Reducerea observatiilor geodezice pe suprafata elipsoidului de referinta

Reducerea observatiilor geodezice pe suprafata elipsoidului de referinta

Este foarte important de retinut cǎ inainte de a fi folosite in calcule, observatiile geodezice se reduc la suprafata elipsoidului de referinta.

Aceasta operatie este necesara intrucat observatiile de teren sunt raportate la verticala pe geoid, datǎ de pozitia firului cu plumb, in timp ce calculele se efectueazǎ pe elipsoid dupǎ ce observatiile instrumentale au fost proiectate pe elipsoidul de referinta, dupǎ normala la acesta.

Pentru calculul corectiilor de reducere pe elipsoid a observatiilor geodezice este necesara determinarea prealabila a ondulatiilor geoidului „N” si a componentelor deviatiei verticalei ξ,η.

Aducerea retelelor geodezice de sprijin, existente pe suprafata fizica a Pamantului, pe suprafata elipsoidului de referinta se poate realiza dupa mai multe metode, dintre care se vor mentiona cele mai importante.

Metoda desfasurarii. Elementele masurate pe suprafata fizica a Pamantului se reduc la suprafata geoidului (la nivelul marii) urmand sa fie supuse unei compensari, in functie de geometria retelei de triangulatie.

Pentru calcule se alege un punct fundamental, in care se considera ca elipsoidul de referinta este tangent la geoid. De asemenea, se accepta identitatea dintre coordonatele astronomice si cele geodezice, precum si coincidenta normalei la elipsoid cu verticala la geoid.

Rezulta astfel datele initiale ale triangulatiei: coordonatele geodezice ale punctului fundamental, lungimea si azimutul unei laturi care uneste acest punct cu un punct oarecare al retelei de triangulatie. Calculele se efectueaza in continuare prin desfasurare; pornind din punctul fundamental se determina coordonatele tuturor punctelor retelei, folosindu-se elementele reduse la suprafata geoidului, fara a se mai realiza trecerea lor la suprafata elipsoidului de referinta.

Metoda desfasurarii introduce erori sistematice de calcul, care se maresc pe masura indepartarii de punctul fundamental si, ca urmare, poate fi utilizata numai pentru teritorii relativ mici, pentru care se poate admite ca elipsoidul de referinta infasoara optim suprafata geoidului. In acest mod s-a calculat triangulatia primordialǎ de ordinul I din tara noastra, dinaintea celui de-al doilea razboi mondial, pe elipsoidul international Hayford. Punctul fundamental s-a considerat in observatorul astronomic militar din Dealul Piscului cu vizǎ de orientare spre Foisorul de foc.

Metoda proiectarii- constǎ in aducerea elementelor masurate(unghiuri, directii, lungimi s.a.) pe suprafata elipsoidului de referintǎ, prin aplicarea unor corectii. In cadrul metodei proiectǎrii se cunosc variantele Pizzetti si Bruns-Helmert.

Fig.1.16   Metode de proiectare a observatiilor pe elipsoid

Metoda Pizzetti – constǎ in proiectarea punctului „P” de pe suprafata fizicǎ a Pǎmantului (fig.1.16 ) pe suprafata geoidului,in punctul „P₁”, dupǎ tangenta la linia de fortǎ ( cu ajutorul verticalei).Din punctul „P₁” se proiecteazǎ, apoi, in punctul „P₂”, cu ajutorul normalei la elipsoid .Datoritǎ faptului cǎ la aplicarea corectiei in prima etapǎ ar necesita cunoasterea curburilor verticalelor, metoda nu a cunoscut o aplicabilitate practicǎ.

Metoda Bruns- Helmert – constǎ in proiectarea punctului „P” de pe suprafata fizicǎ a Pǎmantului in punctul P’ dupǎ normala la elipsoid. Metoda a cunoscut o aplicabilitate mai largǎ, fiind utilizatǎ la realizarea triangulatiei Rusiei, a tǎrii noastre si la alte mari retele de triangulatie. “S₁” (fig.1.16).

Diferentele care se obtin prin utilizarea celor douǎ metode sunt mici.

1.Reducerea observatiilor azimutale

Pentru reducerea directiilor si unghiurilor azimutale pe suprafata de referintǎ se aplicǎ urmǎtoarele corectii:

corectia de reducere de la sectiunea normalǎ directǎ la linia geodezicǎ (v.1.10.2);

corectia datoratǎ altitudinii punctului vizat;

corectia datoratǎ deviatiei verticalei.

1.1.Corectia datoratǎ altitudinii punctului vizat

Punctele situate pe suprafata topografica au inaltimi diferite deci liniile de observatie, in general, nu sunt continute de suprafetele de nivel.

Considerǎm cǎ punctul “S₁” este situat pe suprafata elipsoidului de referintǎ, iar punctul “S₂” pe o suprafata de nivel oarecare (fig.1.17).

In aceasta situatie punctul “S₂” va avea o inaltime “H” fata de punctul “S₁”.

Fig.1.17.Corectia de altitudine

Proiectia punctului “S₂” pe suprafata elipsoidului, se face cu ajutorul normalei la aceasta suprafata. Normala din “S₂” la elipsoid determina punctul “”.

Masurand azimutul directiei S₁ S₂, obtinem unghiul pe

care-l face sectiunea normala directa cu meridianul punctului “S₁”.

In consecinta, se masoara “A_m” si trebuie determinat “A_c”. Trecerea de la azimutul “A_m” la azimutul “A_c” se face introducand o corectie “C₂”, numita corectia datorita inaltimii punctului vizat, relatia utilizata fiind :

A_c = A_m + C₂ (1.92)

Pentru calculul valorii corectiei “C₂” a fost stabilita

relatia:

(1.93)

in care :

H – inaltimea punctului “B” in Km;

M₂ – raza mica de curbura in punctul “S₂”, de latitudine “B₂”;

Corectia datorita inaltimii punctului vizat are importanta practica numai pentru cazurile in care H ≥ 20 m.

1.2.Corectia datorata deviatiei verticalei

Intrucat instrumentele topografice se pozitioneazǎ, in procesul de mǎsurare, dupǎ verticala locului, iar procesele de calcul se executǎ pe elipsoid, dupǎ ce in prealabil mǎsurǎtorile au fost proiectate pe acesta, corectia datorata abaterii de la verticala apare ca necesara prin aceea ca intr-un punct oarecare situat pe suprafata terestra verticala locului nu coincide cu normala la elipsoidul de referinta.

Fie in acest sens punctul “S₁” (fig.1.18.a) in care sunt cunoscute coordonatele geografice elipsoidale “B” si „L” si coordonatele astronomice „Φ” si „Λ”.

Sunt notate de asemenea azimutul geodezic cu “A” catre un alt punct “S₂” si azimutul astronomic α catre acelasi punct.

Construim o sfera auxiliara cu raza egala cu unitatea, suprafata careia va fi intersectata de normala la elipsoid in punctul “Z_g” si de verticala punctului “A” in “Z_a´” .

O paralela la axa de rotatie a Pamantului ,determina pe sfera auxiliara punctul “P”, iar directia S₁S₂ punctul .

Este cunoscut ca normala la elipsoid in punctul “S₁” determina fata de planul ecuatorului unghiul de latitudine geodezica “B”. Acelasi lucru in cazul verticalei din punctul “S₁”,planul ecuatorului determinǎ unghiul de latitudine astronomicǎ “Φ”. Unghiurile “B” si „Φ” le gasim si pe sfera auxiliara.Pe sfera auxiliarǎ se mai gǎsesc unghiul zenital aparent Z⁰ si corespondentul acestuia unghiul zenital redus la normala la elipsoid “Z^E”. Cunoscand longitudinile in punctele “Z_g” si “Z_a´” situate pe sfera, unghiul din “P” va fi Λ – L.

Referat: Canada - suprafata, capitala, pozitia geografica si limite - industria Proiect: Ce se intelege prin „centru” si „periferie” din perspectiva geografiei economice a Europei?

Fig.1.18.Abaterea de la verticalǎ

Fata de directia nordului proiectat prin “P”, directia S₁S₂ va avea azimutul geodezic “A” si azimutul astronomic “α”.

Se proiecteaza punctul “Z_a” pe directia Z_gP si se obtine punctul . Catetele triunghiului sferic Z_gZ_a notate cu “ξ „si „η” se numesc componentele abaterii de la verticala “u”.

