CALCULUL OPERATIONAL (Transformatele Laplace si Fourier)

CALCULUL OPERATIONAL (Transformatele Laplace si Fourier)

Motto: Cand ai mijloacele la indemana

ceea ce pare complex devine simplu

si ceea ce-i simplu poate deveni complex

1. Transformata Laplace

Fie astfel incat are sens integrala improprie cu parametru

(1)

Definitie. Daca are sens egalitatea (1), F se numeste transformata Laplace a lui f si se noteaza si .

Functiile f pentru care exista transformata Laplace se numesc functii original (sau simplu, original), iar transformata Laplace F se mai numeste functia imagine (sau scurt imagine).

Definitie. Functia f(x): (sau C), I interval marginit sau nemarginit, este derivabila pe portiuni daca pentru orice interval compact exista o diviziune cu

astfel incat f(t) sa fie derivabila pe fiecare interval si sa existe limitele laterale

.

Definitie. Se numeste original o functie f(x), reala sau complexa, definita pe multimea numerelor reale si care satisface urmatoarele conditii:

f(x) = 0 daca x < ),

f(x) este derivabila pe portiuni,

exista numerele M > 0, astfel incat

(2)

Numarul se numeste indicele de crestere al functiei f(x).

Multimea functiilor original se noteaza cu

Proprietatile transformatei Laplace:

Este liniara; pentru constantele si si originalele si

are loc egalitatea

Pentru orice a>0 si f(x) original are loc egalitatea

(3)

in care F(p) este imaginea functiei f(x).

Daca a > 0 si f(x) original atunci

(4)

Daca f(x) este original si o constanta atunci

(5)

Teorema de derivare a originalului. Daca functia original f(x) este de "n" ori derivabila, cu derivatele

continue atunci

(6)

Teorema derivarii imaginii. Daca sunt functii original atunci derivand

egalitatea

in raport cu "p", obtinem formulele

(7)

Teorema integrarii originalului. Daca f este original atunci

(8)

Teoremele de integrare a imaginii. Daca este original atunci

(9)

Consecinte ale proprietatilor transformatei Laplace.

Daca si p >0 atunci

(10)

In particular, pentru obtinem

Pentru obtinem

(11)

Utilizand teoreme integrarii imaginii rezulta

(12)

si pentru p = 0 obtinem

(13)

(14)

care pentru p = 0 devine

(15)

Pentru n = 0, egalitatea (15) devine

(16)

Aplicatii.

Sa se arate ca

Rezolvare Fie functia

careia sa-i calculam transformata Laplace.

Deci

       si

Trecand la limita pentru obtinem

.

Integrati ecuatia diferentiala, liniara, cu coeficienti constanti si neomogena

cu conditiile initiale

Rezolvare. Teorema derivarii originalului conduce la

si

Se obtine ecuatia operationala

din care

Functia original corespunzatoare, solutie a ecuatiei, are forma

3. Integrati ecuatia diferentiala, liniara, cu coeficienti constanti si neomogena

si

Eseu: Sistemul periodic al elementelor Referat: Repartitia unei substante intre doi solventi nemiscibili (Legea de distributie a lui Nernst)

Rezolvare. Ecuatia se mai poate scrie

Ecuatia operationala are forma , din care

Utilizand teorema derivarii imaginii se obtine

iar

1. Proprietatile de omotetie

si (2) pot fi exprimate mai simplu astfel

Demonstratie:

2. Prima teorema de translatie foloseste functia unitate a lui Heaviside H(x)=0 pentru x < 0 si H(x) = 1 pentru

2.1. Prima teorema de translatie

(1)

Intr-adevar,

Daca relatia (3) se foloseste de la dreapta la stanga, trebuie tinut cont ca originalul H(x-a)=0 pentru x < a si atunci, fara a mai utiliza functia unitate avem:

2.2. A doua teorema de translatie

(2)

Intr-adevar,

3. Teorema de deplasare

(3)

Din proprietatea a doua de omotetie si din teorema de deplasare, deci din (2) si (5), obtinem

(4)

4. Teorema de derivare a originalului

(5)

valabila daca si are sens

Demonstratie

Deci f(x)=p F(p)-f(0+) si pentru n=1, (7) se verifica. Pentru n = 2 avem:

(tinand cont de rezultatul pentru n = 1 obtinem) = Pentru n>2 iteram acest procedeu.

Operatia de derivare in spatiul functiilor original se transforma in operatia de inmultire cu p in spatiul functiilor imagine, abstractie facandu-se de un polinom in p.

5. Teorema derivarii imaginii

In ipoteza ca sunt functii original se poate argumenta posibilitatea derivarii sub integrala in raport cu p in relatia de definitie

Obtinem formulele

) (8)

Deci si acestei operatii de derivare ii corespunde operatia de inmultire cu "x".

