Preturi Arbitraj de Obligatiuni

In general,

P (0) = C₁ exp + C₂ exp

(Pentru simplificare includem toate etapele, in asa fel incat C_k = 0 la etapa k cand nici un bon nu este platit.) la fiecare moment k cand un bon este platit, fluxul de numerar este suma (determinabila) a bonului si pretul (aleator) al actiunilor ramase:

C_k P (k; s_k = C_k + C_k+1 exp

· + (C_n + F ) exp.

Destul de des cupoanele depind de alte cantitati. In acest fel o obligatiune cu cupon poate deveni un instrument derivat al unei actiuni. Un caz important este descris mai jos, in cazul in care cupoanele sunt calculate ca fractiuni din valoarea nominala.

Aceste fractiuni, definind cursul cuponului, sunt obtinute prin conversia cursului short la un curs echivalent. In practica, atunci cand τ este o zi, cursul cuponului va fi cursul LIBOR de peste noapte.

Teorema 1

O obligatiune cu cupon avand scadenta la momentul N cu cupoane aleatorii

C_k (s_k−1 = (exp− 1)F (4)

pentru 0 < k ≤ N se comercializeaza at par. (asta inseamna, pretul P (0) este egal cu valoarea F .)

Demonstratie

La un moment dat N − 1 si o stare s_{N −1} . in aceasta stare valoarea P (N − 1; s_{N −1} ) a obligatiunii este F + C_N (s_{N −1} ) redusa la cursul short, rezulta P (N − 1; s_{N −1} = F daca cuponul este exprimat conform (4). Parcurgand in sens invers arborele si aplicand acelasi argument pentru fiecare stare , obtinem P (0) = F .

Exercitiul 6

Gasiti cupoane de tranzactionare de obligatiuni at par cu scadenta la momentul 2, avand in vedere randamentele ca in exemplul 5, a se vedea figura

2.1 Probabilitati de risc neutre

In capitolul 3 am aflat ca pretul actiunilor S(n) la momentul n este egal cu pretul actiunilor cu probabilitate de risc neutra S (n + 1), la momentul n + 1 cu actualizate la momentul n. Situatia este similara si in modelul binomial a ratelor dobanzilor.
Factorii de reducere sunt determinate de contul de pe piata monetara, sau, cu alte cuvinte, de cursurile short. In general, ele sunt aleatoare, fiind de forma exp.

^{Se presupune ca starea s}_n ^{aparuta la momentul n. Cursul short stabileste valoarea in timp a banilor pentru urmatorul pas}. Se ia o obligatiune cu scadenta la momentul N cu n < N − 1. Ni se da pretul obligatiunii B(n, N ; s_n ) si doua valori posibile la urmatorul pas, B(n 1 N ; s_n u) si B(n+

^{1 N ; s}_n ^{d). Aceste valori reprezinta o variabila aleatoare, care vor fi notate cu} B(n + 1 N ; s_n ·). If n = N − 1, obligatiunea ajunge la scadenta la urmatoarea etapa N ,

atunci cand are doar un pret independent de stare, si anume valoarea nominala. Noi cautam un p_∗ astfel incat

B(n, N ; s_n = [p B(n + 1 N ; s_n u) + (1 − p )B(n + 1 N ; s_n d)]

exp. (5)

Ecuatia poate fi rezolvata pentru p , care in principiu depinde de n, N si s_n . (Dupa cum vom vedea in curand, Vezi Teorema 2, p_∗ este independent de scadenta N .) Folosind definitia intoarcerii logaritmice, avem

B(n + 1 N ; s_n+1 = B(n, N ; s_n ) exp

De unde rezulta

Aceste numere se numesc probabilitati de risc neutru sau probabilitati martingale.Conditia (2) a lipsei de aleator poate fi scrisa sub forma

0 < p (n, N ; s_n ) < 1.

Exemplu 7

Vom gasi arborele de probabilitati de risc neutru p (n, 3; s_n ) pentru n = 0, 1, folosind datele din Exemplul 5 (Preturile obligatiunilor asa cum sunt in Figura 10).

