii sistemului X in sistemul X_T. De obicei se considera un singur factor de scara mai general (dar pentru GPS nu este necesar) ar putea fi folositi 3 factori de scara, cate unul pentru fiecare axa de coordonate. Matricea de rototie R este o matrice ortogonala cu 3 parametri _i necunoscuti.

In cazul cunoasterii parametrilor transformarii c, , R, un punct din sistemul X poate fi transformat in sistemul X_T cu (25).

Daca parametrii transformarii sunt necunoscuti, ei pot fi determinati cu ajutorul a trei puncte comune (cu coordonate cunoscute in ambele sisteme). Deoarece pentru fiecare punct comun se pot scrie trei ecuatii, pentru o determinare la limita sunt suficiente 2 puncte comune complet cunoscute si in plus o coordonata comuna (inaltimea), pentru determinarea celor 7 parametri ai transformarii. In practica este recomandabil sa fie folosite informatii redundante astfel incat parametrii transformarii sa fie calculati prin aplicarea metodei celor mai mici patrate.

Ecuatiile (25) sunt nelineare, deci se impune liniarizarea acestora.

Daca

( c ) (  ) ( R ) (29)

sunt valorile aproximative ale parametrilor transformarii, atunci valorile finale corectate vor fi obtinute cu relatiile:

c = ( c ) + dc

= ()[1+d] (30)

R = dR ( R ).

Cresterile pentru vectorul de translatie a originii

(31)

si elementele (cresterile pentru matricea de rotatie) matricei diferentiale de rotatie dR

(32)

sunt acum noile necunoscute. Matricea diferentiala de rotatie este obtinuta prin introducerea cantitatilor diferentiale d_i in ecuatia (28), considerand cos d_i 1 si sin d_i d_i si neglijand termenii de ordinul doi. Modelul liniarizat pentru un singur punct i are urmatorul aspect:

, (33)

unde

(34)

poate fi calculat din parametrii aproximativi ai transformarii si din coordonatele date X _i. Matricea A _i si vectorul dp al parametrilor sunt de forma:

(35)

Componentele (X_i), (Y_i), (Z_i) din matrice se calculeaza cu relatiile

(36)

unde componentele vectorului aproximativ (X_T)_i sunt obtinute cu (34).

Ecuatia (33) ale carei componente sunt explicitate in (34) si (35) reprezinta sistemul de ecuatii liniare pentru punctul i. Pentru n puncte comune, forma matricei A este:

. (37)

Desfasurat, pentru trei puncte comune, forma matricei este:

(38)

Dupa normalizare si rezolvarea sistemului ecuatiilor normale rezulta vectorul dp al corectiilor parametrilor si apoi valorile corectate ale parametrilor transformarii, conform (30). Dispunand de cei 7 parametri ai transformarii asemenea Helmert, formula (25) poate fi utilizata pentru transformarea oricarui punct.

Transformarea asemenea Helmert poate fi utilizata pentru trecerea coordonatelor WGS-84 ale unor puncte, obtinute din observatii GPS, intr-un sistem local national negeocentric.

3.2 Transformarea asemenea bidimensionala

Fie doua seturi de coordonate plane date implicit in vectorii x = (x, y)^T si x_T=(x_T, y_T)^T, conform figurii 4.

Transformarea asemenea bidimensionala este definita de relatia

x_T = c + R x (39)

unde  este factorul de scara, c vectorul deplasare iar R matricea de rotatie, care cuprinde un singur unghi de rotatie:

(40)

. (41)

Figura 4. Transformarea asemenea bidimensionala

Relatia (39) impreuna cu (40) si (41) reprezinta transformarea Helmert bidimensionala cu 4 parametri: doua translatii (c₁,c₂), factorul de scara  si unghiul . Inlocuind (40) si (41) in (39) rezulta direct componentele transformarii:

(42)

Aceste formule simple pot fi verificate geometric in figura 4, unde sunt indicati termenii care dau pe x_T.

Cand parametrii transformarii c, , R sunt cunoscuti,un punct in sistemul x poate fi transformat in sistemul x_T cu relatia (39).

Daca parametrii transformarii sunt necunoscuti ei pot fi determinati - analog cu cazul transformarii tridimensionale - folosind puncte comune. Doua puncte comune, fiecare dand doua ecuatii, sunt suficiente pentru a afla cei patru parametri necunoscuti. In practica, informatia redundanta rezultata din considerarea a mai mult de doua puncte comune, este folosita pentru calcularea parametrilor prin metoda celor mai mici patrate.