Unde: “η” si “ξ” se obtin rezolvand triunghiul geodezic PZ_a dupǎ cum urmeazǎ:

                  (1.94)

sau:

                            (1.95)

Deoarece termenii din membrul stang al relatiei (1.95) sunt foarte mici se asimileazǎ functia cu valoarea argumentului, rezultand:

                                (1.96)

Componenta “ξ” se determinǎ in acelasi triunghi sferic transformat dupǎ regula lui Neper.Aceasta constǎ in inlocuirea laturilor adiacente unghiului drept “A” prin complementele lor 90⁰-b, 90⁰-c, dupǎ care, cosinusul fiecǎrui element este egal cu produsul elementelor neadiacente sau cu produsul cotangentelor adiacente.Triunghiul transformat este prezentat in fig.1.18.b, pe baza cǎruia rezultǎ:

(1.97)

Datoritǎ valorii mici a diferentei dintre latitudinea astronomicǎ “Λ” si cea geodezicǎ “L” se aproximeazǎ cosinusul acestei diferente cu “1”, astfel se poate scrie:

                                  (1.98)

sau:

         (1.99)

Corectia datorita abaterii de la verticala “C₃“, ce se aplicǎ mǎsurǎtorilor azimutale, se calculeazǎ in functie de componentele “ξ” si “η”, de azimutul geodezic “A” si de unghiul zenital aparent “Z⁰” si rezultǎ dintr-o componentǎ corectivǎ de reducere a azimutelor astronomice:

                  (1.100)

Unghiul zenital din (1.100) se calculeazǎ cu relatia:

                              (1.101)

unde:

-ΔH -diferenta de nivel se calculeazǎ prin nivelment geometric sau trigonometric (pentru lungimi de panǎ la 4km).

Comparativ cu celelalte douǎ corectii examinate anterior, corectia datoritǎ deviatiei verticalei este mai semnificativǎ si deci este justificatǎ aplicarea ei.

2.Reducerea determinǎrilor astronomice pe elipsoidul de referintǎ

Reducerea determinǎrilor astronomice se referǎ la reducerea coordonatelor si azimutelor astronomice.

2.1.Reducerea coordonatelor astronomice

Cunoscand componentele astronomo – geodezice ale deviatiei verticalei, prezentate in §1.2, se pot calcula coordonatele geodezice pe suprafata elipsoidului, din relatiile (1.99) si (1.96):

         (1.102)

(1.103)

Intrucat coordonatele astronomice sunt determinate cu erori de pozitie mult mai mari decat erorile impuse coordonatelor geodezice, relatiile (1.102) si (1.103) sunt utilizate numai pentru controlul unor puncte amplasate la distante de ordinul sutelor de kilometri.

Pentru reducerea observatiilor astronomice la suprafata geoidului, Heiskanen si Moritz (1967), utilizeazǎ relatiile:

             (1.104)

unde:

H_km-altitudinea aproximativǎ a punctului considerat, in km.

2.2.Reducerea azimutelor astronomice

Pentru a reduce azimutul astronomic “α” la azimutul geodezic “A” in fig.1.18.a, se observǎ cǎ:

        (1.104)

Astfel se poate scrie:

  (1.105)

Pentru a determina in functie de elementele cunoscute, in triunghiul sferic Z_gPZ_a, se aplicǎ formula cosinusului unghiului:

(1.106)

Tinand cont de functiile complementare si suplimentare, in limita aproximatiilor admisibile, relatia (1.106) devine:

       (1.107)

In mod analog in triunghiul Z_gZ_aS’₂ se poate scrie:

     (1.108)

de unde :

                           (1.109)

Mǎrimea unghiului “q” se determinǎ din acelasi triunghi sferic prin aplicarea formulei sinusului:

                   (1.110)

Inlocuind (1.110) in (1.109)si exprimand pe “u” in functie de componentele deviatiei verticalei “ξ” si “η” se obtine:

                        (1.111)

Inlocuind relatiile (1.107) si (1.111) in (1.105) se obtine azimutul geodezic in functie de azimutul astronomic:

(1.112)

Intrucat diferentele de nivel, dintre punctele in care se determinǎ lungimea unei baze si azimutul astronomic al acesteia, sunt mici, in relatia (1.112).In aceste conditii (1.112) devine:

                   (1.113)

Relatia (1.113) se utilizeazǎ in retelele de ordin superior si este cunoscutǎ sub denumirea de ecuatia Laplace.

3.Reducerea observatiilor zenitale la normala la                                 elipsoid

Este cunoscut faptul cǎ in retelele geodezice de sprijin,

elementele de planimetrie (X, Y sau B, L) au ca suprafatǎ de referinta planul de proiectie sau elipsoidul de referinta, iar elementele de altimetrie au ca suprafatǎ de referintǎ geoidul sau cvasigeoidul. Astfel, reducerea observatiilor zenitale la normala la elipsoid nu mai are sens.

Reducerea observtiilor zenitale la normala la elipsoid este necesara numai in cazul operatiilor efectuate in geodezia tridimensionala, unde toate cele trei coordonate (X, Y, H^E sau B, L, H^E) se exprima in raport de suprafata elipsoidului de referinta.