6. Teorema integrarii originalului

(9)

Demonstratie Fie . Cum si g(0+) = 0 (din modul de definire a lui g).

Deci de unde (9) are loc.

7. Teorema de integrare a imaginii este data prin relatia

(10)

valabila cand este functie original.

Demonstratie

Din faptul ca

si din teorema de deplasare: obtinem ca

Se poate arata cu ajutorul teoremei de convolutie ca

(3)

Cu ajutorul teoremei de integrare a imaginii

putem calcula integrale de forma

cu formula

Intr-adevar,

se mai scrie

Facand p = 0 obtinem relatia cautata.

a) atunci cu d avem

b) pentru a > 0, b > 0

Intr-adevar, avem

c) Integralele lui Froullani

1.

2.

3.

Cu teorema de deplasare si faptul ca

obtinem ca:

Transformata Laplace in calculul operational.

a.Metoda generala a calculului operational consta in urmatoarele:

- data o problema in spatiul original, o transpunem in spatiul imagine. Se fac calculele algebrice din spatiul imagine. Aplicand inversa transformatei Laplace, sau mai comod, utilizand tabelul f(x) = F(p) obtinem solutia din "spatiul original ". Calculul operational este calculul care utilizeaza transformata Laplace.

b. Problema Cauchy pentru ecuatii diferentiale liniare, cu coeficienti

constanti, rezolvata operational.

Pentru simplificarea expunerii, prezentam lucrurile legate de ecuatia diferentiala liniara de ordinul al doilea, avand coeficientii constanti

-original, cu problema Cauchy:

Solutie: Utilizand Transformata Laplace, din x(t)=X(p), f(t)=F(p), ecuatia (original) devine: numita ecuatia operationala.

De unde obtinem X(p) si

Exemple:

b1. Fie ecuatia : cu

Aratati ca

Solutie:

Ecuatia operationala este:

Descompunand in fractii simple obtinem:

De unde:

b2. cu

R:

b3.

R:

b4.

R:

si

b5.

R: de unde:

faza in care putem considera problema rezolvata aproape in totalitate (restul calculelor fiind de rutina si uzura).

c1. Sa consideram initial ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

(1)

completata cu valorile date:

(2)

b(t) fiind functie original.

Amplificam ecuatia (1) cu si integram in raport cu t de la 0 la .

Notand:

transformata Laplace a functiei y(t), integrand prin parti obtinem:

(3)

Amplificand (3) cu si insumand obtinem:

(4)

unde este un polinom in p de grad cel mult n-1, R(p) un polinom de grad n si B(p) transformata Laplace a lui b(t).

Din (4) obtinem:

(5)

Functia verifica ipoteza teoremei D.a.

Notand    atunci:

(6)

Dupa cum am luat c, fractia data de (6) are numaratorul de grad cel mult n-2 (termenii de grad n-1 reluandu-se), iar numitorul de grad n+1, deci diferenta de grade intre numitor si numarator este de cel putin 2.

Natura lui B(p) hotaraste ca functia sa verifice conditiile teoremei amintite anterior. Daca gradul lui R(p) este superior lui 1, este suficient pentru aceasta, B(p) fiind marginita, ca b(t) sa fie functie original, mai precis sa satisfaca conditiile:

(orig.)

Daca gradul lui R(p) este 1, atunci formula (7) din E.a. arata ca este suficient ca b(t) sa aiba derivata continua pe portiuni satisfacand cu b(t) conditiile (orig.). Deci daca sunt indeplinite conditiile teoremei E.a. cu formula (3) din acelasi paragraf gasim:

(7)

c2. Sa concretizam cu ecuatia de ordinul doi:

cu radacini ale ecuatiei caracteristice complexe cu . In electricitate, o astfel de ecuatie descrie oscilatiile fortate intr-un circuit R, L, C.

Trecand la transformata Laplace obtinem ecuatia:

Rezolvand obtinem:

si cu formula de inversiune obtinem:

Notand

punctele singulare sunt si . Pe postul lui putem alege orice numar pozitiv. Pentru a calcula integrala completam dreapta cu o semicircumferinta de raza suficient de mare pentru a inconjura toate punctele singulare.