Calculam veniturile pe piata monetara. Cel mai simplu mod este utilizarea

1; s_n )/12 n = 0, 1, de unde rezulta urmatoarele valori:

r(1; u) = .521%

r(0) = 0.995% <

r(1; d) = .874%

Apoi, gasim rambursarile k(1, 3; s₁ ) and k(2, 3; s₂ ) pentru obligatiuni.De exemplu, daca

k(1, 3; u) = .25% <

k(2, 3; uu) = 0.58%

k(2, 3; ud) = 0.27%

k(2, 3; du) = 1.01%

k(1, 3; d) = .84% <

k(2, 3; dd) = 0.84%

Putem vedea ca nu sunt indeplinite conditiile nealeatorii: 0.84% < 0.99% <

0.27% < 0.52% < 0.58% and 0.84% < 0.87% < 1.01%.

In cele din urma, vom gasi probabilitatile dorite printr-o aplicare directa a (6):

p (0) = 0.3813, p (1; u) = .8159, p (1; d) = 0.1811, vezi Figura 13.

Figura 13 Probabilitati de risc neutru in Exemplul 7

O observatie cruciala despre modelul este aceasta: Stabilirea preturilor prin replicarea este echivalenta cu stabilirea preturilor prin intermediul probabilitatilor de risc neutru. Acest lucru rezulta din prinicipiul nealeatoriu si se aplica la orice flux de numerar, chiar si unul aleator, atunci cand sumele depind de stari. Aceasta aduce o cale de stabilire a preturilor absolut oricarei actiuni prin intermediul asteptarilor cu privire la probabilitatile p * (N, N; sn). Asteptarile sunt calculate oas cu pas, incepand cu ultima si parcurgand arborele in sens invers.

Exemplul 8

Luand in considerare o obligatiune cu cupon care are scadenta la N = 2 cu valoare nominala F = 100 si cupoane egale cu 5% din valoarea actuala a obligatiunilor, platite la momentele 1 si 2. Cuponul la scadenta este C₂ = 5 in fiecare stare. Folosind probabilitatile de risc neutru din Exemplul 7, gasim valoarea obligatiunilor la momentul 1. In starea de mai sus am scazut o valoare de 105 datora la scadenta, folosind cursul short

r(1; u) ₌ 6.26%, egal cu 104.4540. In acelasi mod starea de jos avem 104.0865. acum adaugam 5% cupoane,in asa fel incat sumele datorate la momentul 1 devin 10 .6767 in starea de sus si 109.2908 in starea de jos. Folosind probabilitatile de risc neutru, valoarea unei obligatiuni este:

^{108.3545 = (0.3813 × 109.6767 + 0.6187 × 109.2908)/1.01.}

Exercitiul 7

Folositi probabilitatile de risc neutru pentru a afla valoarea actuala a fluxului de numerar aleator:

La momentul 2 primim $20 in strea uu, $10 in starile ud si du, si nu primim nimic in starea dd. Alte plati nu mai sunt facute.

Exercitiul 8

Gasiti o oportunitate aleatorie pentru preturile obligatiunilor din Figura 14.

Figura 14 Preturile obligatiunilor pentru Exercitiul 8

Exercitiul 9

r(1; u) = .5% <

r(2; uu) = .3%

r(0) = 9.5%

r(2; ud) = .9%

r(2; du) = .1%

r(1; d) = .8% <

r(2; dd) = .3%

Urmatoarea Teorema aduce un rezultat important care simplifica modelul in mod semnificativ

Teorema 2

Lipsa aleatorului implica faptul ca probabilitatile de risc neutru sunt independente de scadenta.

Demonstratie

Se iau doua obligatiuni cu scadentele M ≤ N si un moment n ≤ M . pentru fiecare din cele doua obligatiuni avem:

B(n, M ; s_n = [p (n, M ; s_n )B(n + 1 M ; s_n u) + (1 − p (n, M ; s_n ))

×B(n + 1 M ; s_n d)] exp, (7)

B(n, N ; s_n = [p (n, N ; s_n )B(n + 1 N ; s_n u) + (1 − p (n, N ; s_n ))

×B(n + 1 N ; s_n d)] exp. (8)

Scopul este sa aratam ca p (n, M ; s_n = p (n, N ; s_n ) in orice stare s_n .

Putem replica preturile obligatiunilor cu scadenta la momentul M prin intermediul obligatiunilor cu scadenta N si cu contul de pe piata monetara. De aici gasim

x, y care

B(n + 1 M ; s_n u) = xB(n + 1 N ; s_n u) + yA(n + 1; s_n ), B(n + 1 M ; s_n d) = xB(n + 1 N ; s_n d) + yA(n + 1; s_n ).

