Trasarea arecelor de elipsa

Sa se elaboreze proiectarea topografica inginereasca pentru trasarea unei sali de sport care are forma unei elipse cunoscand urmatoarele:

Coordonatele centrului elipsei:

x_o=1450 m

y_o=3753 m

Coordonatele a doua puncte din reteaua poligonometrica:

X_P=1258 m                               x_Q=1720 m

Y_P=3455m                                y_Q=3725 m

Lungimile semiaxelor elipsei:

a=83 m – semiaxa mare

b=63 m – semiaxa mica

Orientarea semiaxei mari: Ө_a=97 ^G

Se cere:

Raportarea coordonatelor punctelor date intr-un sistem rectangular la o scara convenabila;

Sa se elaboreze proiectarea trasarii centrului elipsei si a punctelor caracteristice A, B, C si D;

Sa se determine focarele elispei F₁ si F₂;

Sa se calculeze coordonatele rectangulare pentru trasarea punctelor  intermediare ale elipsei (pentru un sfert de elipsa), considerand x constant (minim 3 puncte);

Sa se calculeze elementele de trasarea prin metoda coordonatelor polare (fata de centrul elipsei si fata de focarele elipsei)

_Rezolvare:

1.) Trasarea centrului elipsei O se va face prin metoda coordonatelor polare, pornind din punctul P si avand cunoscute raza vectoare r, adica distanta DPO si unghiul polar β, calculat din diferenta de coordonate.

Se calculeaza orientarile θ_P-Q , θ_P-0 si θ_Q-0 :

b. Se calculeaza distantele D_PO (r ) :

c.Se calculeaza unghiurile :

= θ_P-0 – θ_P-Q

Trasarea punctului O se efectueaza stationand cu teodolitul/statia totala in punctul P si fata de directia de referinta PQ se traseaza unghiul β. Pe directia astfel obtinuta se va aplica distanta r, la capatul ei materializandu-se punctul de trasat.

Controlul trasarii se poate efectua prin trasarea punctului O si din alt punct al retelei de sprijin (de exemplu: trasarea punctului O si din punctul Q). De asemenea, punctul O se poate trasa si prin alta metoda de trasare. La final, se compara distantele si unghiurile dintre punctele trasate (obtinute prin masu-rate pe teren) cu cele indicate in proiect.

Trasarea punctelor A, B, C, D care definesc elipsa se va face tot prin metoda coordonatelor polare. Pentru aceasta avem nevoie de coordonatele celor patru puncte.

Lucrare: Franta - relieful si populatia Frantei Referat: Sistemica geografica si conceptul de geosistem

Cunoastem coordonatele centrului elipsei O, semiaxele elipsei si orientarea acesteia. Avand aceste date putem calcula coodonate punctului A ca punct radiat din centrul O:

Calculul coordonatelor punctului A:

Calculul coordonatelor punctului B:

Calculul coordonatelor punctului C:

Calculul coordonatelor punctului D:

Punctele A, B, C si D se traseaza la fel cum se traseaza si punctul O, urarind pasii de mai sus.Se vor calcula r si pt pentru fiecare.

2).Determinarea focarelor elipsei,  F₁ si F₂ 

-Distanta c la care sunt situate focarele fata de centrul elipsei:

c= OF1=OF2

-In cazul elipsei este valabila relatia:

CF1 = DF2 = OA = OB = a

-Se calculeaza: θ_OF1 si θ_OF1

θ_OF1 = θa + 200G

θ_OF2 = θa

-Se calculeaza coordonatele focarelor F₁ si F₂

_Trasarea:

Trasarea unei elipse incepe cu fixarea centrului elipsei O si a directiei uneia din axele principale, de exemplu A-O-B. In centrul O se traseaza perpendicular axele principale OC si OD. Se fixeaza pe teren punctele de baza ale elipsei A, B, C si D sau numai punctele A si B, daca se traseaza arcul de elipsa AB. Se traseaza apoi punctele intermediare ale elipsei.

Calculul coordonatelor rectangulare pentru trasarea punctelor intermediare ale elipsei

Se calculeaza coordonatele punctelor 1, 2, 3 . B cu :

Au fost alese abscise egale avand valoarea x = 20 m

_Trasarea:

Se stationeaza cu teodolitul in punctul 0 iar pe directia data de orientarea semiaxei mare se traseaza punctele 1’, 2’, 3’ si 4 trasand distantele Xi .

Se stationeaza, apoi, pe rand punctele 1’, 2’, 3’. In fiecare astfel de punct se roteste instrumentul cu 100G conform schitei de trasare, iar pe directiile astfel obtinute se traseaza distantele Yi obtinandu-se punctele 1 si 3.

Pentru a micsora ordonatele care se traseaza greu fata de axa mare a elipsei se recomanda sa se duca o paralela la axa mare prin punctele elipsei deja calculate; pentru aceleasi valori ale absciselor xi se calculeaza ordonatele corespunzatoare si fata de noua axa, de exemplu axa P1P2. Aceasta axa uneste capete-le ordonatelor in focarele F1 si F2 de valoare p, calculate cu relatia:

Astfel, ordonata y' a unui punct fata de axa P1P2 se va determina cu relatia:

Pentru arcul de elipsa considerat se vor calcula doar doua valori y' .

Trasarea punctelor intermediare ale arcului de elipsa prin metoda coordonatelor polare

Fata de centrul elipsei

a. elementele polare sunt : l si α_i

Fata de focarele F₁ si F₂    

a. elementele polare sunt: pentru F₁ r₁ ,

pentru F₂ r₂ ,

Unde : r1 si r2 sunt raze polare , si β sunt unghiurile polare iar x_M si y_M sunt coordonatele rectangulare ale punctului oarecare M calculata in prealabil.

_Trasarea:

Trasarea punctului M se poate face cu teodolitul intr-un focar F1 (sau F2) sau in centrul O din care se transpune pe teren unghiul polar (respectiv sau 1) si distanta polara corespunzatoare r1 (r2 sau l) prin masurare directa, prin tahimetria optica de precizie sau cu dispozitive electronice.