Functia omografica si aplicatia ei in studiul sirurilor recurente

Functia omografica si aplicatia ei in studiul sirurilor recurente

Foarte multe probleme cu un grad ridicat de dificultate intalnite la diverse concursuri si olimpiade de matematica se refera la sirurile definite prin relatii de recurenta de forma:

(1) si .

Daca sirul este dat de unde si daca este definit de relatia (1) se scrie atunci , iar daca atunci .

Dar functia sir este o functie discontinua, si implicit functia este discontinua. Orice functie discontinua nu este derivabila si deci derivata si proprietatile ei nu pot fi folosite in studiul functiei . De aceea, se pune problema prelungirii functiei la multimea si astfel se obtine:

(2) , numita functie omografica.

In felul acesta sirurile definite de (1) pot fi studiate mult mai usor si acest mod de abordare poate fi generalizat conducand la probleme mai noi de analiza matematica.

In continuare, se pun in evidenta proprietati ale functiei omografice care pot fi folosite in rezolvarea eleganta a problemelor de tipul (1).

1. Proprietati importante ale functiei omografice

Functia omografica din analiza matematica este o notiune fundamentala in geometrie prin transformarea omografica asociata, iar in algebra multimea transformarilor omografice formeaza grup in raport cu operatia de compunere a functiilor.

Fie functia , . Se noteaza . Se considera . Aceasta functie poarta denumirea de functie omografica.

Functia omografica are urmatoarele proprietati.

P1. Functia omografica este bijectiva;

P2. Punctul este punct fix al functiei omografice daca este solutie a ecuatiei ;

P3. Daca functia omografica este strict crescatoare; daca functia omografica este strict descrescatoare;

P4. Functia omografica este involutiva () daca si numai daca ;

P5. Daca functia omografica (2) definita si continua pe intervalul este strict crescatoare pe atunci sirul definit prin primul termen si prin (1) este:

a)     crescator daca ;

b)     descrescator, daca .

Extensia bijectiva a functiei omografice este:

(3) ,

2. Omografia intre doua punctuale cu acelasi suport, asociata functiei

Se considera punctualele (M) si (M') avand acelasi suport si anume dreapta ("d").

Se considera sistemul de coordonate carteziene definit de functia bijectiva , este coordonata punctului M.

Fie M si M' punctele generatoare ale punctualelor (M) si (M') avand aceeasi dreapta suport d. Se noteaza si . Dupa cum s-a vazut anterior punctul nu are imagine prin functia omografica , in acelasi timp nu exista a.i. .

Prin conventie se ataseaza dreptei suport d, tinand cont de (3), un nou punct notat in punctuala (M) si in punctuala (M'), astfel incat:

a)           considerat in punctuala (M') este imaginea punctului cu abscisa , adica ;

b)           considerat in punctuala (M) sa aiba ca imagine punctul cu abscisa , adica . Astfel, se obtine dreapta largita sau dreapta proiectiva . este punctul de la infinit sau punctul impropriu al dreptei d.

Definitie. Se numeste transformare omografica sau omografie a dreptei proiective functia unde .

Observatie. a) Omografia este asociata extensiei a functiei omografice si invers.

b) Asa cum s-a aratat si unde si .

c) Punctele L si L' se numesc puncte limita ale omografiei .

d) Nu se folosesc termeni si notatii diferite pentru extensia a functiei omografice si pentru transformarea omografica asociata. Astfel, prin se intelege fie functia omografica, fie transformarea omografica asociata, iar prin punct se intelege numarul real (inclusiv ) fie punctul .

In continuare se pun in evidenta cateva proprietati ale omografiei .

P1. O omografie intre doua punctuale d=(M) si d'=(M') cu acelasi suport sau nu, este determinata prin trei perechi de puncte corespunzatoare.

P2. O omografie intre doua punctuale d=(M) si d'=(M') cu acelasi suport sau nu, pastreaza biraportul, adica , unde .

P3. Omografiile dreptei proiective formeaza un grup.

3. Punctele duble ale omografiei , intre punctuale suprapuse.

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

Se considera punctualele si cu acelasi suport a.i. (se presupune ca punctualele sunt suprapuse dar au individualitate proprie in ceea ce priveste omografia ) .

(4) Fie data prin (3).

In cazul omografiilor suprapuse se pun urmatoarele probleme.

a)     problema punctelor duble (unite);

b)     problema omografiilor involutive sau a involutiilor dreptei proiective .

