Modele econometrice neliniare

MODELE ECONOMETRICE NELINIARE

1. Introducere

Liniaritatea in modelele studiate consta in faptul ca variabila endogena Y se exprima in functie de parametrii de estimat printr-o relatie de gradul I.

De exemplu, modelele:

sunt modele liniare. Faptul ca variabilele exogene in modelul (2) figureaza la patrat sau sub forma de produs, nu modifica caracterizarea de model liniar, aceasta referindu-se la parametrii de estimat si nu la  variabilele exogene.

In schimb, modelele:

(3)

(4)

in care parametrii de estimat sunt a, a₁, b_1, a_2, b₂ nu mai sunt modele liniare.

In aceste cazuri MCMMP conduce la calcule laborioase. De exemplu, pe modelul (3), suma patratelor erorilor este expresia:

iar ecuatia normala obtinuta este:

(5)

Determinarea parametrului a, solutie a ecuatiei (5), care este o ecuatie transcendenta, nu este posibila sub aceasta forma.

In general, considerand modelul:

in care f este o functie neliniara in parametrii a_i, suma patratelor erorilor este:

Estimatorii "celor mai mici patrate neliniari" ai coeficientilor modelului vor fi , care minimizeaza pe S. Daca erorile sunt normal distribuite, acesti estimatori au proprietatile cunoscute si sunt cei de verosimilitate maxima.

Un calcul direct al estimatorilor presupune cautarea solutiei sistemului de ecuatii obtinut prin anularea derivatelor partiale:

, i=1,2,,p

si sa ne asiguram ca valorile gasite dau un minim pentru S.

Rezolvarea sistemului de ecuatii de mai sus prezinta dificultati. In practica se utilizeaza o alta procedura, ce va fi prezentata in continuare.

Liniarizarea. Estimarea parametrilor

Fie modelul     in care A este o constanta si a un parametru de estimat. Prin logaritmare , obtinem:

Notand: , , , , , rezulta modelul: .

Se spune ca am liniarizat modelul. Pentru estimarea modelului, se aplica MCMMP pe modelul liniarizat si se revine apoi la elementele initiale.

Sunt posibile si alte metode de estimare. De exemplu, pe un model neliniar general:

(1)

daca functia f este dezvoltabila in serie Taylor intr-un punct de coordonate , valori admisibile pentru model,  atunci se poate da o aproximare liniara a modelului:

Retinand doar primii doi termeni ai dezvoltarii si inlocuind expresia lui f in ecuatia (1) se obtine o aproximare liniara a modelului:

unde

Modelul poate fi scris sub forma:

iar pentru a da o scriere matriciala, introducem notatiile:

,       , ,

Rezulta modelul scris matricial:

(2) , unde sunt vectori T-dimensionali, este un vector p-dimensional, iar F₀, o matrice numerica de format (Txp). In sfarsit, daca renotam:

, si , regasim scrierea matriciala clasica pentru un model liniar de regresie multipla:

Y = Xa+ε . MCMMP aplicata modelului conduce la estimatorul:

, care, in cazul de fata, devine:

,

rezultand .

Notam acest estimator cu si se repeta procedura luand in (2) in loc de pe . Se va obtine estimatorul:

, s.a.m.d.

Iteratiile se opresc atunci cand doi estimatori succesivi ai coeficintilor si sunt astfel incat:

unde η este un numar dat oricat de mic.

Proprietatile estimatorilor obtinuti prin aceasta procedura nu prezinta insa garantia ca ar poseda calitatile celor obtinuti in modelele liniare clasice. Studiul modelelor neliniare pune, deci, o serie de probleme referitoare la calitatea estimatorilor, la validitatea previziunilor facute.

3. Exemple

I. Vanzarile lunare dintr-un produs alimentar inregistrate de o societate comerciala in perioada ianuarie 2004 - iulie 2005 sunt date in tabelul urmator:

Luna	t	Valoarea vanzarilor yt (RON)
Ianuarie 2004
Februarie
Martie		Referat: Managementul proiectelor in administratia publica Document online: Planificarea - functie a managementului - obiectivele organizatiei
Aprilie
Mai
Iunie
Iulie
August
Septembrie
Octombrie
Noiembrie
Decembrie
Ianuarie 2005
Februarie
Martie
Aprilie
Mai
Iunie
Iulie

Studiem aceasta serie cronologica a vanzarilor cu ajutorul modelului (curba logistica), in care A este o constanta (vanzarile potentiale maxime), iar a si b sunt parametri de estimat.

Liniarizarea modelului. Modelul se scrie sub forma , sau . Prin logaritmare rezulta modelul liniar , unde: , , . Daca presupunem ca vanzarile maxim posibile sunt A=22000, atunci putem calcula , rezultand:

Se aplica MCMMP obtinindu-se estimatorii:

si

Din , rezulta , iar din

, rezulta .

Asadar modelul initial estimat este:

.