Exemplu de calcul de sinteza

1.       Tema exemplului de calcul

Se va calcula pentru o constructie industriala o grinda din beton armat cu sectiunea T (cu placa). Schema statica consta dintr-o grinda cu doua deschideri si o consola cu inaltime variabila.

Grinda este solicitata de greutatea proprie, de incarcarea utila uniform distribuita, de incarcari concentrate date de grinzi secundare, iar in reazemul C grinda este rezemata indirect de catre o grinda mai rigida. Ea se gaseste la exterior, in conditii de inghet, astfel conditiile de mediu corespund CR2, tabel 4.1., clasa de expunere 2b. Incarcarea este predominant statica. Toate actiunile orizontale vor fi preluate de pereti de rigidizare.

Tipul de structura selectat isi poate gasi cu greu un corespondent in realitate . Structura aleasa are avantajul insa ca permite evidentierea multor situatii particulare in care aplicarea prevederilor codului nu este evidenta si simpla.

Exemplul de calcul urmeaza sa fie completat cu demonstrarea aplicarii prevederilor codului si pentru alte operatii care intervin la proiectare (de exemplu, verificarea la starile limita ale exploatarii), pe masura ce vor fi redactate capitolele respective ale codului.

Pentru realizarea structurii se vor folosi:

-Beton C 30/37

-Otel-beton bare BSt 500 S (ductilitate mare)

-Otel-beton plase sudate - beton B St 500M (ductilitate normala)

Intrucat in prezent nu este inca realizata o aliniere a conditiilor de calitate prevazute in standardele romanesti de producere a otelului beton cu cele din reglementarile europene in exemplul de calcul s-au considerat oteluri produse in tari europene.

2.       Structura, alcatuire geometrica

2.1        Valori de calcul ale deschiderilor

l_eff     = ln + a1 + a2

2.2       

CR2 4.4.1.2 tab. 4.3.

Acoperirea cu beton

in functie de clasa de mediu

CR2 4.4.1.2 tab. 4.2.

c_w1 min = 25 mm.

pentru transmiterea in siguranta a fortelor de aderenta (dg 32 mm)

Ipoteze: fetriermax≤12mm fa.long.max≤25mm

Etrieri: c_{w2 min} = f_w = 12 mm.

Armatura longitudinala: c_{1 min} =f_l = 25 mm

pentru rezistenta la foc

Acest criteriu nu este considerat in cadrul prezentului exemplu.

CR2 4.4.1.3 Dc = 10mm; abaterea admisibila

acoperirea cu beton adoptata:

c_w nom = c_w1 min + Dc = 25+10 = 35 mm.

3.       Stabilirea starii de eforturi sectionale

3.1        Actiuni

3.1.1       Actiuni permanente (greutati proprii)

Incarcarile din greutatea proprie care actioneaza asupra grinzii sunt reprezentate in fig. 2.

Fig 2: Actiuni permanente (actiuni datorate greutatii proprii)

3.1.2       Actiuni variabile (incarcari utile)

Figura 3 prezinta incarcarile utile Q_k,1 si Q_k,2 ce actioneaza pe grinda.

Fig 3: Actiuni variabile (incarcare utila)

3.2        Valorile eforturilor sectionale

Intrucat modul de determinare al eforturilor sectionale nu face obiectul codului, in Anexa 1 sunt prezentate direct valorile rezultate din calculul static.

4.       Calcul la starea limita a capacitatii portante

4.1        Valorile de calcul ale rezistentelor materialelor

	CR2 3.1. tab. 3.1.

Beton: C 30/37             f_{c k} = 30 N/mm²

CR2 3.1. tab. 3.4.

CR2 3.1.5. (3.13)

CR2 3.2.3

Otel-beton: BSt 500 S si M                             f_{y k} = 500 N/mm²

CR2 6.1.

4.2        Determinarea necesarului de armatura longitudinala pentru preluarea momentului incovoietor

4.2.1       Reazem A

M_Sd,A = – 1980.39 kNm

Vezi 4.3.4.5

Inaltimea efectiva a sectiunii:

d = 1500–(35 + 35 + 0.5 _* 20) = 1420 mm.

Ca valoare de calcul este permis a se lua momentul redus la fata reazemului:

bsup: latimea reazemului in lungul grinzii

Calcul se face utilizand coeficientii adimensionali:           

Sectiune dreptunghiulara: b_w; h; d = 380; 1500; 1420 mm.

x=x/d; z = z/d;

se obtin di tabele:

PROIECT: Componentele cladirilor PROIECT: Corpuri de zidarie

 = 0,130; 0,189; 0,921

Se alege: BSt 500 S 10 f 20

A_S ^ef = 3141 mm²

Restul efortului de intindere va fi preluat de barele care se dispun longitudinal in placa pentru distribuirea fisurilor.

In afara inimii, in placa, se vor dispune 3 bare j20 distribuite pe o latime de 190 mm.

Din conditia x_lim = 0. 617 > x _ef = 0. 189 rezulta ca nu este necesara dispunerea unor bare longitudinale in zona comprimata.

4.2.2       Reazem B

M_{Ed, B} = – 1450 kNm

Momentul redus la fata reazemului B:

Calculul se face utilizand coeficientii adimensionali:

se obtin:

x=x/d; z = z/d;

 = 0,090; 0,135; 0,945

CR2 5.6.3. x/d < 0. 45 pentru zonele unde se pot dezvolta deformatii plastice. Momentul in reazemul B a fost calculat prin consi-derarea redistribu- tiei eforturilor in stadiul postelastic.

Se alege: BSt 500 S 6 f 20 + 2 f 16

A_S ^ef = 2287 mm²

Din conditia x_adm = 0. 45 > x _ef = 0.135 rezulta ca nu este necesara dispunerea de armatura longitudinala in zona comprimata.

In afara inimii se vor dispune cate 2f20.

4.2.3       Camp 1

M_{Ed, F1}=1969,70 kNm

CR 2 (5.7 a) CR 2 fig. 5.2. CR 2 (5.7)

Latimea zonei active a placii:

b_eff,_i= 0.2b_i ≥ 0.2l_o

l_o=0,7 l₂ = 0,7·8,0 = 5,6 m

b_eff = b_w + Sb_eff,i = 0,38 + 0,2_* 5,6 = 1,50 m

d1 distanta de la centrul de greutate al armaturii intinse la fibra intinsa. Se considera un numar egal de bare j25 dispuse pe doua randuri.

Inaltimea utila a sectiunii transversale in camp:

d = h – d₁= 1500 – (35 + 12 + 1.5 _* 25) = 1415 mm.

Calculul se face utilizand coeficientii adimensionali:

x=x/d; z = z/d;

se obtin:

 = 0,034; 0,071; 0,974

	BSt 500 S   7f25 As ef = 3436 mm2

se alege:

Din conditia x_lim= 0,617 > x_eff= 0,071 rezulta ca nu este necesara dispunerea de armatura longitudinala in zona comprimata.

4.2.4       Camp 2

M’_{Ed, F2} = 891.57 kNm

CR 2 (5.7 a) CR 2 fig. 5.2. CR 2 (5.7)

Latimea activa a placii:

b_eff,_i= 0.2b_i + 0.1l_o ≥ 0.2l_o

l_o=0.85 l₂ = 0.85·8.0 = 6.8 m

b_eff = b_w + Sb_eff,i = 0.38 + 0.2_* 6.8 = 1.74 m

Inaltime utila:

d = 1.42 m

Se obtine:

 = 0,013

BSt 500 S       5 f20 AS ef = 1571 mm2 > 1477 mm2

Se alege:

Din conditia x_lim=0.617 > x_ef= 0.042 rezulta ca nu este necesara dispunerea de armatura longitudinala in zona comprimata.

	CR2 6.2.

4.3        Calcul la forta taietoare

4.3.1       Calculul consolei

In cazul consolei este vorba despre un element de constructie cu inaltime variabila (fig 4). Valorile de calcul ale fortei taietoare V_E,d se obtin cu considerarea bratului de parghie variabil:

V_Ed=V_0d –V_ccd

unde,

V_0d = valoarea de calcul a fortei taietoare in sectiunea transversala datorata actiunilor exterioare

V_ccd = valoarea de calcul a componentei fortei taietoare din zona comprimata paralela cu V_0d

V_ccd = M_{Sd *}

tan j = = 0.1493

In verificarea la capacitatea portanta la forta taietoare, in cazul unei rezemari directe si a unei incarcari uniform distribuite, este permis sa se considere forta taietoare la distanta “d” de la marginea reazemului. In cazul de fata (Fig. 4):

x_d = + d = 0.2 + 1.42 = 1.62 m

CR2 6.2.2 ,

Fig. 4 Consola. Alcatuire geometrica, actiuni.

Pentru aceasta sectiune, precum si pentru coordonatele x = 2.62 m. si x = 3.55 m., valorile V_Ed sunt stabilite in tab. 2. El cuprinde si forta taietoare V_Rd,ct ce poate fi preluata de elementele de constructie fara armatura pentru forta taietoare, unde valoarea r_l, pentru siguranta, s-a luat egala cu zero. Datorita faptului ca V_Ed > V_Rd,ct, este necesara determinarea prin calcul a armaturii transversale.

CR2 6.2.3

Calculul la forta taietoare ia in considerare variatia unghiului q pe care biela comprimata il face cu axa barei. Pentru q s-a considerat o valoare q 30. Ca brat al parghiei interior s-a admis, simplificand: z = 0.9 _* d.

Forta taietoare capabila a bielei comprimate se determina prin relatia:

CR2 6.2.3 (6.7)

unde,

CR2 6.2.3 (6.8)

Necesarul de armatura transversala rezulta din:

CR2 6.2.3 (6.6)

Otel-beton B St 500 S etrieri f10 / 300 cu doua ramuri

Se alege:

Tab. 2: Valori de calcul V_Ed respectiv V_Rd,max, precum si armarea transversala, necesara si efectiva, pentru consola

4.3.2       Camp 1

In campul 1, cea mai mare valoare de calcul a fortei taietoare rezulta la fata din dreapta a reazemului A:

V_{Ed, Ar} = 1250,54 kN

Valoarea de calcul a fortei taietoare la distanta d de la fata reazemului:

V*_{Ed , Ar} = 1250,54 – 1,62 _* (121,5 + 60,0) = 956,51 kN

Forta taietoare capabila V_Rd,ct pentru elemente fara armatura transversala este,

CR2 6.2.2 (6.2 a)

V_Rd,ct=i(0.18/g_c)k(100r_lf_ck)^1/3-0.15s_cpsb_wd

dar nu mai putin,

CR2 6.2.2 (6.2 b)

V_Rd,ct = i0.4f_ctd-0.15s_cpsb_wd,

unde,

.

V_Rd,ct=i(0,18/1,5)·1,375·(100·0,002·30)^1/3s·380·1420=161·10³ N

r_l= A_sl / b_w d = 4·314 / (380·1420) = 0,002 ≤ 0,02

V_Rd,ct=0,4·1,30·380·1420=280·10³ N

Se observa ca,

V_Rd,ct = 280 kN ≤ 957 kN = V*_Ed,Ar

CR2 6.2.1 (5)

Prin urmare, este necesara determinarea prin calcul a armaturii transversale. Calculul va fi facut mai intai conform procedeului standard.

