Indesirea retelei geodezice planimetrice

INDESIREA RETELEI GEODEZICE PLANIMETRICE

Se considera reteaua geodezica din figura urmatoare :

Cunoscandu-se coordonatele plane ale punctelor vechi , directiile azimutale masurate , compensate in statie si reduse la planul de proiectie precum si distantele masurate reduse la planul de proiectie , se cere sa se efectueze prelucrarea datelor respective prin metoda masuratorilor indirecte (prin metoda celor mai mici patrate) in urmatoarele situatii de compensare :

a)     Directii orizontale de aceeasi precizie fara distante (30 ecuatii de aceeasi pondere)

b)     Directii orizontale de precizii diferite fara distante (in functie de abaterea standard a fiecarei statii)

s_A = s_B = 6^’’,3

s_C = s_D = 8^’’.7

s₁ = s₂ = 4^’’.1

c)     Directii orizontale de precizii diferite si distante masurate cu un instrument ale carui caracteristici sunt reprezentate de coeficientii          a = 2 mm

b = 1.5 mm / km

d)     directii orizontale de precizii diferite masurate cu un instrument caracterizat de coeficientii

a = 40 mm

b = 10 mm / km

e)     indesirea retelei geodezice prin intersectie multipla inainte - cunoscand datele initiale de la procedeul anterior in care se considera ca puncte vechi - A , B , C, D - sa se determine coordonatele punctului 1 – punct de indesire - prin metoda intersectiei multiple inainte .

f)      indesirea retelei geodezice prin metoda intersectiei multiple inapoi - cunoscand datele initiale de la procedeul anterior in care se considera ca puncte vechi - A , B , C, D ,1(coordonatele punctului 1 fiind definite la punctual anterior) - sa se determine coordonatele punctului 2 – punct de indesire - prin metoda intersectiei multiple inapoi .

proiectul va contine :

tabel cu datele initiale .

tema proiectului .

schita retelei geodezice pe o foaie format a3 la o scara convenabila .

memoriu tehnic care sa descrie etapele de calcul si formulele utilizate .

calcule de compensare effectuate in tabele care sa permita urmarirea etapelor si verificarea rezultatelor intermediare si finale .

rezultatele finale in tabele care sa contina verificarea compensarii , coordonatele compensate si preciziile de determinare ale acestora , corectiile masuratorilor si valorile compensate ale acestora , calcule de evaluare a preciziilor si calcule pentru determinarea elipselor erorilor .

7 schite- schita initiala

- Schita pentru fiecare situatie de compensare care sa contina elipsele erorilor pentru punctele nou determinate .

Tabel I.1 : date initiale ( inventar de coordonate pentru punctele vechi ale retelei )

Tabel I.2 : date initiale ( directii azimutale masurate , compensate in statie si reduse la planul de proiectie )

MODELUL FUNCTIONAL STOCHASTIC : la prelucrarea observatiilor effectuate intr-o retea planimetrica este reprezentat de relatiile

La alcatuirea modelului functional-stochastic se au in vedere toate tipurile de masuratori ce se pot efectua .

FORME ALE ECUATIILOR DE CORECTIE : intr-o retea geodezica planimetrica se pot efectua observatii unghiulare orizontale si masuratori de distante . pentru aceste doua tipuri de observatii posibile , care intervin in prelucrare , se vor scrie ecuatiile de corectii .

DIRECTII AZIMUTALE CENTRATE , REDUSE SI REDUSE LA PLANUL DE PROIECTIE : se considera un punct de statie “ S “ dintr-o retea geodezica in care s-au efectuat observatii unghiulare orizontale ( directii azimutale ) catre alte puncte geodezice din retea 1 , 2 , … , j , … , n .

Dupa compensarea in statie , cand se realizeaza si reducerea directiilor observate la o directie de referinta , In cazul prezentat in figura de mai jos directia catre punctul 1, si prelucrarile preliminarii se obtin directiile centrate , reduse si reduse la planul de proiectie , care in continuare vor fi considerate ca elemente masurate : , , … , ,… , . aceste valori ale directiilor vor fi corectate , prin procesul de prelucrare , obtinandu-se valorile cele mai probabile ale acestora .

i = 1 , 2 , … , j , … , n

In acest punct de statie se cunosc orientarile provizorii catre celelalte puncte vizate , orientari determinate din coordonate . cu ajutorul acestor orientari si a directiilor masurate se pot calcula unghiurile de orientare corespunzatoare :

= , i = 1 , 2 , … , j , … , n

prin medierea celor “n” valori obtinute se va determina o valoare provizorie a unghiului de orientare a statiei S . daca la aceasta valoare provizorie se adauga necunoscuta corespunzatoare , ce se determina prin procesul de compensare , se obtine valoare cea mai probabila :

.

Dupa prelucrarea observatiilor effectuate in retea , in fiecare statie , deci si in statia S trebuie sa fie satisfacute egalitati de forma :

= , i = 1 , 2 , … , j , … , n

intr-o statie , daca se considera valorile provizorii , se vor obtine “n“ ecuatii de forma : 

i = 1 , 2 , … , j , … , n

Sau

i = 1 , 2 , … , j , … , n

In care s-a notat

i = 1 , 2 , … , j , … , n

Termenul liber al ecuatiilor de corectii pentru directiile azimutale masurate se determina , deci , ca fiind diferenta dintre unghiul de orientare a statiei calculat pentru directia respectiva si unghiul mediu de orientare , determinat ca medie aritmetica simpla . de obicei acest termen liber se exprima in secunde .

Datorita modului de calcul a unghiului de orientare , intotdeauna , intr-o statie , suma termenilor liberi va fi 0 :

Functie de tipul punctului de statie si a celui vizat ( vechi sau nou ) se stabilesc formele ecuatiilor de corectie :

Forma ecuatiei de corectie pentru o directie azimutala masurata intre doua puncte noi “i” si “j” :

+ +

Forma ecuatiei de corectie pentru o directie azimutala masurata intre un punct vechi “i” si un punct nou “j” .

+ +

Forma ecuatiei de corectie pentru o directie azimutala masurata intre un punct nou “i” si un punct vechi “j” .

Forma ecuatiei de corectie pentru o directie azimutala masurata intre doua puncte vechi “i” si “j”.

DISTANTE REDUSE LA PLANUL DE PROIECTIE :

Se considera doua puncte din reteaua geodezica “i” si “j”, intre care s-au efectuat masuratori pentru determinarea distantei . cu valoarea masurata si valoarea provizorie , determinate din coordinate provizorii , se poate scrie o ecuatie de urmatoarea forma :

Unde reprezinta corectia , ce se va determina prin prelucrare , care adaugata valorii masurate va rezulta valoarea compensate ( cea mai probabila )

reprezinta variatia distantei functie de variatia coordonatelor plane ale punctelor intre care s-a efectuat masuratoarea .

Daca se are in vedere relatia , care exprima variatia distantei functie de variatia coordonatelor plane , si ca termenul liber al ecuatiei se determina cu expresia : = atunci :

Forma ecuatiei de corectie pentru o distant masurata intre doua puncte noi i” si “j”este :

Forma ecuatiei de corectie pentru o distanta masurata intre un punct vechi i” si un punct nou “j”:

Forma ecuatiei de corectie pentru o distanta masurata intre un punct nou “i” si un punct vechi j”:

Intre doua puncte vechi nu se fac masuratori de distante .

Daca intr-o retea geodezica s-au efectuat atat masuratori de directii unghiulare orizontale cat si de distante si se doreste o prelucrare in bloc a ambelor tipuri de masuratori , atunci termenul liber al ecuatiilor scrise pentru dustante trebuie sa fie calculate in unitatea de masura pe care se exprima variatia orientarii .

STABILIREA PONDERILOR MASURATORILOR GEODEZICE :

In relatia = minim ,pentru o prelucrare cat mai corecta , matricea ponderilor ar trebui sa fie o matrice plina , insa determinarea elementelor dreptunghiulare ( si , respectiv cu i j ) nu este intotdeauna posibila .

In cazul masuratorilor independente prelucrarea se efectueaza sub conditia = minim adica matricea ponderilor devine o matrice diagonala ( = 0 , pentru i j )ceea ce usureaza foarte mult calculele .

Functie de natura marimilor ponderile se pot determina astfel :

Observatii unghiulare orizontale : cel mai simplu , si in acelasi timp , cel mai utilizat procedeu de calcul este acela in care se considera ca toate directiile masurate dintr-un punct de statie “S” au aceeasi pondere determinata cu relatia :

o     

unde este valoarea abaterii standard a unei directii compensate in statia S.

se poate determina insa o pondere pentru fiecare directiew masurata , daca , de exemplu , abaterea standard se calculeaza cu o relatie in care se tine seama si de alti factori ( distanta la care se afla punctul vizat , de precizia aparatului cu care s-au efectuat observatiile , de precizia finala urmarita , etc. ) relatie care ar putea fi de urmatoarea forma :

=

Masuratori de distante : relatia pentru determinarea ponderii cu care o distanta masurata intra in calculele de compensare este de forma :

in care abaterea standard a distantei masurate se determina astfel : = . si , exprimate , de obicei in milimetri si respective , mm/km sunt constantele aparatului utilizat pentru masurarea distantei si ele sunt date de firma constructoare , odata cu livrarea aparatului , sau sunt determinate de utilizator in procesul de etalonare .

CAZUL A : DIRECTII ORIZONTALE DE ACEEASI PRECIZIE FARA DISTANTE

Etape de parcurs in vederea compensarii :

Efectuarea masuratorilor , compensarea in statie si reducerea directiilor la planul de proiectie ( vezi tabelele I.1 si I.2 ) .

Calculul elementelor provizorii .

o      Distante si orientari intre punctele vechi :

o      Orientarea statiilor de coordonate cunoscute :

o      Calclulul coordonatelor provizorii pentru punctele noi de indesire :

( X₁ , Y₁ ) respectiv ( X₂ , Y₂ ) se determina prin intersectie simpla inainte din minim 2 combinatii . valorile se vor obtine ca medie aritmetica a celor 2 determinari :

o      Calculul coeficientilor de directie :

Intocmirea sistemului liniar al ecuatiilor de corectie ( 30 de ecuatii cu 10 necunoscute )

Fiecare masuratoare introduce o ecuatie de corectie . astfel in fiecare punct de statie vom avea 5 ecuatii de corectie . deci un total de 30 de ecuatii cu 10 necunoscute ( necunoscutele dz de orientare pentru fiecare punct de statie plus necunoscutele dx₁ , dy₁ , dx₂ , dy₂ reprezentate de coordonatele punctelor noi 1 si 2 ) .

Punct de statie A :

La scrierea ecuatiilor de corectie in celelalte puncte vechi ( b , c , d ) de statie se procedeaza similar . deosebirea apare in situatia in care punctual de statie este unul nou .

Punct de statie 1 :

Similar se procedeaza si in cazul in care punctul de statie este celalalt punct nou - 2 -

Aplicarea regulilor de echivalenta :

Prima regula de echivalenta : in retelele geodezice planimetrice , in care s-au efectuat observatii unghiulare orizontale , in fiecare punct de statie , indifferent de tipul acestuia ( nou sau vechi ) , cand se scriu ecuatiile de corectii se va obtine un sistem in care exista o necunoscuta , necunoscuta de orientare a statiei notate dz , care are acelasi coeficient ( -1 ) in toate ecuatiile . in urma aplicarii primei reguli de echivalenta se elimina necunoscuta dz si pentru fiecare punct de statie apare in plus o ecuatie numita ecuatie suma . Deci In fiecare punct vechi ( a , b, c , d ) de statie se formeaza un sistem de 3 ecuatii cu 4 necunoscute ( dx₁ , dy₁ , dx₂ , dy₂ ) . pentru punctele noi de statie ( 1 si 2 ) se va obtine un sistem de 6 ecuatii cu 4 necunoscute . asadar in urma aplicarii primei reguli de echivalenta se va ajunge la un sistem de 24 de ecuatii cu 4 necunoscute

o      Punct de statie A :

o      Punct de statie B :

o      Punct de statie C :

o      Punct de statie D :

o      Punct de statie 1 :

o      Punct de statie 2 :

A doua regula de echivalenta : daca intre doua puncte din reteaua planimetrica au fost effectuate observatii unghiulare orizontale in ambele sensuri ( vize reciproce ) atunci cele 2 ecuatii de corectii , care formeaza sistemul vor contine , dupa aplicarea primei reguli de echivalenta , aceleasi necunoscute , cu aceiasi coeficienti , dar alti termini liberi si in cazul prelucrarii observatiilor ponderate , alte ponderi .