Principiul nealeator implica faptul ca egalitati de acest fel trebuie sa fie valabile si in momentul n,

B(n, M ; s_n−1 u) = xB(n, N ; s_n−1 u) + yA(n; s_n−1 ), B(n, M ; s_n−1 d) = xB(n, N ; s_n−1 d) + yA(n; s_n−1 ).

Inserand valorile lui M -obligatiuni in (7) si folosind formula pentru contul de pe piata monetara, dupa cateva transformari algebrice obtinem

B(n, N ; s_n = [p (n, M ; s_n )B(n + 1 N ; s_n u) + (1 − p (n, M ; s_n ))

×B(n + 1 N ; s_n d)] exp.

Asta poate fi rezolvata pentru p (n, M ; s_n ). De unde reiese ca solutia coinicide cu probabilitatile p (n, N ; s_n ) implicat de catre (8).

Exercitiul 10

Reperati o oportunitate aleatorie daca preturile obligatiunilor sunt cele din Figura 15.

3 Dobanzile titlurilor de valoare

Instrumentele prezentate mai sus fac posibila estimarea preturilor pentru orice titlu de valoare bazat pe dobanzi, sau echivalentul in preturi pe obligatiuni. In arborele binomial

Figura 15 Pentru Exercitiul 10

fluxul de numerar asociat cu titlurile de valoare poate fi replicat folosind contul de pe piata monetara si o obligatiune cu o scadenta suficient de lunga. Obligatiunea nu trebuie sa fie titlu de baza, intrucat preturile de obligatiuni trebuie sa fie constante. O alternativa o reprezinta folosirea probabilitatilor de risc neutru. Cea din urma fiind metoda preferata datorita simplitatii ei.

Stabilirea preturilor unor valori mobiliare complexe poate fi redus la gasirea fluxurilor de numerar asociate. Mai jos prezentam exemple a unor

Optiuni

Valorile mobiliare pentru titlurile de valoare sunt obligatiuni de diferite feluri.

Exemplul 9

Cu preturile obligatiunilor ca in Exemplul 5 (Figura 10), considerati o optiune cu exercitul la momentul 2 si pret de greva X = 0.99 pentru un cupon cu valoarea 0, obligatiunea avand scadenta la momentul 3. Incepand cu platile finaleprezentate in ultima coloana in tabelul de mai jos, parcurgem in sens invers arborele pas cu pas, calculand asteptarile cu risc neutru

ale valorilor consecutive scazute de catre cursurile short

n n 1 n 2

0.00041 <

0.00014 <

Ca rezultat, pretul unei optiuni este .00024.

Exercitiul 11

Presupunand ca structura preturilor obligatiunilor in exemplul 5 (Figura 10). Consideram o obligatiune cu cupon care are scadenta la momentul 2, valoarea nominala F = 100 si cupoane C = 1 ce pot fi platite in orice etapa. Gasiti pretul unei optiuni de apel american care expira la momentul 2 cu pretul de pornire X = 101.30. (includeti pretul obligatiunii cu cupon la fiecare etapa.)

Optiuni de apel pe obligatiuni pot fi utilizate de catre institutii pentru a emite obligatiuni si pentru a include posibilitatea de a cumpara obligatiunile inapoi inainte de scadenta pentru un pret stabilit.O legatura care poarta o astfel de dispozitie este numit o legatura callable. Pretul acestuia ar trebui sa fie redus in concordanta cu pretul optiunii atasate.

3.2 Schimburi

Scrierea si vanzarea de obligatiuni este o metoda de a imprumuta bani. In cazul unui regim de schimburi de obligatiuni cu cupon principalul reprezinta suma imprumutata iar cupoanele reprezinta dobanzile. Aceste dobanzi pot fi fixe sau variabile.Dobanda este stabilita atunci cand toate cupoanele sunt la fel. Dobanda variabila poate fi realizata in mai multe moduri. Aici, vom presupune ca acesta este determinata de cursurile short ca in (4). Baza pentru discutia noastra este stabilita de catre Teorema 1, in conformitate cu care valoarea de piata a unei astfel de obligatiuni cu cupon-variabila trebuie sa fie egala cu valoarea nominala, de tranzactionare de obligatiuni la alin. Pentru o tranzactionare de obligatiuni cu cupon la alin dimensiunea cupoanelor pot fi usor de gasit de la (3). Am putea spune ca rata de rezultate cupon fix este echivalent cu rata variabila a cursului short pe durata obligatiunii.

Exemplul 10

Sa consideram o obligatiune cu cupon fix si o obligatiune cu cupon variabil, ambele cu cupoane anuale, comercializate dupa doi ani cu valoarea nominala F = 100. Avand in vedere ca arborele cuponului-zero de un an si doi ani are pretul:

_{B(0, 1) = 0.9123}

B(0, 2) = 0.8256 ^<

B(1, 2; u) = 0.9101

B(1, 2; d) = 0.8987

unde o etapa este un an, τ = 1, putem evalua cupoanele obligatiunilor cu cupon variabil si cupon fix.Valoarea cupoanelor variabile poate fi gasita in (4),

C₁ (B(0, 1)⁻¹ − 1)F ₌ 9.6131, C₂ (u) = (B(1, 2; u)⁻¹ − 1)F ₌ 9.8780, C₂ (d) = (B(1, 2; d)⁻¹ − 1)F ₌ 2718.

Cupoanele fixe C pot fi gasite rezolvand ecuatia (3), care ia forma

De aici rezulta:

^{F = CB(0, 1) + (C + F )B(0, 2).}

_{C = 10.0351.}

Prin cumpararea unei obligatiuni cu cupon fix-si vinderea unei obligatiuni cu cupon variabil unul (sau invers, vanzarea unei obligatiuni cu cupon fix-si cumperarea unei obligatiuni cu cupon variabil), un investitor poate crea un flux de numerar cu o valoare aleatoare, actuala, zero, deoarece cele  doua tipuri de obligatiuni au acelasi pret initial.

O companie care a vandut obligatiuni cu cupon fix-si plateste dobanda fixa ar putea dori, uneori, pentru a comuta in plata cu rata variabila. Acest lucru poate fi realizat prin scrierea deobligatiuni cu cupon variabil si cumpararea unei obligatiuni cu cupon fix cu aceeasi valoare . In practica, un intermediar financiar va oferi acest serviciu prin oferirea unui contract numit un swap. In mod clar, un swap de acest gen nu va costa nimic pentru a intra. Iata este un exemplu de o situatie in practica, in cazul in care rolul intermediarului este acela de a satisface nevoile a doua companii.

Exemplul 11

Sa presupunem ca societatea A doreste sa imprumute la o rata variabila, in timp ce B, prefera o rata fixa. Bancile ofera urmatoarele rate efective (Se refera la ratele anuale):

In acest caz, vom spune ca A are avantaj comparativ cu B la rata fixa, cu B, avand avantajul la rata variabila. (fara a tine seama de faptul ca ca A este in avantaj, asa cum se vede din ratele mai mici ale dobanzilor oferite .) In aceste circumstante,A, ar trebui sa imprumute cu o rata fixa, B ar trebui sa imprumute cu o rata variabila, si pot face swap la platile dobanzilor. 
Sa consideram un principal de $ 100, 000 imprumutati timp de un an si sa presupunem ca LIBOR este de 10% si (doar pentru simplitate) ramane acelasi pe parcursul primului an de imprumut. Daca A imprumuta la rata variabila si B, la rata fixa, atunci dobanda totala platita va fi de $ 25, 400. Cu toate acestea, in cazul in care A imprumuta la rata fixa si B, la rata variabila, plata dobanzilor va fi doar 
$24,400 in total. Diferenta de $ 1, 000 va fi disponibila pentru a se imparti intre cele doua companii in cazul in care fac swap. (In practica, aceasta suma va fi redusa cu o taxa perceputa de intermediar) Daca se modifica LIBOR la 9%, sa spunem, in al doilea an a imprumutului, tot la atat se va modifica si suma totala de plata, dar diferenta va ramane de $ 1, 000. 
Cum ar trebui sa fie impartita aceasta diferenta intre cele doua companii? Pentru a raspunde la intrebare, vom presupune ca structura pe termen a ratelor dobanzii este determinata de preturile de unu si doi ani al obligatiunilor cu cupon zero in Exemplu 10. In special, putem identifica LIBOR cu rate efective scurte date de preturile obligatiunilor, B(0, 1)⁻¹ − 1 in primul an si B(1, 2)⁻¹ − 1 in anul doi. Acestea sunt aceleasi rate ca si cele date de cupoanele variabile din Exemplul 10. Cupoanele fixe in acelasi exemplu dau o rata de 10.04%. 
In loc sa faca swap B, societatea A ar obtine acelasi rezultat prin luarea un imprumut de 100, 000 $ la o rata fixa de 40%, oferita de banca, cumpararea 1, 000 de obligatiuni cu cupon fix, si scrierea a 1, 000 de obligatiuni cu cupon variabil luate in considerare in Exemplul 10. Ca urmare, societatea A va fi imprumutat 100, 000$ la rata de 40% - 10.04% + LIBOR = LIBOR + 
1.36%. In comparatie cu rata variabila de LIBOR + 2% oferite la societatea A, acesta este un castig de 0,64%. Pe un imprumut de 100, 000$ acest lucru ar insemna un castg de 640 dolari in fiecare an. 
Printr-un argument similar, in loc de a face swap cu A, compania B ar putea imprumuta 100,000$ la rata variabila LIBOR + 3%, sa cumpere 1, 000 de obligatiuni cu cupon variabil si sa scrie 1, 000-obligatiuni cu cupon fix. Ca rezultat, B ar plati dobanda la LIBOR + 3% - LIBOR + 10.04% = 13.04%, o crestere de 0,36%, comparativ cu 
rata fixa de 13.40%, ce a fost oferita. Acest lucru inseamna o crestere de 360 dolari in fiecare an pe un imprumut de 100, 000 $. 

Rezultatul este ca 1, 000 $ castig ar trebui impartiti, 640 dolari si 360 dolari intre companiile A si B.

In cele din urma, retineti ca valoarea de swap poate varia in functie de timp si de  stare, care pleaca de la valoarea initiala de zero. Daca o companie doreste sa incheie un acord de swap la o data ulterioara, se poate cumpara o swaption, care este o optiune de apel cu privire la valoarea de swap (cu pret prescrise greva si timp de expirare).

3.3 Caps and Floors (Plafoane si plansee)

Cap este o dispozitie atasata la o obligatiune cu rata variabila, care precizeaza rata maxima platita a unui cupon pe durata imprumutului. Un caplet este o dispozitie similara aplicata intr-o anumita perioada. Cu alte cuvinte, un caplet este o optiune europeana cu privire la nivelul dobanzilor platite sau primite. Un plafon poate fi gandit ca o serie de caplets.

Exemplul 12

Luam un imprumut vanzand obligatiuni cu cupon variabil cu scadenta la momentul 3. (Asta este, o obligatiune care are intotdeauna valoarea nominala, cupoanele fiind date de cursurile short in (4).) Folosim preturilor obligatiunilor si cursurile din Exemplul 5, a se vedea figurile 10 si  Fluxul de numerar de mai jos include suma initiala primita pentru vanzarea de obligatiuni, impreuna cu cupoane si valoarea nominala ce va fi platita:

^{n 0 n 1 n 2}

^{0.99990 - −100.52272}

^<

- −100.87764

Sa consideram un caplet care se aplica de la momentul 1 (o luna), cu rata dobanzii de greva 8% (corespunzator la 0,67%, pentru o perioada de o luna). Cuponul determinat de cursul caplet este 0.66889, iar noi modifica fluxul de numerar in consecinta. La momentul 0
vom gasi pretul de obligatiuni scazand momentul 1, 100.66889 pentru fiecare star care este de 100 plus cupon. Acest lucru da fluxul de numerar urmator:

n n 1 n 2

^{0.66889 - −100.52272}

^<

- −100.87764

Pretul de obligatiuni este redus cu valoarea lui caplet, 0.32773.
Pentru un caplet la momentul 2, cu rata de greva aceeasi dimensiunea maxima a cupon este de 0.66889, ca mai inainte. In starea de sus vom plati dobanzile initiale, ducand caplet in starea de jos. Valoarea obligatiunilor la momentul 1 nu este de 100, din moment ce cupoanele finale nu mai sunt aceleasi ca si pentru obligatiunile par. Preturile de la momentul 1 sunt obtinute prin scaderea valorilor de momentul 2. La momentul 0 gasim pretul de obligatiuni prin evaluarea asteptarilor cu risc neutru din valorile actualizate de obligatiuni la momentul 1. Fluxul de numerar este:

n n 1 n 2

0.99990 - −100.52272

<

- −100.66889

Aceasta stabileste pretul acestui caplet la 0.12677.
In cele din urma, consideram un plafon pentru ambele momente 1 si 2 cu rata de greva la fel ca mai sus.Fluxul de numerar poate fi obtinut intr-un mod similar:

n 0 n 1 n 2

0.66889 - −100.52272

<

- −100.66889

Putem vedea ca valoarea plafonului, 0.45450, este suma valorilor caplets.