Relatiile (42) sunt neliniare. Folosind necunocutele auxiliare

(43)

se obtin ecuatiile liniare:

. (44)

In urma rezolvarii sistemului (prin metoda celor mai mici patrate daca dispunem de informatie redundanta), se determina c₁, c₂ si necunoscutele auxiliare, din care rezulta imediat factorul de scara si unghiul de rotatie:

(45)

3.3 Transformarea asemenea unidimensionala

GPS permite obtinerea simultana a coordonatelor tridimensionale (3D), coordonatele orizontale si inaltimea h fiind calculate impreuna, in cadrul aceluiasi proces. In geodezia clasica, coordonatele orizontale si inaltimile erau obtinute independent. Din acest motiv, avand in vedere ca multe tari dispun de retele geodezice planimetrice foarte precise dar de putine inaltimi elipsoidale (deoarece nu se cunoaste ondulatia geoidului), tratarea separata a transformarii 1D se impune ca o necesitate.

Simbolic, transformarea (1D) este obtinuta din 3D 2D, adica parametrii pentru transformarea 1D sunt obtinuti prin 'extragerea' parametrilor transformarii 2D din parametrii transformarii 3D,

(46)

unde pentru transformarea 2D, rotatia unghiulara a fost notata cu indicele corespunzator. Cu alte cuvinte, transformarea 3D pentru coordonate orizontale si inaltime este compusa dintr-o transformare 2D pentru coordonate orizontale si o transformare 1D pentru inaltimi.

Revenind la transformarea 1D, din parametrii care apar in (46) se observa ca transformarea consta intr-o deplasare de-a lungul axei verticale, o inclinare in jurul axei N-S si o inclinare in jurul axei E-V. Aceste trei necunoscute sunt determinate folosind inaltimile a trei puncte comune.

Transformarea folosind inaltimile Consideram ca pentru trei puncte dintr-o retea GPS sunt cunoscute altitudinile ortometrice H_i si inltimile elipsoidale h_i. Acestea din urma pot fi transformate in altitudini aproximative (H_i) folosind un model de geoid. Normal, exista diferente intre (H_i) si H_i, datorate combinarii efectelor erorilor sistematice ale GPS si erorilor modelului geoidului ales. Modelul matematic pentru aceste diferente este dat de relatia

H_i - (H_i) = dH - y_i d_+ x_i d_{2 ,} (47)

unde dH este deplasarea pe verticala.

Rotatiile in jurul axelor x si y sunt date de d₁ respectiv d_2. Ecuatia (47) este exprimata in sistemul de coordonate local al punctului (x_i,y_i) si formal corespunde componentei a treia din trasformarea tridimensionala, conform ecuatiei (35). Geometric, ecuatia pentru discordantele H_i-(H_i) poate fi interpretata ca ecuatia unui plan care ar putea fi extins la o suprafata de ordin superior, pentru a putea lua in considerare o forma neregulata a geoidului.

Specificarile FGCC pentru determinarile GPS impun ca masuratorile sa fie incluse in reteaua nationala prin considerarea a minimum patru puncte de legatura, bine distribuite pe intreaga suprafata de dezvoltare a retelei GPS (de preferinta in colturile suprafetei).

Punctele de legatura redundante permit folosirea metodei celor mai mici patrate, care furnizeaza verificarile necesare pentru controlul transformarii. O metoda folosita deseori consta in executarea transformarii numai pe trei puncte, cel de-al patrulea fiind folosit numai pentru control (in conditii normale, cota sa recalculata pe baza parametrilor transformarii trebuie sa difere de cea cunoscuta in limita a cativa centimetri). O verificare in plus pentru corectitudinea transformarii este furnizata de inspectarea valorilor celor doua unghiuri de rotatie calculate, care in mod normal ar trebui sa fie mai mici de 5 secunde de arc (ocazional ele pot fi putin mai mari) .

Intr-o retea de marime mica, de exemplu 10x10 km, cotele pot fi determinate cu o precizie de circa 3 cm. In zonele unde geoidul este bine cunoscut sau modelul general descrie bine suprafata acestuia, pot fi executate masuratori pe suprafete mai intinse, cu o precizie comparabila cu cea aratata anterior.

Transformarea folosind diferentele de inaltime Inaltimea elipsoidala determinata cu GPS poate fi transformata in inaltime ortometrica daca este cunoscuta inaltimea (ondulatia) geoidului.

Uneori se doreste determinarea numai a diferentelor inaltimilor, de exemplu la urmarirea tasarilor, sapaturilor etc. In asemenea cazuri, importanta cunoasterii geoidului este diminuata, deoarece sunt considerate inaltimile relative.

Pentru doua puncte, inaltimile ortometrice sunt

, (48)

iar diferenta dintre altitudinile punctelor 1 si 2 este data de relatia

. (49)

Cum h₂ si h₁ sunt precis determinate, numai diferenta inaltimilor geoidului afecteaza rezultatele. Prin urmare, daca inaltimea geoidului este constanta intr-o suprafata locala (elipsoidul si geoidul sunt paralele), diferentele de inaltime vor fi afectate numai de erorile determinarilor GPS. Similar, daca geoidul este uniform inclinat fata de elipsoid, inaltimile pot fi calculate precis printr-o transformare 1D conform modelului matematic (47).

4 Combinarea datelor GPS cu date terestre

Combinarea seturilor de date din doua sau mai multe surse diferite este strict o problema de compensare si nu pot fi tratate aici toate cazurile posibile. Vor fi analizate numai modalitatile cele mai frecvent utilizate pentru combinarea datelor GPS cu date terestre.

4.1 Transformarea datelor

O prima etapa in combinarea datelor GPS cu date terestre consta in transformarea coordonatelor geocentrice WGS-84 in sistemul de coordonate terestru. Sistemul terestru foloseste cea mai buna aproximare locala a elipsoidului. Elipsoidul local este legat la sistemul de coordonate cartezian negeocentric, a carui origine coincide cu centrul elipsoidului. Coordonatele plane (asa cum sunt coordonatele Gauss-Kr ger) sunt obtinute prin proiectarea elipsoidului in plan.

In continuare, coordonatele GPS vor fi notate cu indicele 'GPS' iar coordonatele terestre referite la un sistem local sunt notate cu indicele 'SL'. Observatiile GPS furnizeaza coordonatele (X,Y,Z)_GPS. Coordonatele plane in sistemul local (x,y)_SL pot fi transformate cu ajutorul relatiei (19) in coordonate elipsoidale ()_SL. Daca sunt cunoscute atat inaltimile ortometrice cat si ondulatiile geoidului, atunci pot fi calculate inaltimile elipsoidale. Prin urmare, dispunem de coordonatele (,h)_SL. Aceste coordonate pot fi transformate in coordonate carteziene (X,Y,Z)_SL, cu ajutorul relatiei (1).

Transformarea inversa din (X,Y,Z)_SL in (x,y)_SL presupune aplicarea mai intii a relatiilor (11) sau a procesului iterativ pentru deducerea (), urmata apoi de transformarea coordonatelor elipsoidale in coordonate plane cu (15).

Transformarea in spatiul tridimensional Aceasta transformare este necesara pentru integrarea determinarilor GPS in sistemele locale de coordonate plane. Metodologia de efectuare a transformarii este prezentata in figura 5 si in algoritmul urmator:

1. Trasformarea (x,y)_SL in () _SL, cu formulele (19).

2. Pentru a obtine o tripleta completa (,h) _SL, inaltimile elipsoidale trebuie sa fie disponibile.

3. Transformarea (,h) _SL in (X,Y,Z) _SL cu relatiile (1).

4. Se determina cei 7 parametri ai transformarii asemenea Helmert (25), pe baza punctelor comune de coordonate (X,Y,Z)_GPS - referite la WGS-84 si de coordonate (X,Y,Z)_SL - referite la sistemul local.

5. Coordonatele (X,Y,Z)_GPS (referite la sistemul WGS-84) pentru alte puncte decat cele comune sunt transformate cu ajutorul relatiei (25) in (X,Y,Z)_SL (referite la sistemul local), folosind parametrii transformarii calculati in pasul anterior.

6. Toate coordonatele (X,Y,Z)_SL sunt transformate in (,,h)_SL (pe elipsoidul de referinta) cu ajutorul relatiior (11) sau prin procesul iterativ.

7. Omitand inaltimile, coordonatele elipsoidale ()_SL sunt transformate in plan cu ajutorul relatiilor (15), rezultand (x,y)_SL in sistemul plan local.

Figura 5 prezinta schematizat pasii descrisi in algoritmul de mai sus, pornind de la presupunerea ca pentru punctele comune sunt deja calculate coordonatele rectangulare spatiale (sunt omisi primii trei pasi ai algoritmului).

Avantajul folosirii transformarii asemenea tridimensionala este ca nu necesita cunoasterea prealabila a celor 7 parametri ai transformarii Helmert. Dezavantajul principal al acestei metode este ca sunt necesare inaltimile elipsoidale pentru puncte in sistemul local (trebuie cunoscuta ondulatia geoidului in punctele comune). Acest dezavantaj nu este insa mare deoarece la calculul coordonatelor plane in sistemul local influenta eventualelor erori ale valorilor considerate pentru ondulatia geoidului este destul de mica.

Figura 5. Transformarea datelor GPS si datelor terestre in spatiul tridimensional si

proiectarea lor in sistemul local plan.

De exemplu, pentru o zona de 20x20 km, cunoasterea ondulatiei geoidului cu precizia de 5 metri introduce erori de circa 1 milimetru la calculul coordonatelor rectangulare plane.

