Polinoame

Polinoame

Forma algebrica a unui polinom

fIC[x] este f = a₀Xⁿ + a₁X^n-1 + a₂X^n-2 + . + a_n, unde n este gradul, a₀ - coeficientul dominant, a_n - termenul liber.

Functia polinomiala asociata lui fIC[x] este :C C a) = f(a aIC; f(a) fiind valoarea polinomului f in a

Teorema impartirii cu rest: f,gIC[x], g 0 exista polinoamele unice q,rIC[x] astfel incat f = gq + r, grad r < grad g.

Impartirea unui polinom cu X-a: Restul impartirii polinomului fIC[x], f 0 la X-a este f(a).

Schema lui Horner: ne ajuta sa aflam catul q = b₀X^n-1 + b₁X^n-2 + . + b_n-1 al impartirii polinomului f = a₀Xⁿ + a₁X^n-1 + a₂X^n-2 + . + a_n la binomul X-a; precum si restul acestei impartiri r = f(a);

Divizibilitatea polinoamelor

Definitia . Fie f,gIC[x], spunem ca g divide pe f si notam g f daca qIC[x] astfel incat f=gq

Radacinile polinoamelor

Definitia. Numarul aIC se numeste radacina a polinomului f daca si numai daca a) = 0

Teorema lui Bezout: Numarul aIC este radacina a polinomului f 0 (X-a) f.

Definitia. Numarul a se numeste radacina multipla de ordinul p a polinomului f 0 daca si numai daca (X-a) f iar (X-a)^p+1 nu-l divide pe f

Teorema: Daca fIC[x] este un polinom de gradul n si x₁,x₂,x₃,.,x_n sunt radacinile lui cu ordinele de multiplicitate m₁,m₂,m₃,.,m_n atunci unde a₀ este coeficientul dominant al lui f, iar m₁ + m₂ + . + m_n = grad f.

Ecuatii algebrice

Definitia . O ecuatie de forma f(x) = 0 unde f 0 este un polinom, se numeste ecuatie algebrica.

Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuatiile algebrice de grad mai mare decat patru nu se pot rezolva prin radicali.

Teorema lui D'Alambert-Gauss: Orice ecuatie algebrica de grad mai mare sau egal cu unu, are cel putin o radacina (complexa).

Formulele lui Viete: Daca numerele x₁,x₂,.,x_n sunt radacinile polinomului fIC[x], f = a₀Xⁿ + a₁X^n-1 + .+ a_n, a₀ 0 atunci:

pentru polinomul de gradul II avem (f = aX² + bX +c) :

pentru polinomul de gradul III avem( f = aX³ + bX² +cX+d) :

pentru polinomul de gradul IV avem( f = aX⁴ + bX³ + cX²+dX+e) :

Polinoame cu coeficienti din R, Q, Z

Teorema: Daca fIR[x] admite pe a = a + ib, b 0 ca radacina atunci el admite ca radacina si pe a = a - ib, iar a si a au acelasi ordin, de mutiplicitate.

Teorema: Daca un polinom fIQ[x] admite pe a = a + b (a,bIQ, b 0, dIRQ) ca radacina, atunci el admite si pe = a - b, iar a si a au acelasi ordin, de mutiplicitate.

Teorema: Daca un polinom fIZ[x], grad f 1, admite o radacina a = IQ, (p,q) = 1 atunci p a_n si q a₀.

In particular daca fIZ[x] are radacina a=pIZ atunci p a_n.