In figura 1.19 se remarcǎ faptul ,cǎ datorita refractiei atmosferice, in teren nu se masoara unghiurile zenitale „z₁” si „z₂”_,ci unghiurile zenitale aparente , astfel:

                             (1.114)

Fig.1.19.Reducerea unghiurilor zenitale

la normala la elipsoid

Pentru distante pana la 6 km se poate aproxima curba de refractie printr-un arc de cerc si, ca urmare, se accepta egalitatea unghiurilor de refractie .

Din fig. 1.19 se observa, ca legatura dintre unghiurile zenitale masurate si cele reduse la normala la elipsoid este data de relatiile :

                          (1.115)

Unghiurile „u _α1” si „u _α2” reprezinta componentele deviatiei verticalei pe directia 1—2, de azimut „α”, determinate in punctele 1 si 2.

Exprimand deviatia verticalei in functie de componentele “ξ”, “η” si azimutul directiei se obtine:

(1.116)

Inlocuind (1.115) in (1.114) rezultǎ:

(1.117)

Unghiurile zenitale reduse la normala la elipsoid se utilizeazǎ la calculul nivelmentului geodezic simultan si reciproc [11], astfel:

(1.118)

in care:

  (1.119)

H₁ si H₂ -altitudinile aproximative ale punctelor 1 si 2 care se pot extrage de pe hartǎ;

R_A-raza sectiunii normale de azimut “A”,pentru latitudinea medie “B_m’ a celor douǎ puncte;

I_i si S_i – inǎltimea instrumentului si semnalului in punctul “i”.

In cazul nivelmentului trigonometric unilateral nu se justificǎ reducerea unghiurilor zenitale la normala la elipsoid intrucat erorile de refractie sunt mult mai mari fatǎ de corectiile de reducere la normala la elipsoid.

4.Reducerea distantelor pe elipsoid

In functie de categoria aparatelor utilizate, mǎsurarea laturilor (bazelor) necesare in prelucrarea retelelor geodezice se realizeazǎ in mod diferit :

cu ajutorul firului de invar;

cu ajutorul aparatelor electronice.

In functie de acestea si reducerea distantelor pe suprafata de referintǎ ,se va face in mod diferit.

4.1.Reducerea bazelor geodezice masurate cu firul de invar

Lungimea bazei geodezice d°, masurata cu firul de invar si prelucrata in prealabil dupa metodologia cunoscuta [11], se reduce la o suprafata de nivel medie, situata la altitudinea „H_m”:

  (1.120)

unde : H₁ si H₂ sint altitudinile capetelor bazei.

Pentru reducerea, in continuare, a bazei la elipsoid se poate proceda astfel :

1) Se reduce, pentru inceput, distanta d° la o suprafata paralela cu elipsoidul, situata la altitudinea elipsoidica :

Fig.1.20.Reducerea bazelor la elipsoid

In limita aproximatiilor admisibile se poate inlocui suprafata elipsoidului cu suprafata sfericǎ de razǎ “R_A”, care se calculeazǎ cu relatia (1.58), la latitudinea medie a capetelor bazei. Din fig.1.20 rezultǎ :

(1.122)

unde:

                      (1.123)

(1.124)

2) Se calculeazǎ baza redusǎ la nivelul elipsoidului din relatia:

(1.125)

de unde:

      (1.126)

Prin dezvoltarea in serie a relatiei de mai sus rezultǎ:

                            (1.127)

Altitudinile elipsoidice ale capetelor bazei se calculeazǎ in functie de cotele ortometrice si ondulatiile geoidului .

Pentru reducerea riguroasǎ a bazelor mǎsurate cu firul de invar, la suprafata elipsoidului de referintǎ, sunt necesare componentele deviatiei verticalei si ondulatiile geoidului in punctele de capǎt ale bazei.

4.2 Reducerea laturilor masurate cu aparate electronice

Laturile masurate cu ajutorul aparatelor electronice de tipul statiilor totale, telurometrelor etc, sunt prelucrate de asemenea in prealabil, prin aplicarea asa numitelor corectii fizice. Distanta D° rezultata dupa aceasta operatie este situata la nivelul celor doua puncte, intre care s-a efectuat masuratoarea (fig. 1.21). Rezulta ca este necesara cunoasterea altitudinilor elipsoidice , si prin urmare, a ondulatiilor geoidului in aceste puncte.

In figura 1.21.se aplicǎ ecuatia lui Pitagora generalizatǎ rezultand: