Inele si corpuri

Inele si corpuri

Definitie. O multime nevida , luata impreuna cu doua legi de compozitie

si

se numeste inel daca :

este grup abelian,

este monoid,

                 Distributivitatea : .

Daca a doua operatie a inelului satisface si axioma :

spunem ca A este inel comutativ.

Definitie. Fie un inel, elementul neutru in raport cu prima operatie. Spunem ca este inel fara divizori ai lui zero daca si . Un inel comutativ, cu cel putin doua elemente si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate.

Definitie. Fie si doua inele si . Aplicatia se numeste izomorfism de inele, daca :

i. este functie bijectiva

ii. este morfism de inele, adica : pentru .

Definitie. Un inel se numeste corp daca elementele neutre ale celor doua legi sunt diferite si orice element , diferit de elementul neutru al primei legi este simetrizabil in raport cu cea de a doua lege.

Un corp se numeste comutativ daca a doua lege este comutativa.

Aplicatii BAC 2009

1. Se considera multimea de matrice

a). Sa se arate ca, daca , atunci

b). Sa se arate ca, daca si , atunci sau

c). Admitem cunoscut faptul ca este inel in raport cu adunarea si inmultirea matricelor. Sa se determine elementele inversabile ale acestui inel.

2. Fie inelul

a). Sa se dea exemplu de un numar complex astfel incat si

Lucrare: Determinarea viscozitatii cinematice cu viscozimetrul ubbelohde - metoda manuala de determinare Proiect: Modificari biochimice produse de tratamente chimice cu fungicide

b). Sa se determine elementele inversabile ale inelului

c). Sa se arate ca multimea este parte stabila a lui in raport cu inmultirea.

3. Se considera inelele si .

a). Sa se arate ca, daca si , atunci

b). Sa se arate ca

c). Sa se arate ca nu exista morfisme de inele de la la

4. Se considera cunoscut ca este un inel comutativ, unde si , .

a). Sa se arate ca elementul neutru al legii "" este 4.

b). Sa se determine astfel incat intre inelele si sa existe un izomorfism de forma , .

c). Sa se rezolve in multimea ecuatia .

Inelul claselor de resturi modulo

5. Fie inelul claselor de resturi modulo 21.

a). Sa se arate ca suma elementelor inelului este .

b). Sa se calculeze .

c). Sa se determine numarul elementelor neinversabile ale inelului.

6. Se considera corpul si .

a). Sa se arate ca .

b). Sa se arate ca, pentru orice exista astfel incat .

c). Sa se arate ca .

7. Se considera multimile de clase de resturi si .

a). Sa se rezolve in corpul ecuatia .

b). Sa se determine ordinul elementului in grupul .

c). Sa se arate ca nu exista niciun morfism de grupuri cu .

8. Se considera multimea .

a). Sa se determine numarul elementelor multimii .

b). Sa se arate ca , pentru orice .

c). Sa se determine numarul matricelor din multimea care au determinantul nul.

9.Se considera multimea .

a). Sa se determine numarul elementelor multimii .

b). Sa se dea exemplu de matrice cu proprietatea ca si .

c). Sa se determine numarul solutiilor ecuatiei , .

10. Se considera multimea , submultimea si matricele si .

a). Sa se verifice ca daca , atunci daca si numai daca .

b). Sa se arate ca multimea este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din .

c). Sa se rezolve ecuatia , unde .

11. Se considera inelul unde

a). Sa se determine numarul elementelor multimii

b). Sa se rezolve in multimea ecuatia

c). Sa se arate ca nu este corp.

12. Se considera multimea .

a). Sa se determine numarul elementelor multimii .

b). Sa se arate ca , pentru orice .

c). Sa se arate ca este un grup, unde "" este inmultirea mtricelor.

13. Se considera multimea .

a). Sa se verifice ca daca si , atunci .

b). Sa se arate ca este un grup cu 10 elemente.

b). Sa se determine numarul elementelor de ordinul 2 din grupul .

14. Se considera multimea de matrice .

a). Sa se determine numarul elementelor multimii .

b). Sa se arate ca, pentru orice , sau .

c). Sa se determine numarul matricelor din multimea cu proprietatea .

15. Se considera multimea .

a). Sa se determine numarul elementelor multimii .

b). Sa se arate ca este parte stabila in raport cu inmultirea matricelor din

c). Sa se rezolve ecuatia , cu .

16. Fie multimea de matrice

a). Sa se dea un exemplu de o matrice nenula din multimea care are determinantul .

b). Sa se arate ca exista o matrice nenula astfel incat

c). Sa se rezolve ecuatia

17. Fie multimile si .

a). Sa se determine elementele mutimii .

b). Fie astfel incat . Sa se arate ca .

c). Sa se arate ca este grup abelian in raport cu operatia de inmultire a matricelor.

18. Se considera multimea .

a). Sa se determine numarul de elemente al multimii .

b). Sa se arate ca este un grup in raport cu operatia de inmultire a matricelor din .

c). Sa se arate ca , oricare ar fi .