Forta taietoare ce trebuie preluata prin armatura:

CR2 6.2.1 (6.1)

V_{Rd, Sy} = V*_{Ed, Ar} = 957 kN

·10³= 1720 mm²/m

Otel-beton BSt 500 S etrieri f12/125 cu 2 ramuri = 1808 mm2 / m

Se alege:

Aceasta armatura se va dispune si la reazemul B, in stanga.

Verificarea capacitatii la compresiune a bielei comprimate:

Pentru determinarea necesarului de armatura transversala in mijlocul deschiderii 1 se considera

V_{Ed, F1} = 596 kN

=1072 mm²/m

Se alege:

4.3.3       Camp 2

Valoarea de calcul a fortei taietoare la reazemul B₁ dreapta:

V’_{Ed, Br} = +842,50 kN

Valoarea de calcul a fortei taietoare la distanta d de la fata reazemului:

V*_{Ed, Br} = 842,50 – 1,62 _* (121,5 + 45,0) = 572,77 kN

=1031 mm²/m

Otel-beton BSt 500 S etrieri f12/200 cu 2 ramuri = 1130 mm2 / m

Se alege:

Valoarea de calcul a fortei taietoare la reazemul C:

V_{Ed, C}= –544.88 kN < V_Rd,max

Cum nu este o rezemare directa, valoarea de calcul determinanta este la reazemul teoretic. Se alege, ca pentru reazemul B, dreapta

	Otel-beton BSt 500 S etrieri f12/200 cu 2 ramuri = 1130 mm2 / m

4.3.4      

CR2 6.2.4

Lunecarea intre inima grinzii si placa

4.3.4.1            Rezumat

CR2 6.2.4 (6.19)

Este de verificat ca forta transversala ce trebuie preluata pe unitate de lungime

nu depaseste valorile corespunzatoare ce pot fi preluate de diagonalele comprimate de beton, respectiv de armaturile din placa. In ecuatie s-au notat:

DF_d - variatia fortei normale pe sectiunea placii analizate, pe lungimea a_v

Dx - lungimea considerata, dar cel mult jumatate distanta intre sectiunea cu moment nul si sectiunea cu moment maxim

4.3.4.2            Forta taietoare de preluat la reazemul A

F_d,A - forta de intindere a celor trei bare f20 dispuse in afara inimii:

F_d,A         = = 410 kN

Dx se obtine din conditia:

Se pune conditia MEd = 0 Determinanta este combinatia de actiuni pentru care rezulta cea mai mica valoare a lui Dx

0 = (–1980,39 + 1250,54 · (2Dx) – (121,5 + 60) · (2Dx)²/2)

Dx = 0,915 m

4.3.4.3            Forta taietoare de preluat la reazemul B

DF_d,B pentru doua bare f20 dispuse in afara inimii

DF_d,B = = 274 kN

Dx rezulta din:

0 = (–1412,0 + 1201,82 · (2Dx) – (121,5 + 60) ·(2Dx) ²/2)

Dx = 0,655 m

4.3.4.4            Forta taietoare de preluat in campul 1

DF_{d, F1}= D_{c,F1 *} 0,5 _*

D_{c, F1}= F_E,F1 = 33,06 _* 435 _* 10^-4 _* 10³= 1439 kN

DF_{d, F1}= 1439 _* 0,5 _* = 538 kN

Dx calculat din:

0 = –1412,0 + 1172,42 _* (4,0 – 2Dx ) –

(121,5 + 0,7 ּ 60) ּ

Dx = 1,335 m.

v_{Ed, F1}== 402 kN/m

4.3.4.5            Determinarea necesarului de armatura

Pentru a se evita zdrobirea betonului comprimat din placa:

CR2 6.2.4 (6.21)

v_Ed < 0,528·20·150·sin(45)·cos(45)·10^-3=708 kN/m

Pentru preluarea valorii v_{Ed, A} armatura necesara este:

CR2 6.2.4 (6.20)

Plasa otel-beton - Plasa sudata de lista (reversibila) 2 X BSt 500 M                  = 5890 mm2/m2

se alege (sus):