Probabilitatea conditionata - intuitiva, conditionata finit aditiva data prin definitie axiomatica

Independenta evenimentelor.

1 Probabilitatea conditionata intuitiva

Vorbim despre probabilitatea conditionata, cand aparitia unui eveniment A este conditionata de aparitia unui alt eveniment B .Ne intereseaza probabilitatea de realizare a evenimentului A in cazul cand evenimentul B s-a realizat. De exmplu, consideram o cutie in care avem in total n piese, dintre care p piese sunt bune (0<p n), iar piese sunt rebut .

Presupunem ca dintre cele piese bune avem piese de calitate foarte bune (0). Fie B evenimentul ca sa extragem din cutie o piesa buna, iar A evenimentul ca sa extragem din cutie o piesa foarte buna.Avem conform formulei probabilitatii clasice si

Observam ca realizarea evenimentului A este condotionata de aparitia evenimentului B . In acest caz chiar avem .

2 Probabilitatea conditionata finit aditiva data prin definitie axiomatica

Fie o algebra de evenimente, iar o probabilitate finit aditiva, iar un eveniment fixat, astfel incat

Teorema 2.1 Functia data prin formula pentru orice este tot o probabilitate finit aditiva. Mentionam ca functia o vom nota si cu adica pentru orice eveniment

Demonstratie Trebuie sa aratam ca functia verifica axiomele i) si ii) din definitia 2.4.1. Intr-adevar :

i) ,

ii) daca sunt incompatibile , atunci

deoarece .

Definitia 2.1 Probabilitatea finit aditiva data de formula , se numeste probabilitate conditionata .

Exemplu : Deoarece este tot o probabilitate finit aditiva, se poate aplica si pentru teoria axiomatica a lui Kolmogorv . Conform teoremei 2.4.1 obtinem ca , iar conform teoremei 2.4.6 obtinem ca

pentru orice

Din formula rezulta ca

Aceasta egalitate are urmatoarea generalizare:

Teorema 2.2 (formula de inmultire a probabilitatilor conditionate)

Daca este un sistem finit de evenimente, atunci

(se presupune ca probabilitatilor conditionate care apar in formula exista).

Teorema 2.3 (formula probabilitatii totale)

Fie un sistem complet de evenimente cu pentru orice , iar .un eveniment dat. Atunci are loc urmatoarea formula :

Demonstratie Avem pe rand:

deoarece este un sistem complet de evenimente, de unde rezulta ca formeaza o descompunere a evenimentului B .

Teorema 2.4 (formula lui Bayes)

Fie un sistem complet de evenimente cu pentru orice iar un eveniment fixat astfel incat .Atunci

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

Demonstratie . Conform formulei probabilitatii totale avem la numitor :

,

iar la numarator:

.

3 Probabilitatea conditionata -aditiva

data prin definitie axiomatica

Fie o -algebra de evenimente, iar , o probabilitate -aditiva, iar un eveniment fixat, astfel incat

Teorema 3.1 Functia data prin formula

pentru orice este tot o probabilitate -aditiva.

Definitia 3.1 Probabilitatea -aditiva data de formula Pentru orice se numeste probabilitate conditionata.

4 Independenta evenimentelor

Fie o algebra de evenimente, iar doua evenimente date astfel incat si In cazul cand aparitia evenimentului A nu este conditionata de aparitia evenimentului B , avem ,adica ceea ce este echivalent cu egalitatea

Din aceasta ultima egalitate se obtine adica aparitia evenimentului B nu este conditionata de aparitia evenimentului A .

In acest caz zicem ca evenimentele A si B sunt reciproc independente , sau simplu independente.

Definitia 4.1 Vom spune ca evenimentele si sunt independente , daca

Observatia Nu exista nici o legatura intre notiunea de independenta a doua evenimente si notiunea de incompatibilitate a doua evenimente.

Teorema 4.1.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i)            A si B sunt evenimente independente,

ii)          A si sunt evenimente independente,

iii)        si B sunt evenimente independente,

iv)        si sunt evenimente independente.

Definitia 4.2. Sistemul de evenimente .se zice ca este independent, daca pentru orice

Definitia 4.3 Evenimentele A , B, si C se numesc independente in totalitate daca au loc urmatoarele relatii.:

si

Mentionam ca la independenta totala a evenimentelor A, B si C nu are loc numai independenta a doua cate doua, ci se cere : evenimentul A si B sa fie independent de evenimentul C, adica ceea ce ne conduce la relatia La fel evenimentul B si C este independent de A, respectiv evenimentul C si A este independent de B, care ne duc la aceeasi relatie :

Exemplu: Intr-o uzina pe o piesa se executa trei faze de lucru, fiecare faza pe o alta masina de prelucrat piese. Probabilitatea ca prima faza de lucru sa corespunda normelor prevazute este 0 , cea de a doua faza 0,94 , iar cea de a treia 0,92 . Care este probabilitatea ca o piesa prelucrata pe cele trei faze sa corespunda normelor prescrise?

Fie acel eveniment cand in faza a i-a obtinem o piesa bine prelucrata . Putem presupune independenta totala a sistemului de evenimente .Prin urmare probabilitatea cautata este :

Definitia 4.4 Evenimentele , cu , se numesc independente in totalitate , daca pentru orice si pentru orice parte de evenimente , unde cu si avem:

.

Teorema 4.2 Daca evenimentele sunt independente in totalitate, atunci si evenimentele sunt independente in totalitate.

Consecinta Daca evenimentele sunt independente in totalitate atunci si evenimentele sunt independente in totalitate.

Definitia 4.5. Sistemul de evenimente se numeste sistem complet independent de evenimente, daca orice parte finita de evenimente a sistemului dat este independent in totalitate.

Consecinta Daca sistemul de evenimente Este complet independent atunci si sistemul de evenimente este complet independent.

Teorema 4.3( Teorema lui Borel-Cantelli

i)            Daca S<+, atunci ,

ii)          Daca S si este un sistem complet independent, atunci

Demonstratie: i) Conform definitiei 1.2.9 avem

pentru orice . Probabilitatea -aditiva P are proprietatea de monotonie , deci:

Dar , deoarece probabilitatea -aditiva are proprietatea de -subaditivitate. Prin urmare

Insa conform presupunerii seria este convergenta, ceea ce implica ca restul seriei tinde la zero, adica Trecand la limita in inegalitatea dupa se obtine

.

Deci .

ii) Conform definitiei 1.2.9 avem

. Deci

Conform presupunerii P este o probabilitate -aditiva , deci verifica axioma continuitatii. Deoarece sirul de evenimente este un sir monoton descrescator de evenimente obtinem ca

Totodata sirul de evenimente cu este un sir monoton crescator de evenimente, deci

.

Prin urmare

.

Conform legilor lui de Morgan, definitiei 3.4.5 si consecintei 3.4.2 avem

Folosind inegalitatea , cu se obtine ca

               .

Cum avem , deci

=0

Prin urmare :

adica

.