Functiile trigonometrice ale unghiului orientat - definitia functiilor trigonometrice

Unghiul format de doi vectori si de un vector cu o axa

Dandu-se vectorii si dintr-un punct arbitrar O se construiesc vectorii = si = . Prin definitie, oricare dintre unghiurile cu latura initiala OA si latura finala OB se numeste unghiul format de vectorul cu vectorul si se noteaza . Prin urmare, trebuie sa se faca distinctie intre unghiul si . Daca dreptele (OA) si (OB) sunt perpendiculare, atunci vectorii si se numesc perpendiculari sau ortogonali, notandu-se, notandu-se (sau ).

Unghiul format de un vector cu o axa Ox se defineste ca unghiul format de vector cu versorul axei si se noteaza .

2.Definitia functiilor trigonometrice

Fie xOy un system ortogonal de axe de coordonate in planul orientat si un unghi situat in acest plan. Fara sa restrangem generalitatea putem presupune ca latura initiala a unghiului este semidreapta Ox. Sa notam cu OM latura sa finala. In acest fel se poate considera ca este unghiul format de raza vectoare cu axa Ox.

Daca a reprezinta proiectia razei vectoare pe axa absciselor

b reprezinta proiectia razei vectoare pe axa ordonatelor

r reprezinta modulul razei

Atunci este valabila urmatoarea :

Teorema Rapoartele: , , , daca exista, nu depind de modulul razei vectoare, ci depind numai de unghiul

Pentru a demonstra impreuna aceasta teorema va propun sa completati spatiile libere(urmariti desenul)

pentru ca.

deci La fel aratam ca .din asemanarea triunghiurilor..

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

Prelucrand proportiile obtinem , , si

Ceea ce demonstreaza complet teorema

Teorema anterioara ne permite sa definim functiile trigonometrice pentru unghiuri orientate fiindca rapoartele nu depind de modulul razei vectoare , ci depind numai de unghiul , notatiile : sin, cos, tg , ctg, sunt justificate.

Definitie Fie unghiul dintre raza vectoare si axa absciselor (un numar real arbitrar)

1)Sinusul unghiului se numeste raportul dintre proiectia razei vectoare pe axa ordonatelor si modulul sau:

2)Cosinusul unghiului se numeste raportul dintre proiectia razei vectoare pe axa absciselor si modulul sau :

(2)

3)Tangenta unghiului se numeste raportul dintre proiectia razei vectoare pe axa ordonatelor si proiectia sa pe axa absciselor :

(3)

4)Cotangenta unghiului se numeste raportul dintre proiectia razei vectoare pe axa absciselor si proiectia sa pe axa ordonatelor:

(4)

Pentru fiecare unghi , rapoartele , daca exista, sunt numere reale unic determinate . De aceea , aceste rapoarte sunt functii de unghiul . Se spune ca sin, cos, tg, ctg, sunt functii trigonometrice ale unghiului . Unghiul se numeste argumentul functiei trigonometrice, iar valorile rapoartelor , se numesc, respectiv, valorile functiilor trigonometrice sinus, cosinus, tangenta si cotangenta ale unghiului.

Exemplu 1 Sa se calculeze functiile trigonometrice pentru unghiurile de si

Folosind lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic cu unghiuri de si semnele coordonatelor unui punct in cadranele II si IV obtinem:

       

          

Rezumat

Orice numar real reprezinta masura unui unghi orientat masurat in radiani.

Oricarui numar real ii corespunde un singur punct pe cercul trigonometric.

Oricarui punct de pe cercul trigonometric ii corespund o infinitate de numere reale de forma .

Pentru orice punct de pe cercul trigonometric definim sinusul numarului real corespunzator-ordonata punctului si cosinusul numarului real- abscisa punctului

Concluzii

Am facut astfel un pas important in cunosterea functiilor trigonometrice circulare, functii care fundamenteaza matematic studiul undelor si oscilatiilor. .Matematicianul francez J.B.FOURIER este cel ce a facut progresul decisiv in intelegerea acestor fenomene . Daca ridicati din umeri, voi numi doar cateva intrebuintari, fara de care,recunoasteti, nu ati putea trai. Telefonul,radioul,televiziunea si orice se transmite prin unde.

Solutiile exercitiilor din paragraful 1.3

Ex1:a),b),c)

Ex2:

Ex3: