REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE PE SUPRAFATA ELIPSOIDULUI DE REFERINTǍ

Rezolvarea triunghiurilor, situate pe suprafata terestra numite si triunghiuri geodezice, poate fi realizatǎ prin trecerea de la triunghiuri geodezice elipsoidale la triunghiuri geodezice sferice.

Aceasta trecere este posibila la triunghiuri mici , adica in situatii in care suprafata elipsoidala de referinta este aplicabila pe o sfera de raza medie “R_m” calculata in centrul de greutate al triunghiului .

Se demonstreaza ca, sub 60 km, lungimea laturilor, triunghiurilor geodezice elipsoidale este egalǎ cu cea a triunghiurilor sferice, cu aproximatie de 1 mm.

A rezolva un triunghi geodezic sferic inseamna, a determina doua laturi in situatia in care sunt cunoscute celelalte elemente ale triunghiului, o latura si cele trei unghiuri .

Datoritǎ faptului ca excesele sferice ale triunghiurilor geodezice sferice sunt mici, nu este necesar si nici comod sa facem rezolvarea lor dupa formulele trigonometriei sferice , ci aceasta rezolvare se face mai simplu, folosindu-se doua metode:

metoda Legendre;

metoda Soldner (aditamentelor).

Intrucat in ambele metode intervine in calcul, excesul sferic se prezentǎ in continuare expresiile de calcul ale acestuia.

1.Excesul sferic

Diferenta dintre suma unghiurilor intr-un triunghi sferic (neafectatǎ de erorile de mǎsurare) si conditia geometricǎ intr-un triunghi plan (Σα_i=200^g) se numeste exces sferic (ε):

                 

Intrucat in procesul de mǎsurare si de reducere a unghiurilor pe elipsoidul de referintǎ se produc erori, valoarea cea mai probabilǎ a unghiurilor, se exprimǎ cu relatia:

                 (2)

in care:

⁰, β⁰ , γ⁰ – unghiuri mǎsurate si reduse pe suprafata elipsoidului;

(α),(β),(γ) –valoarea cea mai probabilǎ a unghiurilor;

v_α , v_β , v_γ – corectiile unghiurilor mǎsurate, obtinute pe baza unei ecuatii de corectii de forma:

      (3)

Se inlocuieste (2) in (1) si se exprimǎ corectiile unghiurilor mǎsurate (3) in functie de neinchiderea“W”. Astfel rezultǎ:

Pentru a se putea efectua calculele de compensare si de rezolvare a triunghiurilor geodezice se impune , mai intai, calculul expresiei excesului sferic.

In acest sens, in fig.1 se vor calcula suprafetele fusurilor sferice, corespunzǎtoare unghiurilor α,β,γ, in functie de relatiile de calcul ale acestora si in mod geometric in functie de suprafata triunghiului sferic ABC si ale triunghiurilor adiacente .

Fig.1. Excesul sferic

Astfel se obtine:

                               (5)

Prin adunarea expresiilor fusurilor sferice se obtine:

          (6)

Exprimand suprafetele acelorasi fusuri sferice in mod geometric se obtine:

            (7)

Prin adunare rezultǎ:

      (8)

In functie de (6) si (8) se obtine:

          (9)

sau:

                       (10)

de unde rezultǎ:

                        (11)

Intrucat mǎrimea excesului sferic este de ordinul secundelor si factorul de transformare se va exprima in secunde:

(11)

In triunghiurile geodezice mici, suprafata triunghiurilor sferice poate fi inlocuitǎ cu suprafata triunghiurilor plane si astfel se poate scrie:

(12)

Observatie: Mǎrimile notate cu prim, in relatia (12), reprezintǎ elementele triunghiului plan.

Prin aplicarea formulei de calcul a excesului sferic in triunghiuri sferice echilaterale, pentru valorile medii ale lungimii laturilor retelelor de triangulatie, se obtin valorile :

Tabelul 1

Lungime laturi [km] Eseu: Test de evaluare intiala Geografie - clasa a VI-a Proiect: Vegetatia, fauna si solurile- test
Exces sfericcc

Din tabelul 1 se observǎ cǎ excesul sferic are valori

mai semnificative pentru retelele de triangulatie de ordinal I si II.

2 Rezolvarea triunghiurilor sferice mici prin metoda Legendre

Fie un triunghi geodezic sferic ABC , (fig.2) pe sfera de raza medie Gauss, , ale carui laturi considerate in unitati liniare (exemplu in metri) le notam cu a, b, c. Corespunzator notam laturile in radiani prin :

(13)

Aplicam in triunghiul ABC teorema sinusului:

(14)

sau:

(15)

Dezvoltam in serie sinusurile ale caror argumente sunt mici si avem :

(16)

sau , conform notatiilor (13), relatia (16) devine:

(17)

Dezvoltand (17) obtinem :

(18)

Fig. Triunghi sferic (Rezolvare Legendre)

Notand cu “h_c” inaltimea in triunghi coborata din “C” pe latura AB, se poate scrie:

h_c = a sin β = b sin α (formula plana, insa aplicabila din cauza numitorului foarte mare)

si deci :

(19)

Pe de alta parte , conform teoremei proiectiilor din trigonometria plana avem :

     

                            (20)

Cu aceasta putem scrie :

        (21)

Dupa reducerea termenilor de acelasi fel se obtine :

(22)

Notand excesului sferic “ε”, pentru triunghiul considerat, cu expresia :

(23)

egalitatea (22), devine :

          (24)

Datoritǎ valorilor mici ale excesului sferic “ε” se poate inlocui valoarea argumentului cu valoarea functiei :

(25)

Astfel egalitatea (24) ia forma :

(26)

Inlocuind valoarea tangentei cu raportul dintre sinus si cosinus si aducand la acelasi numitor se obtine :

(27)

sau:

(28)

In general se poate scrie :

(29)

in care :

(30)

In concluzie, a rezolva triunghiul sferic ABC este identic cu a rezolva triunghiul plan A´B´C´ ale carui laturi sunt egale cu cele ale triunghiului sferic si ale carui unghiuri α’, β’, γ’ sunt micsorate fata de cele ale triunghiului sferic cu o treime din valoarea excesului sferic ( ).

Recapituland etapele de rezolvare ale triunghiurilor elipsoidice mici, prin metoda Legendre , se mentioneazǎ:

calculul excesului sferic ;

compensarea unghiurilor in triunghiul elipsoidic mic prin repartitia neinchiderii “w”in mod egal celor trei unghiuri;

calculul unghiurilor in triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic;

calculul celorlalte laturi in triunghiul plan care, conform teoriei sunt egale cu cele din triunghiul sferic.

Rezolvarea triunghiurilor sferice mici , prin metoda Soldner

Consideram din nou triunghiul sferic ABC, fig.3, ale carui unghiuri sunt α, β, γ si laturile a , b , c.

Aplicand teorema sinusului obtinem seria de rapoarte :

(31)

Fig.3.Rezolvarea triunghiurilor

elipsoidale mici (metoda Soldner)

sau :

                      (32)

Se dezvolta in serie sinusurile de argumente mici, panǎ la primii doi termeni si se obtine :

(33)

Inlocuind (33), in (32), dupa simplificari rezulta :

(34)

Introducem notatiile :

(35)

sau in caz general :

   (36)

unde: “A_s” se numeste aditament liniar a laturii “s”, de unde rezultǎ a doua denumire sub care este cunoscutǎ metoda: metoda aditamentelor.

Cu acestea se poate scrie :

(37)

S-a obtinut in acest fel formula sinusului cunoscuta pentru elementele unui triunghi plan.

De aici concluzia ca: triunghiul sferic A, B, C, poate fi rezolvat ca un triunghi plan cu conditia ca triunghiul plan sa aiba aceleasi unghiuri ca triunghiul sferic, iar laturile sa fie a´, b´, c´ date de relatiile (35) .

Pentru rezolvarea triunghiurilor geodezice mici prin aceasǎ metodǎ se parcurg etapele:

calculul excesului sferic;

compensarea unghiurilor in triunghiul elipsoidic mic prin repartizarea neinchiderii in mod egal celor trei unghiuri:

(38)

unde:

- valoarea unghiurilor mǎsurate si reduse pe suprafata elipsoidului de referintǎ;

w – neinchiderea in triunghiul sferic:

calculul aditamentului liniar al laturii “a” si apoi al valorii laturii in triunghiul plan;

calculul celorlalte laturi ale triunghiului plan;

calculul aditamentelor liniare ale celorlalte laturi si apoi a mǎrimii lor, in triunghiul elipsoidic mic.