TRANSFORMATA FOURIER - definitia transformatei Fourier, transformata Fourier si diferite operatii, transformata Fourier si convolutia

TRANSFORMATA FOURIER

Obiectele fine se obtin prin prelucrari rafinate.

1. Definitia transformatei Fourier

Apeland la seria Fourier (forma complexa)

(1)

realizam de fapt reprezentarea unei functii periodice de perioada . Seria Fourier corespunzatoare unei functii de perioada este

(2)

Cu formulele uzuale obtinem coeficientii Fourier

(3)

Din (2) si (3) obtinem

(4)

Sa observam ca (1) construieste o functie periodica de perioada , ca suprapunere de oscilatii armonice pure. Incercand o trecere la limita dupa 1 cu in (4), gasim o reprezentare a unei functii definita pe toata axa ca suprapunere de oscilatii armonice.

Tinand cont de argumentul discret

se transforma in argumentul continuu prin trecere la limita dupa 1, din (4) obtinem

(5)

numita integrala Fourier a lui .

Notand

(6)

formula cautata pentru dezvoltarea lui in oscilatii armonice simple este

(7)

2. Functia data de (6) se numeste transformata Fourier a functiei , iar (7) se numeste transformata Fourier inversa. Formulele (6) si (7) au ambele factorul si se mai numesc forme simetrice. Uneori se opteaza pentru formele nesimetrice.

()

respectiv

()

pentru transformata Fourier () si inversa sa (). Dupa factorul din fata este evident cu care din formule se va lucra.

3. Transformata Fourier si diferite operatii

In cele ce urmeaza vom nota operatorul de transformare Fourier cu F si cu inversul sau. Deci

(*)

si

(**)

4. Transformata Fourier si operatia de derivare

Definitie. O functie se numeste absolut continua daca

incat oricare ar fi sistemul finit de intervale disjuncte cu

sa avem

Sa observam ca absolut continuitatea este mai tare ca uniform continuitatea.

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

Sa presupunem ca este absolut integrabila si absolut continua in vecinatatea oricarui punct si este integrabila pe R.

Datorita integralitatii lui avem

Cum conform celor relatate anterior, obtinem:

(8)

Cu alte cuvinte, derivarii functiei ii corespunde inmultirea functiei cu .

Daca are derivate integrabile pana la ordinul m, atunci repetand (8) obtinem

(9)

5. Transformata Fourier si convolutia

Fie si transformatele Fourier ale functiilor absolut integrabile si . Cautam functia care are ca transformata Fourier produsul , . Avem

integrala dubla fiind absolut convergenta conform unui rezultat cunoscut al lui Fubinni.

Facand schimbarea de variabila pentru a nu avea doua exponentiale, obtinem

se numeste convolutia lui si . Deci produsul provine din convolutia lui cu . Deci unde

6. Ecuatia caldurii rezolvata cu transformata Fourier.

Se cauta solutia deci pentru

(10)

pentru si care pentru t = 0 coincide cu dat, deci cu conditia initiala u (x, 0) = . Ca interpretare fizica, problema cere determinarea temperaturii unei bare infinite omogene si filiforme (deci unidimensionale) in toate punctele t > 0, daca cunoastem temperatura sa la momentul initial t = 0.

Pentru a ne putea misca liberi in calcule, facem presupuneri suplimentare asupra lui u (t, x) sa le zicem " de a se comporta cuminte".

1. sunt continue si absolut integrabile in x pentru si pentru fixat.

2. Functia admite, pe intreg intervalul un majorant integrabil

A aplica lui (10) transformata Fourier revine la a amplifica cu si sa integram dupa x de la la . Dar conform conditiei (11) avem

unde

este transformata Fourier a solutiei cautate u (x, t).

Aplicand formula (2) din c.a., avem

Am obtinut astfel ecuatia ordinara

(11)

pentru care trebuie sa cautam solutia care, pentru t = 0, coincide cu:

(12)

Luand in formula a=1/(4t) obtinem ca

(13)

Solutia ecuatiei (11) are forma

Deci

(14)

Formula obtinuta in (14) se numeste integrala lui Poisson. In teoria ecuatiilor cu derivate partiale, se demonstreaza unicitatea solutiei intr-o vasta clasa de functii nu numai pentru "clasa functiilor cuminti".

Exercitii rezolvate

1.Reprezentati printr-o integrala Fourier functia

Figura 1

Cu a > 0, functie numita si factorul discontinuu al lui Dirichlet.

Rezolvare Folosind

, (*)

mai intai calculam

Inlocuind in (*) se obtine

2. Reprezentati printr-o integrala Fourier functia

Rezolvare conform egalitatii (*) si a functiei date vom scrie

Deoarece este impara in raport cu ultimul termen din egalitatile anterioare este nul. Rezulta

Liniarizand ultimul factor vom obtine

Deci

3. Reprezentati printr-o integrala Fourier functia

Rezolvare: deoarece este divergenta, vom considera functia

care poate fi reprezentata printr-o integrala Fourier deoarece este convergenta si este para conform graficului.

Figura 2

Prin urmare,

Calcule simple conduc la egalitatea

Rezulta

Atunci