Definitie. Punctul se numeste punct dublu sau punct unit al omografiei (4) intre doua punctuale suprapuse daca si numai daca .

Observatie. Daca este ecuatia omografiei din egalitatea rezulta ca si atunci se obtine . Asadar:

a)     Daca omografia are doua puncte duble distincte de abscise si se numeste omografie generala.

b)     Daca omografia se numeste omografie parabolica.

Teorema. Biraportul format de perechea de puncte duble distincte si o pereche oarecare de puncte corespunzatoare este constant si se noteaza .

Observatie. a) Tinand cont de teorema anterioara se obtine:

(5) expresie numita forma canonica a omografiei generale ();

b) Tinand cont de (5) se obtine ecuatia omografiei generale intre punctualele suprapuse in functie de si .

(6) .

c) Tinand cont de (6) si de P3 din paragraful 1 rezulta ca o omografie generala () este strict crescatoare daca si strict descrescatoare daca .

4. Clasificarea omografiilor. Ecuatia caracteristica a unei omografii. Forma canonica a omografiilor parabolice ().

Daca omografia intre doua punctuale cu acelasi suport este data de (2) sau (3), punctele fixe ale aplicatiei omografice sau sunt date de ecuatia:

(7) .

Deci si .

Discriminantul ecuatiei (7) este:

(8) unde .

Cu aceste date omografiile se clasifica, astfel:

A.     Daca rezulta ca . In acest caz, omografia se numeste hiperbolica.

B.     Daca rezulta ca . In acest caz, omografia se numeste parabolica.

C.     Daca rezulta ca . In acest caz, omografia se numeste eliptica.

Dupa cum s-a observat biraportul invariant are o foarte mare importanta in studiul omografiilor si el este dat de relatia

(9) ; si sunt de fapt radacinile ecuatiei (10').

(10) se numeste ecuatia caracteristica a omografiei.

(10') este echivalenta cu (10).

Tinand cont de (5) si de faptul ca se obtine:

(11) numita forma canonica a omografiei parabolice.

Definitie. O omografie intre punctele unei drepte se numeste directa (indirecta) dupa cum functia omografica asociata omografiei este crescatoare (descrescatoare).

Tinand cont de definitia anterioara este evidenta teorema:

Teorema. Daca omografiile , sunt indirecte atunci omografia este directa.

5. Radacina primitiva a ecuatiei binome . Involutii.

Fie C_n = unde .

P1. (C_n, .) este grup comutativ, subgrup al grupului (C, .).

Definitie. Un element al grupului (G, .) are perioada , daca este cel mai mic numar natural nenul in asa fel incat .

Observatie. a) Functia omografica este de perioada , daca este cel mai mic numar natural in asa fel incat ;

b) C este de perioada sau este radacina primitiva de indice a unitatii daca si este cel mai numar natural cu aceasta proprietate

c) Forma canonica (5) a omografiei generale () permite sa se stabileasca perioada unei omografii (si a functiei omografice asociate) cu ajutorul radacinilor primitive ale ecuatiei binome .

Definitie. Se numeste radacina primitiva a ecuatiei binome , fiecare radacina a ecuatiei care nu este radacina a nici unei ecuatiei binome de grad mai mic decat .

Radacinile ecuatiilor binome au urmatoarele proprietati:

P1. Fiecare radacina a ecuatiei binome este si radacina a ecuatiei binome daca divide pe .

P2. O radacina comuna a ecuatiilor binome si este si radacina a ecuatiei binome unde este c.m.m.d.c. al numerelor si .

P3. Radacinile primitive ale ecuatiei binome sunt unde ia toate valorile prime cu si mai mici ca .

P4. Daca este o primitiva a ecuatiei binome atunci radacinile ecuatiei sunt oricare ar fi . Cu alte cuvinte radacina primitiva a ecuatiei binome este element generator al grupului (C_n, .).

P5. Sirul infinit al puterilor succesive ale radacinilor primitive de indice ale ecuatiei binome este periodic de perioada .

P6. O conditie necesara si suficienta ca functia omografica cu punctele duble distincte si omografia asociata sa fie periodica de perioada , este ca sa fie radacina primitiva de indice a ecuatiei .

Folosind forma canonica (5) pornind de la sau . Se obtine:

,

Prin inmultirea acestor relatii si simplificand, se obtine:

(12) .

