SISTEME DE NUMERATIE. Conversie numere dintr-o baza in alta.

SISTEME DE NUMERATIE. Conversie numere dintr-o baza in alta.

Elementele electronice care stau la baza constructiei calculatoarelor au un numar finit de stari stabile. Notindu-se cu b numarul starilor, informatiile se pot reprezenta ca numere scrise in baza b. In functie de anumite conventii, informatie care de fapt este numar scris intr-o baza b, poate reprezenta si altceva decit numere.

Ex: Codul Simbol codificat

00 A

01 B

10 C (o litera fiind codificata cu doua cifre)

Realizarea elementelor electronice cu mai mult de doua stari stabile este costisitoare si dificila. De aceea se folosesc cele doua stari stabile, motiv pentru care la baza functionarii majoritatii calculatoarelor electronice sta sistemul de numeratie cu baza 2 (sistemul binar).

Intr-un calculator se folosesc pentru reprezentarea datelor si efectuarea operatiilor aritmetice diferite sisteme de numeratie care au de obicei ca baza numarul doi sau puteri ale numarului doi.

Sistemul de numeratie reprezinta un ansamblu de reguli care precizeaza cum va fi folosit un set de cifre pentru a reprezenta valori numerice cuprinse intr-o gama cit mai larga.

Orice sistem de numeratie presupune o baza care da si numele respectivului sistem. Considerind, generic, un sistem de numeratie cu baza 'b', un numar in acest sistem se va scrie sub forma:

unde - cifrele numarului N in baza b

- ponderile cifrelor

i - rang

Intre sistemele de numeratie uzuale, putem aminti:

binar: (sistemul cel mai folosit in reprezentarea interna a datelor intr-un sistem de calcul) - cifrele 0,1 numite biti (b=2)

zecimal: (sistemul utilizat in mod natural) - cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (b=10)

BCD (binar codificat zecimal) - cifrele 0..9

hexazecimal: cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A, B, C, D, E, F (se foloseste in notatii, sufixul 'h' sau 'H') (b=16)

octal: cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (b=8)

Putem defini codul ponderat ca fiind codul care asociaza fiecarui numar exprimat in codul respectiv, o secventa de cifre, fiecare cifra avind o anumita pondere, numarul indeplinind relatia de mai sus.Codurile corespunzatoare numerelor exprimate in sistemele de numeratie amintite mai sus se mai numesc si coduri numerice (binar, octal, zecimal, hexazecimal) si sunt coduri ponderate.

Exista si coduri neponderate cum ar fi:

- coduri alfanumerice (ASCII sau EBCDIC cele mai folosite)

- coduri pentru detectia si corectia erorilor (HAMMING)

- codul cu exces de 3, codul GRAY (codul binar reflectat) etc

Sistemul hexazecimal se dovedeste un instrument intermediar deosebit de util in colaborarea omului cu calculatorul , deoarece permite utilizarea unui numar mai mic de semne decit sistemul binar pentru simbolizarea unei informatii, precum si aplicarea unor reguli simple de transpunere in sistemul binar in care lucreaza calculatoarele.

Conversia unui numar intreg dintr-o baza in alta baza

Operatia se face in mai multi pasi:

1. se imparte numarul la noua baza

2. se retine citul care se imparte din nou la noua baza

3. se repeta operatia pina la obtinerea unui cit=0

4. resturile numarului vor constitui cifrele numarului in noua baza, numar care se obtine scriind resturile succsesive de jos in sus (primul rest obtinut este cifra de rang 0..ultimul rest este cifra de rang n)

Conversia numerelor intregi se realizeaza printr-un proces iterativ de impartire a numarului ce urmeaza a fi convertit la noua baza. Resturile obtinute in fiecare iteratie reprezinta cifrele numarului reprezentat in noua baza.

