Algebre de evenimente - teorema

Se considera o familie de evenimente : ( multimea vida).

Definitia 1.3.1 Familia de evenimente se numeste algebra de evenimente daca sunt satisfacute urmatoarele doua axiome:

i)            pentru orice avem

ii)          pentru orice avem .

Teorema 1.3.1 Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) este o algebra de evenimente ;

b) satisface urmatoarele doua conditii:

i) pentru orice avem ,

ii) pentru orice avem .

Teorema 1.3.2 Daca este o algebra de evenimente , atunci apartin tot lui pentru .

Exemple de algebra de evenimente:

Fie si , unde si este un eveniment dat. Imediat se verifica ca si constituie algebra de evenimente.

Fie o familie de evenimente incompatibile doua cate doua, adica cu si . Fie . Atunci este o algebra de evenimente. Intra-devar, pentru (multimea vida) luam ; pentru luam . Pentru avem si pentru orice avem

.

Teorema 1.3.3 Fie o familie de algebra de evenimente. Atunci este tot o algebra de evenimente.

Demonstratie.

i)            Fie . Atunci pentru orice , deci pentru orice . Prin urmare .

ii)          Fie . Atunci pentru orice , deci pentru orice .Prin urmare .

Fie (multimea vida) o familie de evenimente.

Definitia 1.3.2 Prin algebra de familie de evenimente se intelege cea mai mica algebra de evenimente care contine pe si o notam prin .

Teorema 1.3.4 Fie familia tuturor algebrelor de evenimente care contin  pe . Atunci .

- algebre de evenimente

Se considera o familie de evenimente : multimea vida).

Definitia 1.4.1 Familia de evenimente se numeste -algebra de evenimente daca sunt satisfacute urmatoarele axiome:

i)            pentru orice avem ,

ii)          pentru orice avem ,(adica prin orice intersectie infinita, dar numarabila de evenimente din , nu iesim din ).

Teorema 1.4.1 Orice -algebra de evenimente este o algebra de evenimente.

Exemplu: Algebrele de evenimente si cu si vor fi chiar algebre de evenimente.

Teorema 1.4.2 Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) este o -algebra de evenimente;

b) satisface urmatoarele conditii:

i) pentru orice avem ,

ii) pentru orice avem .

Teorema 1.4.3 Daca este o algebra de evenimente atunci apartin tot lui pentru orice si orice .

Prin urmare, daca asupra evenimentelor dintr-o -algebra de evenimente se aplica operatiile de intersectie numarabila, reuniune numarabila si scadere nu iesim din -algebra .

Teorema 1.4.4 Fie o familie de -algebre de  evenimente. Atunci este tot o algebra de evenimente.

Definitia 1.4.2 Prin -algebra generate de familia de evenimente se intelege cea mai mica -algebra de evenimente care contine pe ( adica, cel mai mic element relative la operatia de incluziune a -algebrelor de evenimente), si se noteaza prin .

Teorema 1.4.5 Fie familia tuturor -algebrelor de evenimente ce contin pe . Atunci .

Exemplu: Consideram algebra de evenimente ,unde evenimentele sunt submultimi ale axei reale si anume reuniuni finite de intervale ale axei reale, disjuncte doua cate doua. Conform teoremei 1.4.5 consideram algebra generate de notata cu si numita familia multimilor boreliene. Prin urmare este o -algebra, iar va fi un exemplu de algebra de evenimente, care nu este o -algebra. Intr-adevar, daca se considera multimile , unde , atunci prin reuniune numarabila avem , dar .