In urma aplicarii celei de-a doua reguli de echivalenta se obtine un sistem de 15 ecuatii cu 4 necunoscute .

Normalizarea sistemului de ecuatii liniare si rezolvarea sistemului normal de ecuatii :

Dupa scrierea ecuatiilor de corectii si aplicarea , dupa caz < a regulilor de echivalenta urmeaza normalizarea sistemului de ecuatii ale corectiilor si evident rezolvarea acestuia . este recomandat ca pentru rezolvarea sistemului de ecuatii normale sa se aleaga o metoda din care sa rezulte si valorile coeficientilor de pondere necesari calcularii preciziilor . evident , pentru compensarea unor retele de dimensiuni mai mari un calcul manual este practice greu de acceptat datorita multitudinii de operatii ce trebuiesc effectuate . oricare ar fi metoda aleasa pentru rezolvare , rezultatele trebuie sa fie identice . prin rezolvarea sistemului normal de ecuatii se determina mai intai necunoscutele apoi corectiile observatiilor .

Matricea sistemului de ecuatii normale se obtine cu relatia :

N = A^T*P*A

, unde A = matricea coeficientilor sistemului liniar de ecuatii ale corectiilor .

P = matricea ponderilor .

Valorile cele mai probabile ale parametrilor necunoscuti se obtin , sub conditia de minim v^T*P*v , cu relatia cunoscuta :

X = -N^-1 A^T*P*L

In relatia de mai susL = vectorul termenilor liberi .

Calculul elementelor compensate si controlul compensarii :

Valorile compensate ale coordonatelor se determina adaugand la valorile provizorii solutiile sistemului .

X₁= X₁^o + dx₁X₂= X₂^o + dx₂

Y₁ = Y₁^o + dy₁ Y₂ = Y₂^o + dy₂

Pentru fiecare statie in care s-au efectuat observatii unghiulare orizontale se determina corectia pentru unghiul de orientare :

dz_S = , variatia orientarii determinandu-se cu relatia

=

urmeaza apoi determinarea corectiilor masuratorilor , pentru aceasta utilizand relatia = - daca este vorba despre directii unghiulare orizontale , sau relatia .

verificarea calculelor corectiilor pentru directii azimutale , in cazul unei statii , se face prin controlul indeplinirii egalitatii ( in limita preciziei de calcul ) : [ v ]   = 0 .

controlul final al compensarii consta in indeplinirea relatiei , evident in limita preciziei de calcul :

, in cazul directiilor azimutale.

, in cazul distantelor masurate .

CALCULE DE EVALUARE A PRECIZIEI :

Orice prelucrare a observatiilor effectuate intr-o retea geodezica se inchie cu calculele de evaluare a indicatorilor de precizie :

Abaterea standard ( eroarea medie patratica ) a unitatii de pondere :

Sau in cazul masuratorilor independente

In care m reprezinta numarul observatiilor effectuate in retea iar n numarul necunoscutelor implicate in modelul functional – stochastic .

Abaterea standard a unei masuratori individuale compensate :

i = 1,2, …… m

Abaterea standard a necunoscutelor ( a marimilor determinate indirect ) :

j= 1,2, …… m

in care coeficientul de pondere , corespunzator necunoscutei se extrage de pe diagonala principala a matricei inverse a sistemului normal , fiind elemental cu numarul de ordine j .

in cazul retelelor geodezice planimetrice ( sau tridimensionale )se poate determina si o abatere standard totala pentru un punct oarecare k :

DETERMINAREA ELEMENTELOR ELIPSELOR ERORILOR :

Dupa compensarea retelei planimetrice , se pot obtine pentru fiecare punct k nou din retea variantele coordonatelor care dau abaterile standard ale pozitiei punctului pe axele de coordonate .

Daca se doreste abaterea standard pe o directive oarecare se utilizeaza elipsa erorilor ale carei elemente se determina cu urmatoarele relatii :

Lungimea semiaxei mari :        

Lungimea semiaxei mici :

Unde

Orientarea semiaxei mari :

Pentru o directie oarecare de orientare Ѳ_B ( unghiul format cu axa x ) , care face cu semiaxa mare a elipsei un unghi γ , varianta se determina cu relatia :