![]()
Matematica
Functia omografica si aplicatia ei in studiul sirurilor recurenteFunctia omografica si aplicatia ei in studiul sirurilor recurente Foarte multe probleme cu un grad ridicat de dificultate intalnite la diverse concursuri si olimpiade de matematica se refera la sirurile definite prin relatii de recurenta de forma: (1) Daca
sirul Dar functia
sir (2) In felul acesta sirurile definite de (1) pot fi studiate mult mai usor si acest mod de abordare poate fi generalizat conducand la probleme mai noi de analiza matematica. In continuare, se pun in evidenta proprietati ale functiei omografice care pot fi folosite in rezolvarea eleganta a problemelor de tipul (1). 1. Proprietati importante ale functiei omografice Functia omografica din analiza matematica este o notiune fundamentala in geometrie prin transformarea omografica asociata, iar in algebra multimea transformarilor omografice formeaza grup in raport cu operatia de compunere a functiilor. Fie functia Functia omografica are urmatoarele proprietati. P1. Functia omografica este bijectiva; P2. Punctul P3. Daca P4. Functia omografica este
involutiva ( P5. Daca functia omografica
(2) definita si continua pe intervalul a) crescator daca b) descrescator, daca Extensia
bijectiva (3) 2. Omografia Se considera punctualele (M) si (M') avand acelasi suport si anume dreapta ("d"). Se considera sistemul de coordonate carteziene definit de
functia bijectiva Fie M si M' punctele generatoare ale punctualelor (M) si (M') avand aceeasi
dreapta suport d. Se noteaza Prin conventie se ataseaza dreptei suport d,
tinand cont de (3), un nou punct a)
considerat
in punctuala (M') este imaginea punctului b)
considerat
in punctuala (M) sa aiba ca imagine punctul Definitie. Se numeste transformare omografica
sau omografie a dreptei proiective Observatie. a) Omografia b) Asa cum s-a aratat c) Punctele L si L' se numesc
puncte limita ale omografiei d) Nu se folosesc termeni si
notatii diferite pentru extensia In continuare se
pun in evidenta cateva proprietati ale omografiei P1. O omografie intre doua punctuale
d=(M) si d'=(M') cu acelasi suport P2. O omografie P3. Omografiile dreptei proiective 3. Punctele
duble ale omografiei
Se considera punctualele (4) Fie In cazul omografiilor suprapuse se pun urmatoarele probleme. a) problema punctelor duble (unite); b) problema omografiilor involutive sau a
involutiilor dreptei proiective Definitie. Punctul Observatie. Daca a) Daca b) Daca Teorema. Biraportul format de perechea de puncte
duble distincte Observatie. a) Tinand cont de teorema anterioara se obtine: (5) b) Tinand cont de (5) se obtine
ecuatia omografiei generale intre punctualele suprapuse in functie de
(6) c) Tinand cont de (6) si de P3
din paragraful 1 rezulta ca o
omografie generala ( 4. Clasificarea
omografiilor. Ecuatia caracteristica a unei omografii. Forma
canonica a omografiilor parabolice ( Daca omografia intre doua punctuale cu acelasi suport
este data de (2) sau (3), punctele fixe ale aplicatiei omografice (7) Deci Discriminantul ecuatiei (7) este: (8) Cu aceste date omografiile se clasifica, astfel: A.
Daca
B.
Daca
C.
Daca
Dupa cum s-a
observat biraportul invariant (9) (10) ( Tinand cont
de (5) si de faptul ca (11) Definitie. O omografie Tinand cont de definitia anterioara este evidenta teorema: Teorema. Daca omografiile 5.
Radacina primitiva a ecuatiei binome Fie Cn = P1. (Cn, .) este grup comutativ, subgrup al grupului (C, .). Definitie. Un element Observatie. a) Functia omografica b) c) Forma canonica (5) a omografiei
generale ( Definitie. Se numeste radacina
primitiva a ecuatiei binome Radacinile ecuatiilor binome au urmatoarele proprietati: P1. Fiecare radacina a
ecuatiei binome P2. O radacina comuna a
ecuatiilor binome P3. Radacinile primitive ale
ecuatiei binome P4. Daca P5. Sirul infinit al puterilor succesive
ale radacinilor primitive P6. O conditie necesara si
suficienta ca functia omografica Folosind forma
canonica (5) pornind de la
Prin inmultirea acestor relatii si simplificand, se obtine: (12) Din (12) fiind
date punctele duble distincte ale omografiei, ordinea lor si biraportul
invariant (13) Functiile
omografice cu punctele fixe care coincid ( 6. Funtii omografice involutive Definitie. Fie Daca toate
perechile unei omografii Observatie. O involutie este o omografie
periodica de perioada Tinand cont de definitia si observatia anterioara rezulta urmatoarea proprietate. P1. O conditie necesara si
suficienta ca omografia 7. Exemple. 1) Fie sirul definit de relatia de
recurenta Sa se
determine Rezolvare Se considera
functia omografica Aceasta
omografie are puncte fixe date de ecuatia Ecuatia
caracteristica a acestei omografii este: Folosind aceste date,
tinand cont de (12) se obtine: 2) Un sir Sa se arate sirul este convergent si sa se calculeze limita sa. (Olimpiada de matematica - Austria , 1979). Rezolvare
Trecand la
limita in relatia de recurenta, se obtine 3) Se considera sirul Rezolvare Se considera
functia omografica: Deoarece, cel mai
mic numar natural Conform cu P6
din paragraful 5 , functia omografica 4) Sa se determine o conditie
necesara si suficienta ca sirul a) periodic, de perioada b) periodic, de perioada Rezolvare Se considera
functia omografica (1) Biraportul
invariant (2) Pentru ca
omografia a) (3) Aplicand
relatiile lui Vičte ecuatiei (1) ( (4) Deci (4) este o
conditie necesara si suficienta ca sirul b)
Deci inlocuind (8) Tinand cont de (7) si (8) se obtine: (9) Deci (9)
reprezinta o conditie necesara si suficienta ca
sirul 5) Fie sirul definit prin Sa se arate
ca sirul este periodic, de perioada Rezolvare Se considera
omografia generala Tinand cont de exercitiul 4a) se observa ca in acest caz:
Deci sirul
definit recurent in acest exercitiu este periodic de perioada Atunci: Dar, Atunci, Observatie. Procedand in mod analog ca in
exercitiul 4) , conditia necesara si suficienta ca
sirul definit recurent de relatia Bibliografie
|