Rezolvarea unui sistem de ecuatii liniare - lucrare

Lucrare

Pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare exista mai multe metode, unele exacte, altele aproximative. Pentru sistemele cu numar mare de ecuatii metodele aproximative sunt mai eficiente, deoarece sunt mai rapid convergente. Metodele exacte se bazeaza pe transformarea matricilor coeficientilor si de aceea sunt indicate in cazul sistemelor mai mici de ecuatii.

Un sistem de ecuatii liniare se poate scrie sub forma matriciala astfel:

sau mai simplu:

unde A este o matrice patrata si se numeste matricea coeficientilor, X este vectorul necunoscutelor, iar B este vectorul termenilor liberi.

Una din metodele exacte de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare are la baza transformarea succesiva a matricii coeficientilor astfel incat sa se obtina 1 pe diagonala principala si 0 sub diagonala. Acest lucru se obtine prin inmultirea la stanga cu o matrice M patrata convenabil aleasa, in mai multe etape. Astfel in urma primei inmultiri se va obtine 0 pe prima coloana, cu exceptia primului coeficient, care va fi 1.

Dupa cea de-a doua inmultire se va transforma coloana a doua.

Se repeta tot acest proces pana la ultima coloana. Pentru a nu se modifica vectorul termenilor liberi, matricea M se va inmulti si cu matricea coloana B.

In urma efectuarii ultimei inmultiri sistemul va arata astfel:

Matricea M isi va modifica forma de fiecare data. Astfel, pentru transformarea coloanei j a matricii A, termenii matricei M se vor calcula dupa cum urmeaza:

matricea M va fi identica cu matricea unitate, mai putin coloana j.

pentru coloana j deasupra diagonalei termenii vor fi egali cu 0.

termenul de pe diagonala va fi: m[j][j] = 1 / a[j][j].

termenii de sub diagonala vor fi: m[i][j] = -a[i][j] / a[j][j].

In aceste relatii a[i][j] reprezinta elementele matricii A.

Dupa ce matricea coeficientilor a fost transformata se calculeaza vectorul necunoscutelor X in ordine descrescatoare cu relatia:

 

Algoritmul de rezolvare a sistemelor de ecuatii prin aceasta metoda este reprezentat mai jos:

Se declara matricea patrata A[n][n] si vectorul termenilor liberi B[n]

j = 1

Se calculeaza matricea M pentru coloana j.

Se inmulteste matricea M cu matricea A. Rezultatul i se va atribui matricii A.

Se inmulteste matricea M cu vectorul B. Rezultatul i se va atribui vectorului B.

Daca j < n se mareste j cu o unitate si se reia de la pasul 3. Daca nu, se trece la pasul 7.

Se calculeaza vectorul necunoscutelor x[i].

Se afiseaza vectorul necunoscutelor x[i].

Sa se rezolve sistemul urmator A·X = B in care matricile A si B au urmatoarele valori:

.