Formula lui Taylor

Formula lui Taylor

Fie un interval si Desemnam prin multimea functiilor de n ori derivabile si cu derivata de ordinul n, , continua pe I.Pentru n = 0, este multimea functiilor continue pe I.Daca spunem ca f este de clasa pe I.Daca pentru orice spunem ca f este indefinit derivabila pe I sau ca f este de clasa pe I.Astfel

Fie o functie derivabila de n+1 ori intr-un punct .Polinomul

se numeste polinomul lui Taylor de gradul n, asociat functiei f in punctul .Daca pentru orice notam atunci avem

sau :

Aceasta egalitate se numeste formula lui Taylor de ordinul n a functiei f in vecinatatea punctului iar se numeste restul de ordinul n al formulei lui Taylor si se poate exprima prin urmatoarele forme:

(a). numit restul sub forma lui Lagrange.

(b). unde numit restul sub forma Peano-Young.

Daca in formula lui Taylor se ia se obtine formula lui Mac Laurin:

unde

(a este restul sub forma lui Lagrange al formulei lui Mac Laurin.

(b este restul sub forma Peano-Young al formulei lui Mac Laurin.

Formula lui Leibniz.Aceasta formula generalizeaza pe aceea care da derivate intai a unui produs de doua functii derivabile.

Teorema: Fie ambele derivabile de n ori.Avem

.

Demonstratie.    Formula se stabileste din aproape in aproape. Ea este adevarata pentru n = 1.Admitand ca este valabila pentru ordinal q de derivare, se arata printr-o noua derivare ca ea este valabila si pentru ordinul q+1, deoarece coeficientii binomiali au proprietatea:

Exemplu: Sa se afle derivata de ordinul n a functiei Avem .Prin urmare: si pentru

Formula lui Taylor.Demonstratie.

Fie functia astfel ca :

1)   sunt continue pe [a,b];

2)   exista pentru orice punct .In aceste conditii are loc formula

(*)

cu

Demonstratie. Fie numarul A determinat prin egalitatea

,unde b > a.(**)

Fie functia F(x) definita prin

Ea este continua pe [a,b] si derivabila pe (a,b).Avem F(a)=f(b),F(b)=f(b),deci F(a)=F(b).Conform teoremei Rolle exista un astfel ca .Dar

Din conditia rezulta o noua expresie pentru A, care introdusa in (**) conduce la (*).