Formula lui Taylor
Fie
un interval si
Desemnam prin
multimea functiilor
de n ori derivabile si
cu derivata de ordinul n,
, continua pe I.Pentru n = 0,
este multimea
functiilor continue pe I.Daca
spunem ca f este de
clasa
pe I.Daca
pentru orice
spunem ca f este indefinit derivabila pe I sau ca f este de clasa
pe I.Astfel 
Fie
o functie derivabila
de n+1 ori intr-un punct
.Polinomul
se numeste polinomul lui Taylor de gradul n, asociat functiei f in punctul
.Daca pentru orice
notam
atunci avem 
sau :

Aceasta egalitate se
numeste formula lui Taylor de ordinul n a functiei f in
vecinatatea punctului
iar
se numeste restul de ordinul n al formulei lui Taylor
si se poate exprima prin urmatoarele forme:
(a).
numit restul sub forma lui Lagrange.
(b).
unde
numit restul sub forma
Peano-Young.
Daca in formula lui Taylor se ia
se obtine formula lui Mac Laurin:
unde
(a
este restul sub forma lui Lagrange al formulei lui Mac
Laurin.
(b
este restul sub forma Peano-Young al formulei lui Mac Laurin.
Formula lui Leibniz.Aceasta formula generalizeaza pe aceea care da
derivate intai a unui produs de doua functii derivabile.
Teorema: Fie
ambele derivabile de n
ori.Avem
.
Demonstratie. Formula se stabileste din aproape in
aproape. Ea este adevarata pentru n = 1.Admitand ca este valabila pentru ordinal q de derivare, se
arata printr-o noua derivare ca ea este valabila si pentru ordinul q+1,
deoarece coeficientii binomiali au proprietatea: 
Exemplu: Sa se afle
derivata de ordinul n a functiei
Avem
.Prin urmare:
si
pentru 
Formula lui
Taylor.Demonstratie.
Fie functia
astfel ca :
1)
sunt continue pe
[a,b];
2)
exista pentru orice
punct
.In aceste conditii are loc formula
(*)
cu 
Demonstratie. Fie numarul A determinat prin egalitatea
,unde b > a.(**)
Fie functia F(x) definita prin

Ea este continua pe [a,b]
si derivabila pe (a,b).Avem F(a)=f(b),F(b)=f(b),deci F(a)=F(b).Conform teoremei
Rolle exista un
astfel ca
.Dar

Din conditia
rezulta o noua
expresie pentru A, care introdusa in (**) conduce la (*).