Ex.:trecerea numarului 13 din zecimal in binar (b=2)

-> cit 6, rest 1 179 (10) = 10110011 (2)

6/ - > cit 3, rest 0 179/2 cit 89, rest 1

3/ - > cit 1, rest 1 89/2 cit 44, rest 1

1/ - > cit 0, rest 1 44/2 cit 22, rest 0

Rezulta: 13 (10) = 1101 (2) 22/2 cit 11, rest 0

11/2 cit 5, rest 1

5/2 cit 2, rest1

2/2 cit 1, rest 0

1/2 cit 0, rest 1

Tema: 672 (10) (2)

79 (10) (2)

71 (10) (2)

7=2*3+1

3=2*1+1

1=2*0+1

Lucrare: Determinarea viscozitatii cinematice cu viscozimetrul ubbelohde - metoda manuala de determinare Proiect: Modificari biochimice produse de tratamente chimice cu fungicide

1240 (8) Tema: 71 (10) = ? (8)

273 (10) (8)

347 (10) (8)

2A0 (16) Tema: 506 (10) = ? (16)

71 (10) (16)

42=16*2+A                    2755 (10) (16)

Conversia unui numar din baza 2 in baza 10

Ex: 1101 (2) = 1*2³ +1*2² +0*2¹ +1*2⁰ = 13 (10)

1101101 (2) = 1*2⁶ +1*2⁵ +0*2⁴ +1*2³ +1*2² +0*2¹ +1*2⁰ = 109 (10)

0 (2) = 1*2^-1 + 1*2^-2 + 0*2^-3 + 1*2^-4 = 1/2 + 1/4 + 1/16 = 0,8125 (10)

1000,101 (2) =1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*20 + 1*2^-1 + 0*2^-2 +1*2^-3 = 8 +1/2 + 1/8 = 8 + 0 + 0,125 = 8,625 (10)

Conversia unui numar din baza 8 in baza 10

Ex: 1240 (8) = 1*8³ + 2*8² +4*8¹ +0*8⁰ = 512+128+32+0 = 672 (10)

0 (8) = 3*8^-1 + 5*8^-2 = 3/8 + 5/64 = 29/64 = 0,453125

Conversia unui numar din baza 16 in baza 10

Ex: FA5 (16) = 15*16² + 10*16¹ + 5*16⁰ = 4005 (10)

0,2C (16) = 2*16^-1 + 12*16^-2 = 2/16 + 12/256 = 44/256 = 0,171875

EA,B (16)= E*16 +A + B*16^-1 = 14*16 +10+11*1/16=224+10+0,6875=254,6875 (10)

Tema:  533(8) (10)

AC3(16) = ? (10)

11011(2) (10)

Conversia unui numar fractionar dintr-o baza in alta

Daca numarul este supraunitar conversia se face ca si mai sus pentru partea intreaga, iar pentru partea zecimala conversia se face urmind pasii de mai jos. Daca numarul este subunitar, evident are loc o conversie numai pentru partea zecimala.

1. se inmulteste numarul cu noua baza

2. se retine partea fractionara care se inmulteste din nou cu noua baza

3. se repeta operatia pina la obtinerea unei parti fractionare=0

4. partile intregi obtinute vor constitui cifrele numarului in noua baza, numar care se obtine scriind aceste parti intregi succesiv de sus in jos (prima parte intreaga obtinuta este cifra de rang 0..ultima este cifra de rang n)

Observatie:

- daca pentru partea intreaga <> 0 conversia se face exact, pentru partea zecimala exista posibilitatea sa nu se faca exact, adica o fractie rationala intr-o baza sa devina irationala prin conversie la alta baza.

Exemplu: conversia numarului 0.3 din zecimal in binar

0.3*2=0.6 p.i=0, p.z=.6

0.6*2=1.2 p.i=1, p.z=.2

0.2*2=0.4 p.i=0, p.z=.4

0.4*2=0.8 p.i=0, p.z=.8

0.8*2=1.6 p.i=1, p.z=.6 si de aici se repeta periodic

Deci 0.3 (10) = 0 01001) (2) = 0/21+1/22+0/23+0/24+1/25adica se obtine o valoare aproximativa

- trecerea lui 0.125 din zecimal in binar

0.125*2=0.25 p.i=0, p.z=.25

0.25*2 =0.5 p.i=0, p.z=.5

0.5* =1.0 p.i=1, p.z=0 si aici ne oprim

Deci 0.5 (10) = 0 001) (2) = 0/21+0/22+1/23 deci s-a obtinut o reprezentare exacta

Tema:  0 (10)= ? (2)

0 (10)= ? (2)

0,375(10 ? (2)

17 (10)= ? (2)

Conversia unui numar dintr-o baza in alta baza care este putere intreaga a primei baze

Caz particular:

A. Conversia unui numar binar in hexazecimal si invers

Avem urmatoarea corespondenta intre numerele hexa si numerele binare:

hexa binar hexa binar

0 - 0000 8 1000

1 - 0001 9 1001

2 - 0010 10 1010

3 - 0011 11 1011

4 - 0100 12 1100

5 - 0101 13 1101

6 - 0110 14 1110

7 - 0111 15 1111

Conversia propriu-zisa se realizeaza grupind cifrele de la dreapta la stinga cite 4 (tetrade binare-cifre hexa, 2⁴ = 16) si eventual adaugind la stinga un numar de zerouri pentru completarea tetradei.

Ex.: 0101102--- > 00011110---- > 1E (16)

011011101111,001110100100

6 E F , 3 A 4

Conversia inversa se realizeaza simplu inlocuind cifrele hexa cu tetradele binare corespunzatoare.

Putem spune ca pentru a trece un numar dintr-o baza in alta care este putere intreaga si pozitiva a primei baze se grupeaza cifrele de la dreapta la stinga cite n pozitii si, eventual se adauga la stinga zerouri. Se precizeaza ca n satisface relatia:

baza_vecheⁿ = baza_noua

B.     Conversia unui numar din binar in octal

Se grupeaza cifrele cite 3 de la virgula spre stinga pentru partea intreaga si de la virgula spre dreapta pentru partea fractionara si se inlocuiesc triadele formate in echivalentul octal

Ex: 010111010, 001111010

2 7 1 7 2

Operatii aritmetice in diferite sisteme

Regulile dupa care se efectueaza operatiile aritmetice sunt aceleasi in toate sistemele. Pentru efectuarea operatiilor sunt comod de utilizat tabelele de adunare si inmultire a numerelor mai mici decit baza

Ex: Operatii elementare cu numere binre: "+" 0+0=0 "-" 10-1=1 "*" 0*0=0

0+1=1 1-1=0 0*1=0

1+0=1 1-0=1 1*0=0

1+1=10 0-0=0 1*1=1

Ex: Adunare:   15 +13 =28 Baza 10 17 +15=34 Baza 8

1111 + Baza 2 F+D=1C Baza16

1101

------

11100

Scadere: 29-15=14 Baza 10 35-17=16 Baza 8

11101 - Baza 2 1D-F=E Baza 16

1111

--------

1110

Inmultire: 15 * 13=195 Baza 10 17 * Baza 8 F Baza 16

15 D

1111 * Baza 2 ---- ---

1101 113 C3

--------- 17

1111 ------

1111 303

1111

-------------

11000011

Impartire: 156:39=4 Baza 10 234:47=4 Baza 8

234

10011100:100111=100 Baza 2 -----

100111 =

----------

= 00 9C:27=4 Baza 16

00 9C

----- ----

= =

Ex: ACA + (A+F) (16) = 10+ 15= 25=19 (16)

B1F (1+C+1) (16) = 1 + 12+ 1= 14 =E (16)

----- A+B) (16) = 10 + 11 = 21 = 15 (16)

15E9

Adunarea si scaderea numerelor hexazacimale

Aceste operatii se fac simplu tinind cont de transportul/imprumutul dintre ranguri care este citul impartirii rezultatului adunarii/scaderii dintre cifrele hexa ale unui rang la 16 si care se aduna/scade intre ranguri. Cifra hexa a fiecarui rang al rezultatului adumarii/scaderii este data de restul impartirii la 16.

Ex. 2E 7C+ C5 D7 - 1A9C+ E5 -

CDA6 ABCD F2EB BC

-------- ---------- ---------- -----

FC22 1A0A 10D87 29

A (16) + 3 (16) = 10 (10) + 3 (10) = 13 (10) = D (16)

E (16) + F (16) = 14 (10) + 15 (10) = 29 (10) = 1D (16)

B (16) + B (16) = 11 (10) + 11 (10) = 22 (10) = 16 (16)

Tema: Se dau numerele in baza 16

x=17A Sa se efectueze calculele: x+y

y=A4,B52 y+z

z=BAC,54A x+y+z

Se dau numerele in baza 16:

x=A00B,F54 Sa se efectueze calculele: x-y

y=FFE,A7809 y-z

z=13ABC z-x-y