Cu teorema reziduurilor

Calculam reziduul in punctele fiind poli simpli pentru f, cu formula:

Procesul rezultant il constituie suprapunerea a doua oscilatii - una periodica cu frecventa egala cu cea a fortei exterioare si cealalta oscilatie fiind amortizata, viteza de amortizare fiind determinata de . Pentru si =k obtinem o rezonanta, iar solutia va fi o oscilatie cu amplitudinea infinit crescatoare.

c3. Sa consideram ecuatia caldurii

pe intervalul cu conditiile initiale

Din punct de vedere fizic, aceasta spune ca, la momentul t, temperatura nu este aceeasi in extremitatea initiala si in cea finala , dar ele se mentin constante. In plus, la momentul initial, temperatura intr-un punct x este .

Aplicand transformata Laplace in t, adica trecand de la functia u(x,t) la functia:

pentru v(x, p) obtinem: cu conditiile initiale (deci o problema bilocala). Solutia ei este:

de unde care se rezolva cu teorema reziduurilor.

Istoric. Integrala Fourier apare pentru intaia oara in cartea lui Fourier "Teoria analitica a caldurii" (1822), unde ea se aplica mai multor probleme de fizica-matematica. Lucrarile lui Fourier, ca si lucrarile lui Cauchy care utilizeaza integrala Fourier in studiul propagarii undelor (1842), nu contin demonstratii de convergenta. Transformata Laplace este dezvoltata de Laplace in 1812 in Teoria analitica a probabilitatilor ". Independent, Euler, in 1737 considera integrale ale produsului pentru a rezolva ecuatii ordinare. Nici Euler si nici Laplace nu-si pun problema utilizarii transformatei in planul complex. Inginerul englez Heaviside, incepand cu anul 1892, introducand gaseste solutii in problemele de electrotehnica care se reduc la ecuatii cu derivatepartiale. El pune astfel bazele calculului operational. Din 1910 Bromwich, apoi Carson, Van der Pol, Doetsch, aplicand transformata Laplace in complex justifica regulile lui Heaviside.

Lucrarile lui Denjoy, Carleman, Ostrovski pe clase de functii quasianalitice se intind in intervalul 1920-1930.

Cu utilizarea integralei Lebesque, teoria transformatei Fourier se dezvolta. Cu dezvoltarea teoriei distributiilor apare posibilitatea definirii transformatei Fourier prin distributii.

(i):   f(x) continua pe portiuni

(ii): f(x) nu trebuie sa creasca mai repede ca exponentiala cand

(iii): este indeplinita pentru pentru x > M>0 si in plus, integrala (1) este convergenta pentru Intr-adevar,

In acest plan, este functie analitica. Ea este prelungibila la tot planul si singularitatile sale sunt in

Vom stabili legatura naturala intre denumire si notatie.

Fie deci astfel incat are sens integrala improprie cu parametru

(1)

Definitie. Daca are sens (1), F se numeste transformata Laplace a lui f si se mai noteaza cu .

Transformata fiind definita printr-o integrala improprie, trebuie sa stabilim conditii asupra lui p pentru convergenta. Aceste conditii sunt corelate cu f. Functiile f pentru care exista transformata Laplace se numesc functii original (sau simplu, original), iar transformata Laplace F se numeste functia imagine (sau scurt, imagine). Ca notatii pentru legatura original-imagine pot fi intalnite

sau sau mai simplu f(x) = F(p), F(p) = f(x).

Preferam ultima notatie (putand fi folosite si altele - dupa preferinte si cu conventia stabilita fara ambiguitati).

Numim functie original, functia cu proprietatile

() f este nula pentru

(): f are crestere exponentiala, adica exista a si incat

pentru (2)

Pentru p > a integrala (1) care defineste transformata Laplace este absolut si uniform convergenta.

Intr-adevar, in conditiile (2) avem

Ultima integrala este convergenta pentru p > 0 si conform criteriului comparatiei, au loc afirmatiile facute.

In plus, sa observam ca ipoteza ca nu este esentiala, argumentarea anterioara fiind valabila si pentru (in ipoteza (2)).

Cazuri concrete. (d1) Functia , cu b real sau complex va avea crestere exponentiala putand lua a = Reb, M > 1 si Intr-adevar,

()

()

Deci   si , convergenta integralei avand loc pentru p > Reb daca si Rep > Reb daca

Observatie. Nu este greu sa vedem ca este liniara. Utilizand liniaritatea, rezultatul din d1 si relatiile lui Euler

obtinem:

()

()

pentru .

Proprietatea transformatei Laplace

a. Daca inegalitatea care exprima proprietatea de crestere exponentiala este valabila pentru tripletul pentru orice

Notand , a fiind in tripletul , se numeste abscisa de convergenta a functiei f.

Din cele facute pana acum rezulta ca pentru a exista transformata Laplace este suficient ca f sa aiba abscisa de convergenta sau si transformata are sens pentru in cazul si in cazul Vom nota cu abscisele de convergenta pentru f si g.

b. Pentru are loc proprietatea de liniaritate