Din (12) fiind date punctele duble distincte ale omografiei, ordinea lor si biraportul invariant , se poate calcula in functie de si se obtine:

(13) .

Functiile omografice cu punctele fixe care coincid () , si omografiile parabolice asociate nu pot fi periodice, cum poate fi observat din (11).

6. Funtii omografice involutive

Definitie. Fie o omografie , o pereche de puncte corespunzatoare se numeste pereche involutiva, daca exista simultan adica, daca .

Daca toate perechile unei omografii sunt involutive, atunci omografia se numeste omografie involutiva sau involutie.

Observatie. O involutie este o omografie periodica de perioada .

Tinand cont de definitia si observatia anterioara rezulta urmatoarea proprietate.

P1. O conditie necesara si suficienta ca omografia intre doua punctuale suprapuse data de (3) sa fie involutiva este: .

7. Exemple.

1) Fie sirul definit de relatia de recurenta si .

Sa se determine .

Rezolvare

Se considera functia omografica , . Se observa ca: .

Aceasta omografie are puncte fixe date de ecuatia . Deci omografia este hiperbolica si si sunt puncte fixe.

Ecuatia caracteristica a acestei omografii este: . Deci . Biraportul invariant asociat acestei omografii este: .

Folosind aceste date, tinand cont de (12) se obtine: .

2) Un sir este definit in modul urmator: .

Sa se arate sirul este convergent si sa se calculeze limita sa. (Olimpiada de matematica - Austria , 1979).

Rezolvare

. Din rezulta ca este crescatoare, si cum conform cu P5 din paragraful 1, rezulta ca sirul este descrescator si este marginit interior de , deci convergent.

Trecand la limita in relatia de recurenta, se obtine .

3) Se considera sirul , si , . Sa se arate ca sirul este periodic si sa se determine perioada sa. (Baraj 1972 - Liviu Pirsan).

Rezolvare

Se considera functia omografica: . Se observa ca . Punctele duble ale omografiei sunt radacini ale ecuatiei . Deci , Biraportul invariant al omografiei eliptice este adica .

Deoarece, cel mai mic numar natural pentru care este , este radacina primitiva a unitatii .

Conform cu P6 din paragraful 5 , functia omografica si restrictia ei sirul este periodic de perioada .

4) Sa se determine o conditie necesara si suficienta ca sirul definit recurent prin relatia sa fie :

a)     periodic, de perioada ;

b)     periodic, de perioada .

Rezolvare

Se considera functia omografica . Dupa cum se stie punctele fixe ale acestei aplicatii omografice sunt radacinile ecuatiei:

(1) .

Biraportul invariant al omografiei generale () este dat de relatia:

(2) .

Pentru ca omografia cu puncte duble distincte () sa fie periodica de perioada trebuie ca sa fie radacina primitiva de indice a ecuatiei (aceasta este o conditie necesara si suficienta ).

a) implica , . Tinand cont de (2) aceasta egalitate devine:

(3) .

Aplicand relatiile lui Vičte ecuatiei (1) () si inlocuind in (3) se obtine:

(4) .

Deci (4) este o conditie necesara si suficienta ca sirul sa fie periodic de perioada .

b) implica () (5). Se stie ca unde si sunt radacinile ecuatiei:

(6), .

Deci inlocuind in ecuatia (5), se obtine (7) . Aplicand relatiile lui Vičte ecuatiei (6), se obtine:

(8)   .

Tinand cont de (7) si (8) se obtine:

(9) .

Deci (9) reprezinta o conditie necesara si suficienta ca sirul sa fie periodic de perioada .

5) Fie sirul definit prin si prin relatia de recurenta: .

Sa se arate ca sirul este periodic, de perioada si sa se calculeze suma .

Rezolvare

Se considera omografia generala , unde . Se observa ca .

Tinand cont de exercitiul 4a) se observa ca in acest caz:

.

Deci sirul definit recurent in acest exercitiu este periodic de perioada .

Atunci: .

Dar, .

Atunci, .

Observatie. Procedand in mod analog ca in exercitiul 4) , conditia necesara si suficienta ca sirul definit recurent de relatia , sa fie recurent de perioada este: .

Bibliografie

1. D.M. Batinetu: "Siruri", Ed. Albatros, Bucuresti, 1979;
2. C. Avadanei, N. Avadanei, C. Boros, C. Ciuca: "De la matematica elementara spre matematica superioara", Ed. Academiei R.S.R., Bucuresti, 1987.