Inegalitati probabilistice - inegalitatea probabilistica a lui Hölder, minkowski

1. Inegalitatea probabilistica a lui H lder

In algebra este bine cunoscuta urmatoarea inegalitate sub numele de inegaliatea lui Hölder

unde sunt numere reale, iar sunt doua numere reale pozitive pentru care .Aceasta inegalitate de tip Hölder pentru functiile integrabile Riemann(mai general integrabile Lebesque) are loc relatia :

Inegalitatea lui Holder apare si in teoria probabilitatilor sub forma urmatoare:

Teorema 1.1. Daca sunt doua variabile aleatoare, atunci :

,

unde p, q > 0 sunt doua numere reale pozitive, pentru care , iar M este operatorul de valoare medie definit in paragraful 9.1.

Teorema: 1.2 Daca sunt doua variabile aleatoare reale atunci .

Demonstratie: Daca p = q = 2 , atunci , deci putem aplica inegalitatea probabilistica a lui Holder : , adica .

Din inegalitatea lui Schwartz se obtine inegalitatea lui Cauchy-Buniakowski :

Teorema 1.3. Daca este o variabila aleatoare reala , atunci .

Demonstratie : In inegalitatea lui Shawartz din teorema 10.1.2. alegem variabila aleatoare reala , unde =1 pentru orice .Atunci , iar . Astfel din inegalitatea lui Schawartz obtinem .

O alta demonstratie se poate da prin folosirea dispersiei si a teoremei 9.2.1.

Consecinta Din teoremele 10.1.2. si 10.1.3. prin particularizare, asemanator consecintei se pot obtine inegalitatile lui Cauchy-Schwartz in forma algebrica.

2. Inegalitatea probabilistica a lui Minkowski

In alegbra este bine cunoscuta urmatoarea inegaliate sub numele de inegalitatea lui Minkowski : pentru numerele reale si numar real dat avem :

.

Aceasta inegalitate se extinde la integrale si in analiza matematica apare urmatoarea inegalitate de tip Minkowski : pentru functiile integrabile Riemann (mai general integrabile Lebesque ) are loc :

pentru orice numarul real.

Inegalitatea lui Minkowski apare si in teoria probabilitatilor sub forma urmatoare.

Teorema 2.1. Daca sunt doua variabile aleatoare reale , iar este un numar real atunci :

.

3 Inegalitatile lui Marcov, Cebisev si Kolmogorov

Fie o algebra de evenimente cu evenimentul sigur o probabilitate aditiva, iar variabila aleatoare reala.

Teorema 3.1 (Inegalitatea lui Marcov). Daca f este o variabila aleatoare pozitiva, (adica penrtu orice ), care admite valoarea medie iar este constanta reala data, atunci are loc urmatoarea inegalitate:

.

Demonstratie:

i)        Daca este o variabila aleatoare sinpla data de tabelul de repartitie , atunci pentru orice . Avem :

.

ii)      Daca este o variabila aleatoare discreta data de tabelul de repartitie , atunci pentru orice .Avem:

.

iii)    Daca este o variabila aleatoare reala continua si pozitiva cu densitatea de probabilitate , atunci pentru orice Intra-devar : pentru orice .Deci pentru orice . Avem :

Teorema 3.2.(Inegalitatea lui Cebasev ) Daca este o variabila aleatoare reala avind valoarea medie si dispersia atunci

pentru orice numar real.

Demonstratie 1. Fie variabila aleatoare reala data de .Atunci , adica pentru orice .Alegem cu numar real si aplicam inegalitatea lui Marcov pentru f :

.

Insa :

si conform definitiei 9.2.1. avem .