Transformarea in spatiul bidimensional Aceasta transformare asigura combinarea coordonatelor (X,Y,Z)_GPS si (x,y)_SL in plan, fara luarea in considerare a inaltimii. Din punct de vedere teoretic, solutia poate fi obtinuta in urmatorii pasi:

1. Toate coordonatele carteziene (X,Y,Z)_GPS referite la WGS-84 sunt transformate in coordonate (,h)_GPS cu ajutorul relatiilor (11). Sunt folositi parametrii elipsoidului de pe care au fost proiectate punctele in sistemul local.

2. Neglijand inaltimile, coordonatele ()_GPS sunt proiectate in plan cu relatiile (15), rezultand coordonatele plane (x,y)_GPS. Se observa ca parametrii elipsoidului intra din nou in formulele corespunzatoare transformarii.

3. Se aleg punctele comune, minimum doua, avand coordonatele (x,y)_GPS si (x,y)_SL si se calculeaza parametrii transformarii bidimensionale Helmert, conform (39).

4. Cu parametrii transformarii cunoscuti, cu (39), se transforma punctele necomune (x,y)_GPS in sistemul local.

Fara luarea in consideratie a informatiei referitoare la inaltime, transformarea in spatiul tridimensional este indicata pentru retele cu intinderi mici, in zone de ses, cu conditia ca inaltimea geoidului sa nu sufere modificari importante (asemenea modificari nu sunt specifice zonelor de ses). Pentru retele cu o dezvoltare de 200x200 km, erorile de transformare ating valori de ordinul a 1-2 cm, datorate in primul rand faptului ca elipsoidul local este negeocentric.

Pentru retele statale, o posibilitate de rezolvare a problemei ar consta in aplicarea unei alte transformari, cum ar fi de exemplu transformarea afina dintre doua seturi de coordonate plane. O alta cale este de a transforma aproximativ coordonatele (x,y)_SL in coordonate (X,Y,Z)_SL folosind inaltimile elipsoidale aproximative. In continuare, se executa o transformare asemenea tridimensionala, pe baza punctelor comune; vor rezulta parametrii aproximativi ai transformarii, cu care sunt trecute in plan toate coordonatelle GPS. In final se aplica o transformare asemenea in spatiul bidimensional.

Transformarea vectorilor de baza. Pentru lucrarile topografice intereseaza distantele si unghiurile (orizontale si verticale) deduse din vectorii liniilor de baza.

Fie b_AB vectorul liniei de baza intre punctele A si B, s_AB distanta spatiala, a_AB azimutul elipsoidal si z_AB distanta zenitala. Aceste marimi sunt obtinute explicit cu relatiile:

(50)

Vectorii i, , k sunt axele sistemului local de coordonate (i nord, est, k zenit) si au expresiile:

(51)

Marimile s_AB, a_AB, z_AB pot fi privite ca observatii neafectate de refractie.

4.2 Compensarea

Aceasta problema este prezentata aici pe scurt, deoarece alte capitole trateaza aspectul numeric si teoria compensarii. Nu se dau detalii despre matricea cofactorilor, varianta, covarianta si legea de propagare a erorilor. Este ales un singur exemplu din varietatea aplicatiilor posibile.

Formula pentru transformarea tridimensionala Helmert este data de ecuatia (25), care stabileste relatia de legatura dintre doua sisteme de coordonate:

X_T = c + ·R·X . (52)

Daca se efectueaza transformarea intre sistemul local (SL) si sistemul WGS-84 (GPS), ecuatia de mai sus devine:

X_GPS = c + ·R·X_SL . (53)

Adoptand un model stochastic pentru coordonatele din ambele sisteme, poate fi adunat cate un vector de zgomot la X_GPS si la X_SL. Relatia (53) devine

X_GPS + z_GPS = c + ·R· (X_SL + z_SL) (54)

si reprezinta modelul Gauss-Helmert. Efectuand notatia , modelul stochastic poate fi rescris sub forma

, (55)

care reprezinta modelul Gauss-Markov.Coordonatele compensate sunt folosite prima data ca 'observatii' asupra necunoscutelor si a doua oara ca necunoscute.

Formulele din modelul de baza de mai sus pot fi usor extinse la alte observatii (terestre), ca de exemplu la masuratori terestre de distante si unghiuri. Grupand aceste observatii intr-un vector l si adunand zgomotul corespunzator, modelul de mai sus poate fi suplimentat cu o ecuatie de forma

l_SL + n = l (X_SL) . (56)

In principiu, poate fi luat in considerare orice gen de masuratori geodezice daca este folosit modelul integrat de compensare geodezica. Ideea de baza este ca orice masuratoare geodezica poate fi exprimata ca o functie de unul sau mai multi vectori de pozitie X si de campul gravitatii terestre W. De obicei aceasta functie este neliniara si trebuie sa fie liniarizata iar campul gravitatii W este separat in potential normal U si potential perturbator T (W = U + T ).