In mod analog, un planseu este o dispozitie de limitare a cuponului de mai jos. Acest lucru va fi util pentru un detinator de obligatiuni. Este compus dintr-o serie de floorlets, fiecare referindu-se la o singura perioada.

Exercitiul 12

In cadrul exemplului de mai sus, valoarea unui planseu la momentul 2, cu rata de greva 8%, pe baza preturilor de obligatiuni din Exemplul 5.

4 OBSERVATII FINALE

Vom incheia acest capitol, cu unele observatii informative cu privire la modalitati posibile in care modelele de structura preturilor de obligatiuni pot fi construite. Acesta este un domeniu complex si tot ce putem face aici este sa facem unele comentarii generale.
Dupa cum am vazut, teoria ratelor dobanzii este mai complicata decat teoria preturilor actiunilor.Pentru a fi in masura sa determinam pretul valorilor mobile

avem nevoie de un model de miscari posibile ale preturilor de obligatiuni pentru fiecare scadenta.Preturile de obligatiuni cu scadente diferite trebuie sa fie in concordanta intre ele. Dupa cum am vazut mai sus,
a) un model de posibile cursuri short,
b) un model de valori posibile ale unei obligatiuni cu scadenta cea mai lunga (in concordanta cu structura termenului initial)

determina structura de preturi posibile a tuturor obligatiunilor scadente mai devreme. O abordare alternativa este de a specifica
a) un model de posibile rate de scurt,

b) probabilitati de la fiecare stare,

siconsiderand aceste prbabilitati cu risc neutru, pentru a calcula preturile tuturor obligatiunilor pentru toate scadentele. Metoda din urma este conceptual mai simpla, mai ales daca luam aceeasi probabilitatea in fiecare stare. Flexibilitatea modelului cursului short ne permite sa obtinem suficient de multe modele in concordanta cu structura termenului initial.

Daca este asa, cea mai simpla alegere de probabilitate 1 / 2 de la fiecare stare a arborelui binomial pare a fi la fel de buna ca oricare, si ne putem concentra pe construirea modelelor de curs short, astfel incat parametrii lor sunt in concordanta cu datele istorice. Un model de curs short este descris dupa cum urmeaza.

t_n = nτ . Atunci, urmatoarele relatii specifica un arbore de evolutia cursului

r(t_n+1 ) − r(t_n = µ(t_n , r(t_n ))τ + (t_n , r(t_n ))ξ_n

unde ξ_n = ±1 cu probabilitate /2 fiecare, si µ(t, r), (t, r) sunt functii alese corespunzator. Fara limita de timp (in spiritul sectiunii 3.3.2), aceste relatii duc la o ecuatie diferentiala stocastica de forma:

dr(t = µ(t, r(t))dt + (t, r(t))dw(t).

Exista mai multe moduri in care functiile µ si σ pot fi specificate,dar nici una dintre ele nu este universal acceptata . Aici sunt doar cateva exemple:

(t, r = b − ar,

^{(t, r = σ (Vasi cek model),}

^{(t, r = a(b − r),}

^{(t, r = r (Cox-Ingersoll-Ross model),}

^{sau µ(t, r = (t)r,}

^{(t, r = r (Black-Derman-Toy model).}

^{Cursurile short fiind date, ramane doar de calculat pretul obligatiunilor. Acesta va depinde de functiile µ si . Doua probleme pot fi intalnite:}

Modelul este prea brut, de exemplu, aceste functii sunt doar constante. Apoi e posibil sa nu le putem ajusta astfel incat preturile care rezulta sa fie in concordanta cu termenul initial.

Modelul este prea complicat, de exemplu luam functiile generale µ, Introducerea structurii termenului initial impune anumite constrangeri asupra parametrilor, dar multi sunt lasati liberi, iar rezultatul este prea general pentru a fi practic.

Aceste probleme pot fi evitate daca sunt adoptate solutii de mijloc.
Cu toate acestea, o alta alternativa este de a specifica dinamica curbei cursurilor forward. Acest lucru determina evolutia in timp a structurii, cu structura de durata initiala ce joaca rol de date initiale. Acest lucru pare simplu, dar modelul (Heath-Jarrow-Morton model in timp continuu) este matematic complex.
Literatura de specialitate pe aceasta tema este vasta. Recomandam cititorului interesat in urmarirea acest subiect, de exemplu, la Pliska (1997), si Jarrow (1995) pentru setarea de timp discret, sau Bjo rk (1998) si Chen (1996) pentru modelele de timp continuu.