Interpolarea liniara a unei functii - lucrare

Lucrare

Interpolarea liniara a unei functii

Atunci cand se cunoaste expresia analitica a unei functii y = f(x) unde x ia valori pe un domeniu, se poate calcula valoarea ei pentru orice x din domeniul de definitie. In realitate de multe ori apar cazuri cand nu se cunoaste expresia analitica, ci doar cateva puncte prin care trece functia respectiva. Se pune problema de a determina valoarea functiei si pentru alte valori intercalate intre punctele date. Aceasta constituie interpolarea.

Cea mai simpla metoda este interpolarea liniara. Ea prezinta dezavantajul ca aproximeaza cel mai grosolan o functie prin segmente de dreapta, dar este cea mai rapida pentru ca efectueaza cele mai putine calcule.

Daca se dau doua puncte (x₁, y₁) si (x₂, y₂), ecuatia dreptei care trece prin aceste puncte este:

Cu aceasta relatie se poate calcula valoarea y pentru orice punct x aflat intre cele doua puncte x₁ si x₂:

In cazul in care se dau mai multe puncte, se procedeaza la liniarizarea pe portiuni. Astfel se iau doua cate doua puncte si se aplica formula de mai sus.

Algoritmul de programare se poate reprezenta astfel:

Se declara numarul de puncte cunoscute n.

Se declara valorile lui x si y pentru punctele cunoscute: x[i] si y[i] pentru i = 0..n-1.

Se citeste valoarea lui x in care vrem sa determinam functia y.

Intr-un ciclu for cu j luand valori de la 0 la n-2 se compara daca x > x[j] si x < x[j+1], pentru a sti in care subinterval ne aflam. Valoarea lui j pentru care se satisface conditia se memoreaza intr-o variabila k.

Se calculeaza y cu relatia de mai sus unde x₁ = x[k], y₁ = y[k], x₂ = x[k+1], y₂ = y[k+1].

Se scrie y

STOP

Aplicatie:

Se dau punctele:

(1,9), (2,8), (3,5), (4,8), (5,4), (6,6), (7,2), (8,3), (9,5), (10,1).

Sa se calculeze valorile lui y pentru x = 1.25, x = 5.63, x = 9.8, x = 4.24, x = 7.31.